2017年福州大学812自动控制原理模拟答案

一、已知描述系统的微分方程组如下所示：

061

1521343

325

54356

0.254

X X X X X X X X X dX X X dt

dX X X dt

X X X -=-=-=+=+=+= （1）画出该系统的结构图（2）求传递函数60()()()G s X s X s =.

解答：

（1）对系统微分方程两边取拉普拉斯变换，得到对应的复数域形式的方程组如下：

061152134332554356()()()()()()()()()0.25()()()4()()()()()()

X s X s X s X s X s X s X s X s X s sX s X s X s sX s X s X s X s X s X s -=-=-=+=+=+=

根据方程组可画出系统结构图如下：

（2）下面根据梅森公式求传递函数60()()()G s X s X s =： 可见系统有2个单独回路：

12111

,0.2510.25141

L L s s s =-

=?+++

系统没有两两互不相交的回路，故

111

110.2510.25141

i L s s s ?=-=+-?+++∑

由图知，有4条前向通道

1

11

,10.251P s =?=+ 221,141

P s =?=+

3311

,1410.251P s s =-

??=++ 4411

,10.25141P s s =-??=++

根据梅森公式得

4

61

02111111

()

0.25141410.2510.25141

111

()10.2510.25141

4.258.251

i i

i P X s s s s s s s X s s s s s s s =?

+-?-?

++++++==?

+-?

+++=

++∑ 二、已知一控制系统的结构图如下，

（1）确定该系统在输入信号()1()r t t =下的时域性能指标：超调量%σ，调节时间S t 和峰值时间P t ；

（2）当()21(),()4sin3r t t n t t =?=时，求系统的稳态误差。

解答：

（1）由于只考虑输入信号()r t ，可以忽略()N t ，即()0N s = 系统开环传递函数为

2188

()4268

G s s s s s =

=++++

系统闭环传递函数为

22

2

8()868()81()616168

G s s s s G s s s s s ++Φ===++++++ 对比二阶系统标准闭环传递函数可知

4

0.75n ωξ=??

=?

（这里根据分母求，可以理解为分子上有比例因子）

1.795

100% 2.8%

3

1(5%)

p

s

n

t s

e

t s

σ

ξω

==

=?=

==?=

（2）由题意知，该系统是个线性系统，满足叠加原理，故可以分别求取，()21()

r t t

=?和()4sin3

n t t

=分别作用于系统时的稳态误差

1

ess和

2

ess，系统的稳

态误差就等于

12

ess ess ess

=+。

A）()21()

r t t

=?单独作用时，由系统的开环传递函数知，系统静态误差系数1

p

K=，

所以稳态误差

1

ess为

1

1

21

1

p

ess

K

=?=

+

B）()4sin3

n t t

=单独作用时，系统的结构图为

系统的闭环传递函数为：

2

8(4)

()

616

s

s

s s

+

Φ=

++

频率特性为：

2

8(4)

()

616

j

j

j

ω

ω

ωω

+

Φ=

+-

当系统作用为()4sin3

n t t

=时，3

ω=，所以

2

8(34)3224

(3) 2.07

63163718

j j

j

j j

++

Φ===

?+-+

2418

(3)arctan arctan0.5564

327

j

∠Φ=-=-

系统的输出为：

2

4(3)sin(3(3))

8.56sin(30.5564)

ess j t j

t

=?Φ+∠Φ

=-

所以系统的误差为：

12

18.56sin(30.5564)

ess ess ess t =+=+-

三、证明根轨迹分离点公式。

1111

m

n

j i j i d z d p ===--∑∑ 证明：

设控制系统结构图如图所示

前向通道传递函数为：

*11

()

()()

f

i

i G

q

i

i s z G s K

s p ==-=-∏∏

反馈通道传递函数为：

1*

1()

()()

k

j

j H

h

j

j s z H s K s p ==-=-∏∏

则闭环传递函数为：

*1

1*

1

1

()()

()

()1()()

()()

f

h

G

i

j

i j n

m i

j

i j K

s z s p G s s G s H s s p K s z ====--Φ==

+-+-∏∏∏∏（3-1）

其中***

G H

K K K =为开环系统根轨迹增益，,f l m q h n +=+= 由（3-1），闭环系统的特征方程为

*

1

1

()()()0n

m

i j

i j D s s p K

s z ===-+-=∏∏

根轨迹在平面上相遇，说明闭环特征方程由重根，设重根为d

。根据代数方程中

重根的条件，有()0,()0D s D s ?

== 即

*

1

1

()()0n

m

i

j

i j s p K s z ==-+-=∏∏

*

11()()0n m i j i j d s p K s z ds ==??-+-=????

∏∏ 或

*

1

1

()()n m

i

j

i j s p K s z ==-=--∏∏（3-2）

*11

()()n m i j i j d d s p K s z ds ds ==-=--∏∏（3-3） 式（3-3）除（3-2），得

1

1

1

1

()()()

()

m

n

j i j i n

m

i

j

i j d d s z s p ds ds s p s z ====--=

--∏∏∏∏

即

1

1ln ()ln ()

m

n

j i j i d s z d s p ds ds

==--=

∏∏（3-4）

因为

111

1

ln ()ln()

ln ()ln()

n

n

i i i i m

m

j j j j s p s p s z s z ====-=--=-∑∏∑∏

式（3-4）可写为

11

ln()

ln()n

m j i i j d s z d s p ds ds ==--=∑∑ 有

1111

n

m

i j i j s p s z ===--∑∑ 证毕。

四、单位反馈系统如图所示，其中21

(),0()(22)

G s a s s a s s =

>+++为待定参数。

（1）设()0C G s K =>，已知系统四条根轨迹只有一个分离点（或会合点）-1，确定参数a 并画出根轨迹图。

（2）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K 值。 （3）确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环传递函数。 解答：

（1）由分离点的计算公式

1111011d d a d j d j

+++=++-++ 依题意，将分离点1d =-，代入上式得2a = 则开环传递函数2()(2)(22)

K

G s s s s s =

+++

a 、开环极点123,40,2,1p p p j ==-=-±数目4n =；系统有四条根轨迹；分别起始于开环极点，终止于无穷远点；

b 、实轴上根轨迹段为(2,0)-；

c 、渐近线与实轴的夹角为45,135,225,315α?= 渐近线与实轴的交点1ασ=-；

d 、由已知，得分离点为-1；

由以上计算得到的参数，绘制根轨迹如图所示：

（2）根轨迹与虚轴的交点

由1()0G s +=，得特征方程为

4324640s s s s K ++++=

列劳斯表如下：

432

1

01644

52045

s K s s K

K s s K

- 要与虚轴有交点，则有全零行，即20405K K -=?= 辅助方程：21,2550s s j +=?=±

综上，与虚轴的交点是j ±，使闭环系统稳定的K 值范围应是05K <<。 （3）要使闭环系统的输出无衰减振荡分量，则闭环系统应无共轭复数极点，即闭环极点均为实极点。显然只有1s =-点能满足要求，所以分离点处对应的四重实极点即为所求的闭环极点。此时系统的闭环传递函数为：4

1

()(1)

s s Φ=

+。 五、控制系统的结构图如图（a ）所示，其中1()G s 的频率特性如图（b ）（0,0T τ>>）

（a ）控制系统结构图

（b ）1()G s 的频率特性

（1）写出1()G s 的表达式；

（2）设22

1

()G s s =

，求出系统的开环传递函数； （3）画出系统的幅相频率特性曲线，并用Nyquist 稳定判据分析其稳定性。 解答：

（1）由（b ）图知，环节1()G s 由一个惯性环节和一个一阶微分环节组成，其为：

11

()1

Ts G s s τ+=

+ （2）系统的开环传递函数2

(1)

()(1)

K Ts G s s s τ+=

+ （3）由（b ）图可以看出,T Nyquist τ>曲线（草图）如图所示：

由图可以看出，Nyquist 曲线不包围(1,0)j -点，即0N =，而且0P =，所以系统稳定。

六、由实验测得某最小相位系统的幅频特性对数标图如图所示，试求： （1）系统的开环传递函数G(s)并画出系统的相频特性曲线； （2）计算系统的相角裕度γ和幅值裕度g K ；

（3）闭环系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入的稳态误差分别是多少？

解答：

（1）低频段渐近线的斜率为-20，故系统为Ⅰ型系统。延长低频段渐近线，经计

算得

1ω=时，()20lg 40100L K K ω==?= 由ABC ?知，

111

46640(lg5lg )5

100.5/AB rad s

ωωω=-=-=?=

由此可得系统的开环传递函数为

100

()(21)(0.21)

G s s s s =

++

（相频特性曲线画草图就可以了）

（2）由100

()120.2c c c c

A ωωωω≈

=??，求得系统的穿越频率 6.3/c rad s ω=

18090arctan(2 6.3)arctan(0.2 6.3)47γ=--?-?=-

根据()90arctan2arctan0.2180g g g ?ωωω=---=- ，得 1.58/g rad s ω= 系统在相交交界处的开环幅值为100

()63.8820.2g g g g

A ωωωω≈=??

幅值裕度为20lg ()36g g K A db ω=-=-

（3）由于该系统不稳定，所以讨论稳态误差是无意义的。

七、某火炮指挥系统是一个单位负反馈系统，其开环传递函数为

()(0.21)(0.51)

K

G s s s s =

++，系统最大输出速度为2r/min ，输出位置的容许误差小

于2度，求：

（1）确定满足上述指标的最小K 值，计算该 K 值下的相位裕量和幅值裕量；

（2）前向通路中串联超前校正网络0.41

()0.081

c s G s s +=+，试计算相位裕量。

解答：

（1）系统为I 型系统，2360/6062A K ess ?===

所以6

()(0.21)(0.51)

G s s s s =++

可以求得

3.5

3.5 3.5180()18090arctan arctan

4.9

25

c c G j ωγω==+∠=---=-

令[]Im ()0G j ω=，得

1

0.86

()

g g h G j ωω=== （2）加入串联校正后，开环传递函数为

60.41

()(0.21)(0.51)0.081

s G s s s s s +=

+++

求得

4.8

4.8 4.8 4.8 4.8180()180arctan 90arctan arctan arctan 20.22.52512.5

c c G j ωγω==+∠=+----=

八、设()(1)(0.251)

o K

G s s s s =

++，设计串联校正装置，使系统满足下列性能指标：

15,40,0.5c K s γω-≥≥≥ 。

解答：

（1）K=5时，待校正系统的伯德图如下图所示（可省略）

（2）由

1020lg5

40lg lg1

c ω-=--

得：11lg lg 52c ω==

所以1 2.24c ω==

2.2418090arctan 2.24arctan

49065.929.2 5.10o γ=---=--=-<

说明，待校正系统不稳定，由于1 2.240.5c ω=>，采用迟后校正。 （3）2401555γγε=+=+=

因为22218090arctan arctan0.2555c c γωω=---= 所以

2222

22

1.25 1.25arctan

350.710.2510.25c c c c ωωωω=?=--

2

2

2

22221.250.710.257502800.520.5

c c c c c ωωωωω=-+-=?=>

（4）由

2

20lg520lg 20lg1lg c b

ω+=--得：250.520.104c b b ω==?=取0.1b =

（5）选112

21210.13 (s )0.013 (s )4

c b bT ωωωω--=

====， 则1117.710.13()11771

10.013

c s

bTs s G s Ts s s +++===

+++ 所以5(7.71)

()()()(771)(1)(0.251)

o c s G s G s G s s s s s +==

+++

（6）1122

112218090tan tan 0.25 tan 7.7tan 77 557688.642.440c c c c γωωωω----=?-?--+-=?+?-?=?>?

满足要求。校正后系统的伯德图如下图所示（可省略）

九、已知系统的结构框图如图所示。

（1）求出系统的闭环脉冲传递函数；

（2）设图中1211

(),(),()1Ts e K s G s G s H s s s K

--+===+，试确定系统稳定时K 的取值范围。

已知：

22

111,,1(1)T z z Tz Z Z Z s z s z e s z αα-??????

===??????-+--??????

。 解答：

（1）由系统的结构图可以看出，系统一条前向通道的脉冲传递函数为12()G G z ，两个回路的回路脉冲传递函数为12()G G z -和2()G H z -，由梅森公式可求得系统的闭环脉冲传递函数为

12122()

()1()()

G G z z G G z G H z Φ=

++

（2）当系统中1211

(),(),()1Ts e K s G s G s H s s s K

--+===

+时，有 1

122(1)

()(1)(1)1()11T T K K e G G z z z s s z e K s G H z z s K ---??-=-=??+-??+??

==??+??

系统的特征方程为122(1)1()()20T T

K e G G z G H z z e ---++=+=-

即22(1)0T T z e K e ---+-=，求解特征方程的根为(1)2

T T K

z e e --=-- 要使系统稳定，必有以下不等式成立(1)12

T T K

z e e --=-

-< 故系统稳定的k 值范围应是2(1)

21T T

e K e --+-<<-

十、系统的方框图如图1所示，其中1,1,1,45M h θ==?== 所有的非线性特性均关于原点中心对称，2

1

()Ts G s s

+=

。 （1）画出负倒特性曲线和线性部分()G s 的Nyquist 图；

（2）分析当0.5T =时，系统是否存在自激振荡，如果存在自激振荡，请计算输出端的振幅和频率；

（3）讨论参数T 的变化对系统自激振荡的影响。

图中死区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：

1232

2()arcsin ,22()arcsin ,4(),K N X X X K N X X X Mh

N X j X h X

ππππ??=-≥?????=≥??

?=

≥

图1

解答：

（1）将原结构图化简可得到图2

图2

32

4()Mh

N X j X

π=负倒特性曲线和线性部分()c G j ω的曲线如图3所示：

图3

由图可知，负倒特性曲线与()c G j ω曲线有交点，所以存在自激振荡，并且是稳定的自激振荡。（由不稳定区→稳定区）

（2）当0.5T =时2

5(0.51)

()5()c s G s G s s +==

频率特性22

5(0.51)5 2.5

()c j G j j ωωωωω

+==---

由1

()()

c G j N X ω-

=，得25 2.54

j j π

ωω--

=

自激振荡的频率 3.183ω=

自激振幅 1.181X =

将振幅X 折算到输出端，考虑到5X Y =-，所以

输出振幅为0.2365

X

Y ==

输出频率为 3.183ω=

（3）由255()c G j j ωωω=--可见，T 增大时则振荡频率ω也增大，同时25

ω

减小，

相应的 X 减小，相应地输出端振幅也减小。同理，T 减小时，振荡频率ω减小，振幅 X 增大，相应地输出端振幅也增大。