高三理科数学上学期期末测评试卷及答案

上海市闵行区

高三第一学期期末质量监控

数学试卷(理).1

一．填空题（本大题满分60分）

1．设集合U {1,2,3,4,5},=集合A={1,23}B={2,34}，，，，

则U

(A B)=____________．

2．在等比数列{}n a 中，218,64,a a ==则公比q 为=___________ ． 3．不等式|32|1x -<的解是____________． 4．已知点Z 是复数21i

z i

-=

+在复平面内对应的点，则点Z 在第_______象限． 5．函数2()log (1)f x x =-的反函数是1

()f x -=_________．

6．在6

(1)x -的二项展开式中，中间项的系数是__________．

7．已知圆锥的底面积为π，母线长为2，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________． 8．根据右面的框图，打印的最后一个数据是__________.

9．已知数列{}n a 是以13为首项，以2-为公差的等差数列，

n S 是其前n 和，则n S 的最大值是____．

10．四位同学各自制作了一张贺卡，分别装入空白信封内，这四位同学每人 随机地抽取一封，则恰好有一人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是______11．已知x 是1245x 、、、、这五个数据的中位数，又知1

15y x

--、、

、这四个 数据的平均数为3，这x y +的最小值为_________ ．

12．若关于x 的不等式2

11

()022

n x x +

-≥对任意*n N ∈在(,]x λ∈-∞恒成立，则实常数λ的取值范围是__________．

二．选择题（本大题满分16分）

13．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元/斤，食用油的价格是15元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是 ( ) A ．

20 1510 1.9

B ．

20 1.910 15 C ．() 1.920 1015?? ??? D ．()1.920 1015??

???

14．如图为函数log n y m x =+的图像，其中m n 、 （ ）

A ．0,1m n <>

B ．0,1m n >>

C ．0,01m n ><<

D ．0,01m n <<<

15．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16．一质点A 从原点O 出发沿向量1(2,0)OA =到达点1A ，再沿y 轴正方向从点1A 前进

11||2OA 到达点2A ，再沿1OA 的方向从点2A 前进121||2

OA 到达点3A ，再沿y 轴正方向从点3A 前进

13

1

||2OA 到达点4A ，┅，这样无限前进下去，则质点A 最终到达的点坐标是 （ ） A ．42(4,2)22n n -

- B ．(4,2) C ．8844(,)338338n n -- D ．84(,)33

三．解答题（满分74分）

17．（本题满分12分）

如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，,AD AB ⊥ 且2,3,AD DC AB ===求异面直线11D C 与DB 所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)

18．（本题满分14分）

某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量()f x 与时间x 之间满足如图所示曲线.当[0,4]x ∈时，所示的曲线是二次函数图像的一部分，满足

21

()(4)44f x x =--+，当(4,19]x ∈时，所示的曲线是函数12

log (3)4y x =-+的图像的一

部分.据测定：每毫升血液中的含药量不少于1微克时治疗疾病有效.请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长时间的有效时间？(精确到0.1小时)

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知角α的顶点在原点，始边与x

轴的正半轴重合，终边经过点(P -.

(1)求行列式

sin tan 1 cos αα

α

的值；

(2)若函数()cos()cos sin()sin ()f x x x x R αααα=+++∈，

求函数2(

2)2()2

y x f x π

=-+的最大值，并指出取到最大值时x 的值.

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分．

已知向量2

(1,2),(3,),(),a x p b x f x a b p =++==是实数．

（1）若存在唯一实数x ，使a b +与(1,2)c =平行，试求p 的值； （2）若函数()y f x =是偶函数，试求函数()f x 在区间[1,3]-上的值域；

（3）已知α：函数()f x 在区间1

[,)2

-

+∞上是增函数，β：方程()f x p =有小于2-的实根．试问：α是β的什么条件(指出充分性和必要性)？请说明理由.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，2小题满分5分，第3小题满分10分．第3小题根据不同的思维层次予以不同评分.

对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M T 、，使函数()f x 对定义域内的任意x 实数，都满足()(),f x T f x M +-=则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数

()y f x =的一个准周期.如函数()(1)()x f x x x Z =+-∈是以2T =为一个准周期且2M =的

准周期函数.

(1) 试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由；

(2)证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值； (3)请你给出一个准周期函数(不同于题设和(2)中函数)，指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像.

参考答案

一、1.{1,4,5} 2.

18 3.1(,1)3

4.四

5.1()21x

f x -=+ 6.20- 7.O 60 8.63 9.49 10.

13 11.1

102

12.(,1]-∞- 二、13.C 14.D 15.B 16.D 三、

17.2

arctan )3

或 18. 由2

04,1(4)414x x ≤≤???--+≥??

解得：44x -≤≤ ① 由1

2

419,log (3)41x x <≤??

?-+≥??解得：411x <≤ ②

由①、②知：411x -≤≤

11(410.5--≈

所以，服用这种药一次大概能维持的有效时间为10.5小时. 19. (1)因为角α

终边经过点(P -

，所以1sin ,cos 223

ααα=

=-=-

sin tan sin cos tan 1 cos 4312αααααα∴

=-=-+=

； (2)

()cos()cos sin()sin cos ()f x x x x x R αααα=+++=∈

2

2)2cos

2

21cos2

2sin(2)1

6

y x x

x x

x

π

π

∴=-+

=++

=++

函数

max

3,

y

∴=此时()

6

x k k Z

π

π

=+∈

20. (1)22

(1,2),(3,),(4,2),

a x p

b x a b x x p

=++=∴+=+++

2

(1,2)2(4)2

a b c x x p

+=∴+=++

又与平行，

即2

260

x x p

--+=，

依题意可知，方程2

260

x x p

--+=有两个相等的实根，∴△=

47

18(6)0,

8

p p

--=∴=

(2)2

()3(2)3

f x a b x P x

==+++是偶函数，(2)0,2

p p

∴+==-

即()[1,3][3,30]

f x

∴-

在上的值域是

(3)由:

α函数()

f x在区间

1

[,)

2

-+∞上是增函数，知

21

62

p+

-≤-，

1,A=[1,+)

p

∴≥∞

记

由:

β方程2

3(2)30

x p x p

+++-=有小于-2的实根，

2

323

,2

1

x x

p x

x

++

∴=<-

-

且

2

3238

3(1)8(2)

11

x x

p x x

x x

++

==-+-<-

--

又的值域为

11

(,)

3

+∞

111

,(,)

33

p B

∴>=+∞

记

A

B，所以α是β的必要不充分条件.

21. (1)()sin ,f x x =

(2)()sin(2)sin 0f x f x x x ππ∴+-=+-= 2π∴不是函数()f x 的准周期

(2)(2)()[2(2)sin(2)](2sin )

=24sin 2sin 4f x f x x x x x x x x x πππππ

+-=+++-+++--=

∴()2sin f x x x =+是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π= (3)①写出一个不同于题设和(2)中函数，

如3sin ,2(1),23sin ,[]x

y x x y x y x x y x =+=+-=+=等得1分

(0),()sin(),()cos()y kx b k y kx b A x y kx b a x ω?ω?=+≠=+++=+++，

或其它一一次函数(正比例函数)与周期函数的线性组合的具体形式得3分

②指出所写函数的一个准周期，得2分

③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、┅，(写出一条得

1分，写出两条以上得2分，可以不证明)

④画出其大致图像，得3分. 参考图像：212sin(2)3

y x x π

=+++

的图像如下：