高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角
一、平移法：
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直角平移法：
1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．
解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝
3
FG ＝EG ＝1
∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC
和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°
3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA
＝
2
π
，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM
∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角
连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝
a 2
5 NQ ＝21SM ＝
4
2a BQ ＝
a 4
14
∴COS ∠QNB ＝
5
10
2222=
?-+NQ BN BQ NQ BN
4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，
若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．
解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．
设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6
，
cos ∠GNA ＝10
305
62556=
??-+。
B
M A
N C
S
A B
C D A 1B 1
C 1
D 1
E
F 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成
的角。
证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ，
又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，
故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。
设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。 因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,
从而∠A 1HA=90°,
即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。 6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线； (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值 解：(1)
∵ A '?平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′，且B ?CC′,
∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC 、AD 、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线
(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°
(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE 和AA′所成的锐角∠A′A E 是AE 和CC′所成的角 在Rt △AA′E 中，tan ∠A′AE ＝
A E AA ''
＝21
，所以AE 和CC′所成角的正切值是
2
1
(4)取B′C′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥
A '
B '＝∥
AB, ∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥
AE, 即BF ∥AE 且BF=AE.
∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角
设正方体各棱长为2，连A′F ，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为 A′B ＝22，A′F ＝BF ＝5，由余弦定理得： cos ∠A′BF ＝
5
105
222)
5()5()22(2
2
2
=
??-+
7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大
小。
F
(图1－29) 5
5
B ' (图1－28) A '
A
B C '
D '
C
D F
E
解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，
cos∠DB1E=734
∴∠DB1E=cos
arc
734
。
解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，
∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734
，∴∠C1BE=cos
arc
734
。
练习：
8. 如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值？
9.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦
值.？
中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=
35
，∴cos∠BOE=
734∴∠BOE=cos
arc
734
170
解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=
73
2
，cos∠OEF=
734
，∴异面直线B1D与BC1所成的角为cos
arc
734
。
解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=
35
，cos∠DOF=
734
，∴∠DOF=cos
arc
734
170
。
课堂练习
10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
E
D B
A
补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。
解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，
则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－
734
170
，∴异面直线DB1与BC1所成的角是cos
arc
734
170
。
课堂练习：
11.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。
在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长
方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直
线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，
BD1=3，
二、利用模型求异面直线所成的角
模型1 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。
在平面α的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B
连接OB，则OB⊥b.
在直角△AOP中，
AP
AO
=
1
cosθ.
在直角△ABC中，
AO
AB
=
2
cosθ.
在直角△ABP中，
AP
AB
=
θ
cos.
?2
?1c
b
a
θ
P
α
O
A
B
所以 θθθcos cos cos 21==?=
AP
AB
AO AB AP AO 所以θθθcos cos cos 21= 证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影， OB//b ，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2， 过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，连结PB 。
可知PB ⊥AB 。所以cosθ1=PA
OA
， cosθ=PA AB ，cosθ2=OA AB 。 所以cosθ= cosθ1·cosθ2。
利用这个模型来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ。
需：过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影。
12. 如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与
AC 所成的角。
解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ， 直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，
直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°， 所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，满足
cosθ=cos45°· cos45°=2
1
，所以直线AC 与MB 所成的角为60°。
13. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中
点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ D ） （A ）
34 （B ）54 （C ）74 (D) 34
解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,
由三角余弦定理，易知113
co c s 4
os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=
?=.故选D 14. 如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D 。求异面直线AE 与CD 所成的角的大小。 解：过E 作AD 的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面ABCD 内的射影为AF ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为60°，
P
b A
B
O α
P E
D
B C
B C A 1
1
1
D
A B C
D M
射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°· cos45°=
4
2
，所以其大小为arccos
4
2
。
模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为θ，则有
证明：
()C A
D
A
C
A
A
B
C
A
D
A
A
B
C
A
D
B
D
A
A
B
D
B
COS
D
B
D
B
C
A
D
B
?
+
?
=
?
+
=
?
∴
+
=
=
?
而
θ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2CD
AB
BC
AD
CD
AC
AD
BC
AC
AB-
-
+
=
-
+
+
-
+
-
=
所以有：
15.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的
角？
解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得
由定理得：
所以
二、向量法求异面直线所成的角
16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。
求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，
连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，
分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。
B
A1D1
C1
H
S
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。 在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=
4
6
a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， 连QH ，可知△GQH 为直角三角形），
HS=
2
6a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），GS=426
a （作直线GP 交BC 于点P ，连
PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。∴Cos ∠GHS=6
1
。
所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为6
1。 解法二：（向量法） 分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2
则点A 1的坐标为（0，2，2），点E 的坐标为（1，0，1）， 点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为（2，1，1）； 所以向量1EA 的坐标为（-1，2，1），向量B 1的坐标为（2，1，-1）， 所以这两个向量的夹角θ满足 |
|||1111F B EA ?=
2
22222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(-++?++--?+?+?-=-
6
1
。 所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为6
1
17. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为BC 和AD 的中点，
设AM 和CN 所成的角为α，求cosα？（平移法也可）
解：由已知得，空间向量AB ，AC ，AD 不共面， 且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到
AM =21（AB +AC ），NC =21-AD +AC
所以向量AM 与向量NC 的夹角θ（即角α或者α的补角） 满足|
|||NC AM ?，其中
AM ·
=21（+）·（2
1
-+） =21（21-·+·
+（2
1
-）·+·） 1 A
B
C
D
M
N
=21a 2（41-+2141-+1）=2
1
a 2； |AM |2=21（AB +AC ）·21（AB +AC ）=41（1+1+1）a 2=43
a 2；
|NC |2=（21-AD +AC ）·（21-AD +AC ）=41+121- a 2=43 a 2。所以cosα=| cosθ|=3
2
。
18. 已知空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且BE ：EC=AF ：
FD=1：2，EF=7，求AB 和CD 所成的角的大小。 解：取AC 上点G ，使AG ：GC=1：2。连结EG 、FG ， 可知EG//AB ，FG//CD ，3EG=2AB ，3FG=CD 。
由向量的知识可知EF =EG +GF =BA 3
2
+CD 31，
设向量BA 和CD 的夹角为θ。
则由|EF |2=（BA 32+CD 31）·（BA 3
2+CD 31）=4+1+4cosθ=7， 得cosθ=2
1
，所以AB 和CD 所成的角为60°。
19. （思考题）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方
形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°. 求：(1)AC 1的长； (2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值.
技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.
2
211222111112122111111221222111112
22221112221111111212222||||||)
)((||)
)((,2||,)2(.22||,22||,
0,21
120cos ,21120cos 90,,120,,||||,|:|222||||||)
)(())((||)1(:b a AB AA AD AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA BD BD BD ab AD AB AB AD AD AB AA AD AA AB AB AD AA AD AB BD AC AB AD AA BA AD BD AD AB AC a AC ab b a AC ab b a AC AD AB ab a b AD AA ab a b AB AA AD AB AD AA AB AA a AD AB b AA AD AB AD AA AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AC AA AC AA AC AC AC +=?-?-?+++=-+-+=?=-=?--+?+?+?=-++=?∴-+=+=+==-+=∴-+=∴=?-=??=?-=??=?∴?
>==>=<<===?+?+?+++=++++=++=?=依题意得由已知得解
2212||b a BD +=∴ 2
2
11124|
|||,cos b
a b AC BD AC BD AC BD +-=
>=
<
A
B
C D
E F G
∴BD 1与AC 所成角的余弦值为2
2
24b
a b .
判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错； 选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．
5．(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取AB 中
点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ；（7）答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)； 三．3
4
，取AD 中点E ，则∠MEN ＝90°；
四．5
7
，取AC 中点F ，连EF 、BF ，求得BE ＝21AD ＝5，BF ＝21AC ＝32；
五．
5
5
2，分别取AC 、B 1C 1的中点P 、Q ，则PMQN 是矩形，设CC 1＝MQ ＝a ，则MP ＝21a ；
六．6
1
，取AC 中点F ，连EF 、BF ，则EF ＝4，BE ＝BF ＝3．
异面直线所成的角---作业
： 班级： 学号： 一、判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；
(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线； (11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题
1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )
(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )
(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3. 两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线
(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
(C)分别位于两个不同平面的两条直线
(D)不同在任一平面内的两条直线
4. a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( )
(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5. 说出正方体中各对线段的位置关系：
(1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC.
6. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )
31032()
()
()
()2
10
5
5
A B C D
7. 如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()()
()
()
10
2
15
10
A B C D
8. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC
(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直
9. 设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面， 在上述四个命题中，真命题的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10. 如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条
11. 如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线
EF 与SA 所成的角等于
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
三．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，
求MN 和BD 所成角的正切值
F A
B C
E
S
(第11题)
四．如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E
是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值？
五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中
点。求MN 与CC 1所成角的余弦值？
六．如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，
求BE 与CD 所成角的余弦值？
A
B
C
D
(第四题) E
6
6
8
(第五题)
M
A
B
C N
C 1
A 1
B 1
8
A
B
C
D
E
(第六题) 7
8
5
4
4
5
高中数学公式史上最全大全
高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
(完整版)文科高中数学公式大全(超全完美)
高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。 例：2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =； 若奇函数在x =0处无意义，则利用 ()()x x f f -=-求解； 9．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1 ()() f x a f x += ，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.
异面直线所成的角求法总结加分析
异面直线所成的角求法 总结加分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝ 3 ，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2 a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若 BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝ 5 ，GN ＝BM ＝ 6 ， cos∠GNA＝ 10 30 5 62556= ??-+。 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。 证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1， 故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。 设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角 一、端点平移法 例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若 1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， //DF EC Q 且DF EC = ∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴ EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设2AB =, 则EF = AF = EA = 故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g arccos 10 EFA ∴∠= 二、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， ∴NO 为DAM ?的中位线， ∴//NO AM ， ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 设正四面体ABCD 的棱长为2 ，则有2NO = ，CN = ,2CO =, 故2222 cos 23 NO CN CO ONC NO CN +-∠= =g 2 arccos 3 ONC ∴∠= 1 B D C
异面直线所成的角的求法
异面直线所成的角的求法 法一：平移法 在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。 恵，求直线AB 与CD 所成的角。 习题1?在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC 所成角的大小. 例1: (1) AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ; (3) A i B 与 A C 。 法二： 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。 中位线 在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点, 变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =
正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC = CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值. 如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点， 若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角. 5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点 (1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异面直线？ (2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线 2. 3. 4 . BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B A （图 1— 28）
异面直线所成的角求法 答案
异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法 一．传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3， 求AB 和CD 所成的角. 解? 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD， ∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵? EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， H G F E D C B A
HE ＝2 1 ，CD ＝23， ∴? S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴? sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴? AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 2 1 BC ，FG∥AD，且FG=2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为 所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。 注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值； A B C G F E D
异面直线所成角求法-总结加分析
异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和 AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝ CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6 ， cos∠GNA＝ 10 305 62556=??-+。 B M A N C S
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高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个；真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式： ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; （当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时，设为此式） (3) 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时，设 为此式） 2 a(x x 0 ) （ 4）切线式： f ( x) (kx d ), (a 0) 。（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时，设为此式） 4 5 真值表： 同真且真，同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1）个 1）个 至多有（ 至少有（ p 且 p 或 x ，成立 x ，不成立 x ，不成立 x ，成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 . ） 四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互逆 逆命题 若ｑ则ｐ 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 p p q ，则 q ，且 充要条件： (1) P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件； 、 （ 2）、 q ≠> p ，则 P 是 q 的充分不必要条件； (3) 、p ≠ > p ，且 q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件； 4、p ≠ > p ，且 q ≠ > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数： (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是：
补充构造异面直线所成角的几种方法
一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念 （1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。 （2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法 （1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。 （2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G
例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π ，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值． 例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S
高中数学公式大全(最全面,最详细)
高中数学公式大全（最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式：
异面直线所成角的几种求法(最新编写)
异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。 解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线 到某个点上。作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。 由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。在△GHS 中，设正方体边长为a 。GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，46连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），2 6GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。426∴Cos ∠GHS=。6 1所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。61解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。 B A C D F E B 1A 1D 1C 1 G H S R P Q 1
高中数学常用公式大全
高中数学常用公式大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
立体几何异面直线成角求法习题
构造异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考． 一、抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标． 例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 1. 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在 △B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF ＝2221112B G GF B F B G GF +-= ?＝0， 故∠ B 1 G F ＝ ，应选(D)． 2评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的 角，从而纳入三角形中解决． 解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝2 1 ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． P B C A
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 2．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log =
如何求异面直线所成的角
3 3 如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那 么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角 、端点平移法 例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设 AB 2,则 EF 76，AF 730 arccos 10 、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， NO 为DAM 的中位线， NO//AM ， ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75，EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D
高中数学公式及知识点总结大全(精华版)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学公式及知识点总结大全(精华版) ?中?科数学公式及知识点速记?、函数、导数1、函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若数. 2、函数的奇偶性对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数在点处的导数的?何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率程是.*?次函数：（1）顶点坐标为 4、?种常?函数的导数①；②；③；（2）焦点的坐标为；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 5、导数的运算法则（1）. （2）. （3） 6、会?导数求单调区间、极值、最值 7、求函数的极值的?法是：解?程．当. 时：(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极?值；(2) 如果在附近的左侧指数函数、对数函数分数指数幂(1)（(2)（，右侧，那么是极?值．，且）. ，且）.，则为减函，相应的切线?1 1/ 15
根式的性质（1）当为奇数时，当为偶数时，； .有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若 a＞0，p 是?个?理数，则 ap 表示?个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于?理数指数幂都适?..指数式与对数式的互化式:..对数的换底公式 :(,且 ,,且 ,).对数恒等式：推论(,且,).(,且,).常?的函数图象?、三?函数、三?变换、解三?形、平?向量 8、同?三?函数的基本关系式，=.9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）的正弦、余弦，等于的同名函数，前?加上把看成锐?时该函数的符号；的正弦、余弦，等于的余名函数，前?加上把看成锐?时该函数的符号。 ，，．，，．，，．2
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高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠? 2 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式） （4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0 x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5 6 ） 充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件； （2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件； （4）、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性: 增函数：（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。 减函数： （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
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高中数学公式及知识点速记 1、函数的单调性 (1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导， 若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； 若()=0f x '，则)(x f 有极值。 2、函数的奇偶性 ) 若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。 若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1 )(ln '= 5、导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. % （3）'' '2 ()u u v uv v v -=. 6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时： ① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂 (1)m n a =. (2)11 m n m n a a - == . 8、根式的性质 （1 ）n a =. （2）当n a =； (
立体几何中求异面直线所成的角解法举例
立体几何中求异面直线所成的角解法举例 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例1：如图，在Rt AOB △中，π6 OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 解法1（几何法）： （I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O = ， CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ?平面COD ． ∴平面COD ⊥平面AOB ． （II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． 在Rt COE △中，2CO BO ==，112 OE BO ==， CE ∴ 又12 DE AO == ∴在Rt CDE △ 中，tan CE CDE DE ∠= ∴异面直线AO 与CD 解法2：（I ）同解法1． （II ）（坐标法）建立空间直角坐标系O xyz -， 如图，则(000)O ，， ，(00A ，，(200)C ，， ，D ， ∴(00OA = ， ，(CD =- ， ∴cos OA CD OACD OA CD <>= ，= O C A D B E x
∴异面直线AO 与CD 小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有： ①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线； ②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. 一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0,2π?? ??? . 例2：如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角余弦值； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 解法一（几何法）： （Ⅰ）取AD 的中点，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又?PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD . （Ⅱ）连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面.取OC 的中点N ，连接PN . 因为 21,21===OC NO OA NO OQ PO ，所以OA NO OQ PO =， 从而AQ ∥PN ，∠BPN （或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因为3PB ==， PN === 10)2()22(22 2 2 =+==ON OB BN Q B C P A D O M