异面直线所成的角求法 答案

异面直线所成的角的两种求法

初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！

下面介绍两种求法

一．传统求法--------找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。

平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，

求AB 和CD 所成的角.

解? 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，

∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.

∵? EFGH 是平行四边形，HG ＝2

1

AB ＝62，

H

G F

E

D

C

B

A

HE ＝2

1 ，CD ＝23，

∴? S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123.

∴? sin∠EHG＝

2

2

,故∠EHG＝45°. ∴? AB 和CD 所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2

2

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=

2

1

BC ，FG∥AD，且FG=2

1

AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为

所求。由BC=AD 知EG=GF=2

1

AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值；

A B

C

G

F E

D

解：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2

1AM 且E 为MD 的中点。

设正四面体的棱长为1， 则NC=

2

1·23= 43且

ME=2

1MD=

4

3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=

163+41=16

7

∴cos ∠CNE=

324

3

432167)43()43(

2222

22-=??-+=

??-+NE

CN CE

NE CN ,

又∵∠CNE ∈(0,

2

π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为3

2.

注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中

无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

例4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，

3

1

==EC BE FD AF 。求异面直线AB 与CD 所成的角。 EG 、

解：在BD 上取一点G ，使得3

1

=GD BG ，连结FG

在ΔBCD 中，GD

BG

EC BE =

，故EG//CD ，并且4

1

==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且

4

3

==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得

cos ∠FGE=

2

1

5327532222222-=??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角，于是AB 与CD 所成的角等于60°。

例5 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1与BD 所成的角的余弦．

解一：连AC ，设AC ∩BD=0，则O 为AC 中点，

取C 1C 的中点F ，连OF ，则OF ∥AC1且OF=2

1

AC1，所以∠FOB 即为AC1与DB 所成的角。在△FOB 中，OB=2221b a +，OF=222

2

1c b a ++，BE=224121c b +，由余弦定理得

B 1

D

G A

B

C D

E F

G

cos ∠FOB=2

2222

22222224

12)

41()(41)(41c b a b a c b c b a b a ++?+?+-++++=)2222222)((c b a b a b a +++- 解二：取AC 1中点O 1，B 1B 中点G ．在△C 1O 1G 中，∠C 1O 1G 即AC1与DB 所成的角。 解三：．延长CD 到E ，使ED=DC ．则ABDE 为平行四边形．AE ∥BD ，所以∠EAC 1

即为AC 1与BD 所成的角．连EC 1，在△AEC1

中，AE=22b a +，AC1=222c b a ++，C1E=224c a +由余弦定理，得

cos ∠EAC 1=2

2

2

2

2

22222222)

4()()(c

b a b a

c a c b a b a ++?+?+-++++=

)

22

2

2

2

2

2)((c

b a b a a b +++-＜0

所以∠EAC 1为钝角．

根据异面直线所成角的定义，AC 1与BD 所成的角的余弦为

)

)((2

2

2

2

2

2

2c b a b a b a +++-

二．利用两个向量的夹角公式（b a <,cos ），可以求空间两条直线所成的角。

例 6 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E 、F

分别是BB 1、CD 的中点. 求AE 与D 1F 所成的角

解: 取AB 中点G,连结A 1G,FG.

因为F 是CD 的中点,所以GF 、AD 平行且相等, 又A 1D 1、AD 平行且相等,所以GF 、A 1D 1平行且相

故GFD 1A 1是平行四边形,A 1G∥D 1F.

A

C

设A 1G 与AE 相交于点H, 则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角, 因为E 是BB 1的中点,

所以Rt△A 1AG≌Rt△ABE, ∠GA 1A=∠GAH，从而∠AHA 1=90°, 即直线AE 与D 1F 所成角为直角.?? 下边看利用向量的有关知识解答该题： ?证明：如右图建立空间直角坐标系：D —xyz 。

设正方体的棱长为2，则有A （2，0，0）、1A （2

D （0，0，0）、D 1（0，0，2）、F （0，1，0）、

E 1）

（I ）∵=（0，2，1），D 1=（0，1，－2） ∴D 1?=（0，2，1）?（0，1，－2）= 0 ∴AE ⊥D 1F

∴AE 与D 1F 所成的角为90ο 即直线AE 与D 1F 所成角为直角.???

由上述的解答，可以看到传统方法解决立体几何问题，过程、图形都比较复杂，而用向量解答目标明确，在未计算之前，就已经知道结果了，证明的过程只是计算验证，通过空间直角坐标系，把复杂的几何证明转化为简单的代数计算，学生对于代数运算较熟悉，避免了传统方法造成逻辑推理上的不便和由于辅助线的添加造成图形的复杂化等问题，相比传统方法更容易接受和掌握。因此，空间向量是处理立

体几何问题的强有力工具。

例7．已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥

DC ，是

⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且PA=AD=DC=

2

1

AB=1，M PB 的中点。求AC 与PB 所成的角；

解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A （0，0，0）

B （0，2，0），

C （1，1，0），

D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，

)2

1. 因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

用传统方法解决两异面直线所成的角问题，通常都必须添加辅助线，并且要

经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活性，学生掌握起来比较困难。空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很好的桥梁。而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了的新视角。借助空间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他们对立体几何更容易产生兴趣。