高中数学：异面直线所成的角求法

异面直线所成的角
一、平移法：
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补
形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处
理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：
1．在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF＝ 3 ，求 AD、BC 所 成角的大小．
解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在△EFG 中 EF＝ 3 FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120°
∴AD 与 BC 成 60°的角。
2．正 ABC 的边长为 a，S 为 ABC 所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点．求异面直线 SA 和 EF 所成角．
正确答案：45°
3．S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA＝SB＝SC，且 ASB＝ BSC＝ CSA＝ ，
2
M、N 分别是 AB 和 SC 的中点．求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值．
证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN ，则 QN∥SM
S
∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角
连结 BQ，设 SC＝a，在△BQN 中
N
BN＝ 5 a NQ＝ 1 SM＝ 2 a BQ＝ 14 a
2
2
4
4
∴COS∠QNB＝ BN 2 NQ2 BQ2 10
2BN NQ
5
C
B
M A
4．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点，若 BC＝ CA＝CC1，求 BM 与 AN 所成的角．
解：连接 MN，作 NG∥BM 交 BC 于 G，连接 AG， 易证∠GNA 是 BM 与 AN 所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则 AG＝AN＝ 5 ，GN＝BM＝ 6 ，
cos∠GNA＝ 6 5 5 30 。
2 6 5 10

5．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1 、CD 的中点．求 AE 与 D1F 所成的
角。
D1
C1
证明：取 AB 中点 G，连结 A1G，FG， 因为 F 是 CD 的中点，所以 GF∥AD，
A1
B1
又 A1D1∥AD，所以 GF∥A1D1， 故四边形 GFD1A1 是平行四边形，A1G∥D1F。 设 A1G 与 AE 相交于 H，则∠A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1 的中点，所以 Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而
∠A1HA=90°, 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。
D A
E
F
C
B
D?
6．如图 1—28 的正方体中，E 是 A′D′的中点
E
(1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA′成异面直线； A?
B?
C? F
(2)求直线 BA′和 CC′所成的角的大小； (3)求直线 AE 和 CC′所成的角的正切值；
D
C
(4)求直线 AE 和 BA′所成的角的余弦值 解：(1)
A
B
(图 1－28)
∵ A??平面 BC′，又点 B 和直线 CC′都在平面 BC′内，且 B?CC′,
∴ 直线 BA′与 CC′是异面直线 同理，正方体 12 条棱中的 C′D′、DD′、DC、AD、B′C′
所在的直线都和直线 BA′成异面直线
(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和 BB′所成的锐角就是 BA′和 CC′所成的角
∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和 CC′所成的角是 45°
(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故 AE 和 AA′所成的锐角∠A′AE 是 AE 和 CC′ 所成的角
在 Rt△AA′E 中，tan∠A′AE＝ AE ＝ 1 ，所以 AE 和 CC′所成角的正切值是 1
AA 2
2
(4)取 B′C′的中点 F，连 EF、BF，则有 EF＝∥ A?B?＝∥ AB,
∴ ABFE 是平行四边形，从而 BF＝∥ AE, 即 BF∥AE 且 BF=AE.
∴ BF 与 BA′所成的锐角∠A′BF 就是 AE 和 BA′所成的角
设正方体各棱长为 2，连 A′F，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为
A′B＝2 2 ，A′F＝BF＝ 5 ，由余弦定理得：
cos∠A′BF＝ (2 2)2 ( 5)2 ( 5)2 10
22 2 5
5
A?
F
5
5
M
B
(图 1－29)
7. 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1 所成角的大小。

解法一：如图④，过 B1 点作 B1E∥BC1 交 CB 的延长线于 E 点。 则∠DB1E 或其补角就是异面直线 DB1 与 BC1 所成角，连结 DE 交 AB 于 M，DE=2DM=3 5 ，
cos ∠DB1E= 7 34 ∴∠DB1E= arc cos 7 34 。
170
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解法二：如图⑤，在平面 D1DBB1 中过 B 点作 BE∥DB1 交 D1B1 的延长线于 E，则∠C1BE 就是异面 直线 DB1 与 BC1 所成的角，连结 C1E，在△B1C1E 中，
∠C1B1E=135°，C1E=3 5 ， cos ∠C1BE= 7 34 ，∴∠C1BE= arc cos 7 34 。
170
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练习： 8. 如图，PA 矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=10，求 AD 与 PC 所成角的余切值
9. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，若棱 B B1=BC=1，AB= 3 ，求 D B 和 AC 所成角的余弦值. 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为

平面问题，解三角形求之。 解法一：如图①连结 B1C 交 BC1 于 0，过 0 点作 OE∥DB1，则∠BOE 为所求的异面直线 DB1 与 BC1
所 成 的 角 。 连 结 EB ， 由 已 知 有 B1D= 34 ， BC1=5 ， BE= 3 5 ， ∴ cos ∠BOE= 7 34
2
170
∴∠BOE= arc cos 7 34 170
解法二：如图②，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OE∥DB1，过 E 点作 EF∥C1B，则∠OEF 或其
补角就是 两异面直 线 所成的角 ，过 O 点 作 OM∥DC ，连 结 MF 、 OF 。 则 OF= 73 ， 2
cos ∠OEF= 7 34 ，∴异面直线 B1D 与 BC1 所成的角为 arc cos 7 34 。
170
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解法三：如图③，连结 D1B 交 DB1 于 O，连结 D1A，则四边形 ABC1D1 为平行四边形。在平行四边 形 ABC1D1 中过点 O 作 EF∥BC1 交 AB、D1C1 于 E、F，则∠DOF 或其补角就是异面直线 DB1 与
BC1 所成的角。在△ADF 中 DF= 3 5 ， cos ∠DOF= 7 34 ，∴∠DOF= arc cos 7 34 。
2
170
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课堂练习 10. 在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。
A
D
B
E C
补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。 解法一：如图⑥，以四边形 ABCD 为上底补接一个高为 4 的长方体 ABCD-A2B2C2D2，连结 D2B，
则 DB1∥D2B，∴∠C1BD2 或其补角就是异面直线 DB1 与 BC1 所成的角，连 C1D2，则△C1D2C2 为

Rt△， cos ∠C1BD2=－ 7 34 ，∴异面直线 DB1 与 BC1 所成的角是 arc cos 7 34 。
170
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课堂练习： 11. 求异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角的余弦值。
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 BC1 上补上一个同样大小的长方体， 将 A1C1 平移到 BE，则∠D1BE 或其补角就是异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角，在△BD1E 中，BD1=3，?
? 二、利用模型求异面直线所成的角
模型 1 引理：已知平面 α 的一条斜线 a 与平面 α 所成的角为 θ1，平面 α 内的一条直线 b 与斜线 a 所成的角为 θ，与它的射影 a′所成的角为 θ2。求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。 在平面?的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB，垂足为 O、B
新疆 王新敞
奎屯
连接 OB，则 OB⊥b.
在直角△AOP
中， cos1
AO . AP
在直角△ABC
中， cos2
AB AO
.
在直角△ABP 中， cos AB . AP
所以
cos1 cos2
AO AP
AB AO
AB AP
cos
所以 cos cos cos 1
2
新疆 王新敞
奎屯
证明：设 PA 是 α 的斜线，OA 是 PA 在 α 上的射影，
A
P
a
1
c
2
O
Bb
P
OB OA PA
AB PA
AB OA
1 2
已知三棱柱
ABC
A1B1C1
的侧棱与底面边长都相等，M
A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成
的角的余弦值为（ D ）
A
b
A
C1 α
A1 O D
B
C
DB
C B1
A
B

（A） 3 4
（B） 5 4
（C） 7 4
(D) 3 4
解：设 BC 的中点为 D，连结 A1D，AD，易知 A1AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角,由
三角余弦定理，易知 cos
cos A1AD cos DAB
AD
A1 A
AD AB
3 4
.故选
D
14. 如图，在立体图形 P-ABCD
中，底面 ABCD 是一个直角
梯 形 ， ∠BAD=90° ，
P
AD
2
2
4
4
BD ? AC BD BD COS

而BD BA AD

BD ? AC BA AD ? AC BA ? AC AD ? AC
E
D
A
F
B
C
AB2 AC2 BC2 AD2 AC2 CD2
2
2
AD2 BC2 AB2 CD2 2
如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是
相邻两侧面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点
上。
作法：连结 B1E，取 B1E 中点 G 及 A1B1 中点 H，
A1
D1
H
B1
C1
S
Q
G
E
A
R
F D
B
P
C

连
结
GH
，
A1
有 D1
GH 6
6
42
26 4
1 6
1 6
EA1 B1F
EA1 B1F
| EA1 | | B1F |
B1
AA C1 F
(1) 2 2 11 (1)
1 1 AB AC AD AM
(1)2 (2)2 (1)2 (2)2 (1)2 (1)2 6 6
E
NF
A
G
D
1 AB AC NC 1 AD AC AM NC AM NC AM NC 1
2
2
| AM | | NC |
2
BBB
DD C
AB AC 1 AD AC 1 1 AB AD AB AC 1 AD AC AC
2
22
2
EM CC
AC 1 1 1 1 1 AM 1 AB AC 1 AB AC 1 3 NC 1 AD AC 1 AD AC 1 1 3 2
2 42 42 2
2
44
2
2
4 243
7 EF EG GF 2 BA 1 CD BA CD EF 2 BA 1 CD 2 BA 1 CD 1 求：(1)AC1 的长； (2)直
33
33 33 2
线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值.
技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.
解 : (1) | AC1 |2 AC1 AC1 ( AA1 AC )( AA1 AC )
( AA1 AB AD)( AA1 AB AD) | AA1 |2 | AB |2 | AD |2 2 AA1 AB 2 AA1 AD 2 AB AD
由已知得 :| AA1 |2 b2 ,| AB |2 | AD |2 a 2
AA1, AB AA1, AD 120, AB, AD 90
AA1
AB
b
a
cos120
1 2
ab,
AA1
AD
b
a
cos120
1 2
ab,
AB
AD
0,
| AC1 |2 2a 2 b2 2ab,| AC1 | 2a 2 b2 2ab.
(2)依题意得,| AC | 2a, AC AB AD
BD1 AD BA AA1 AD AB AC BD1 ( AB AD)( AA1 AD AB) AB AA1 AD AA1 AB AD AD 2 AB 2 AB AD ab | BD1 |2 BD1 BD1 ( AA1 AD AB)( AA1 AD AB) | AA1 |2 | AD |2 | AB |2 2 AA1 AD 2 AB AD 2 AA1 AB 2a 2 b2
| BD1 | 2a2 b2
cos BD1, AC BD1 AC | BD1 || AC |
∴BD1 与 AC 所成角的余弦值为 b .
4a 2 2b2
b 4a2 2b2
判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错； 选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)． 5．(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取 AB 中
点 M，CC1 中点 N，连 B1E 和 B1F；（7）答案：(A)，延长 B1A1 至 M，使 A1M＝A1D1，连 MA，取

AB 中点 N．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；
三． 4 ，取 AD 中点 E，则∠MEN＝90°；
3
四． 7 ，取 AC 中点 F，连 EF、BF，求得 BE＝ 1 AD＝5，BF＝ 1 AC＝3 2 ；
5
2
2
五． 2 5 ，分别取 AC、B1C1 的中点 P、Q，则 PMQN 是矩形，设 CC1＝MQ＝a，则 MP＝ 1 a；
5
2
六． 1 ，取 AC 中点 F，连 EF、BF，则 EF＝4，BE＝BF＝3．
6
异面直线所成的角---作业
姓名：
班级：
学号：
一、判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)梯形的四个顶点在同一平面内；
(2)对边相等的四边形是平行四边形；
(3)平行于同一直线的两直线平行；
(4)垂直于同一直线的两直线平行；
(5)两条直线确定一个平面；
(6)经过三点可以确定一个平面；
(7)无公共点的两直线异面；
(8)两异面直线无公共点；
(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；
(11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面
二、选择题
1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )
(A)平行
(B)异面
(C)平行或异面
(D)不能确定
2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )
(A)异面
(B)平行
(C)平行或异面
(D)平行或异面或相交
3. 两条异面直线指的是( )
(A)在空间不相交的两条直线 (B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
(C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线
4. a、b 是异面直线，b、c 也是异面直线，那么 a、c 的位置是( )
(A)异面
(B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面
5. 说出正方体中各对线段的位置关系：
(1) AB 和 CC1； (2)A1C 和 BD1； (3)A1A 和 CB1；
(4)A1C1 和 CB1； (5)A1B1 和 DC； (6)BD1 和 DC.
6. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和
BB1 的中

点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( )
(A) 3 2
(B) 10 10
(C) 3 5
(D) 2 5
7. 如图，A1B1C1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点 若 BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 15 10
8. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，直线 BC1 与 AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)
异面但不垂直
9. 设 a、b、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①如果 a⊥b、b⊥c，则 a∥c； ②如果 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交；
③如果 a、b 是异面直线，c、b 是异面直线，则 a、c 也是异面直线；
④如果 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面，
在上述四个命题中，真命题的个数是( )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
(E)0
10. 如果直线 l 和 n 是异面直线，那么和直线 l、n 都垂直的直线
(A)不一定存在
(B)总共只有一条
(C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条
11. 如图，四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线
EF 与 SA 所成的角等于 (A)90° (B)60° (C)45°
(D)30°
S
(第 11 题)
E
B C
F A
三．如图，四面体 ABCD 中，AC⊥BD,且 AC＝4，BD＝3，M、N 分别是 AB、CD 的中点，求 MN 和
BD 所成角的正切值
A
4 M
3D
N
B
(第三题) C

四．如图，四面体 ABCD 中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且 AB＝BC＝6，BD＝8，E 是 AD 中点， 求 BE 与 CD 所成角的余弦值
A
6
E
B
8
D
6
(第四题) C
五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N 分别是 BC 和 A1C1 的中点。
求 MN 与 CC1 所成角的余弦值
A1
N C1
B1
A
C
M B
(第五题)
六．如图，四面体 ABCD 中，E 为 AD 中点，若 AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，求 BE 与
CD 所成角的余弦值
A
4
8
E
5
4
C
8
D
7
5
(第六题) B