高三数学上学期期末考试试题理

2019届高三数学上学期期末考试试题理

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}1,0,1M =-，{}

2,N x x a a M ==∈，则集合=?N M （ ） A.{}1,0,1-

B. {}2,0,2-

C. {}0

D.

{}2,1,0,1,2--

2.已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工

作5~10年的员工400人，工作0~5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工

中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5~10年的员工代表有（ ） A ．8人

B ．16人

C ．4人

D ．24人

3.在ABC ?中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得向量CM ，则向量CM 在向量CA 方向上的投影为（ ）

A.1-

B.1

C.12-

D.1

2

4.已知复数(2i)i 5i(,)m n m n -=+∈R ，则复数i

1i

m n z +=-的共轭复数z 虚部为（ ） A ．

3

2

B ．32-

C ．72

D ．72

- 5.设,x y 满足约束条件330

280440x y x y x y -+≥??

+-≤??+-≥?

，则3z x y =+的最大值是（ ）

A ．9

B ．8 C. 3 D ．4 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 2π

B. 3π

C. 5π

D. 7π

7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出v 的值为（ ）

A. 621-

B. 62

C. 631-

D. 6

3

8.若2

0π<

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9.如图，在由0x =， 0y =， 2

x π

=

，及cos y x =围成区域内任取一点，则该点落在0x =，

sin y x =及cos y x =围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）

A. 212-

B. 21

2

- C. 322- D. 21- 10．在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==， 2SA SC AC === ,二面角

S AC B --的余弦值是 3

3

，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ） A. 3

2

π B. 2π C. 6π D. 6π

11.已知函数ln ,0

()ln(),0mx x x f x mx x x ->?=?+-

.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点

11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为

（ ）

A.1(,2]e

B.1(,]e e

C.(,2]e e

D.

1

(2,]

e e + 12.已知抛物线C ：()022

>=p py x 的焦点到准线的距离为2，直线1+=kx y 与抛物线C

交于N M 、两点，若存在点()1,0-x Q 使得QMN ?为等边三角形，则=MN （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知菱形ABCD 中，2=CD ，0

60=∠ABC ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1

为半径作圆，得到的图形如下图所示，若往菱形内投掷10000个点，则落在阴影部分内的点约有________________个.（

3

取1.8） 14.设?-

=22

cos π

πxdx a ，则4

21???

??++x a x 的展开式中常数项为_________.

15.已知数列{}n a 的首项21=a ，方程23cos sin 12019

-=-?+?+n n a x a x x

有唯一实根，则数列{}n a 的前n 项和为_________.

16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:2

2

=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P

作圆O 的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，若存在点P 使得→

→

→

=+PO PB PA 2

3，则实数

a 的取值范围是 .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知ABC △中，2BC =，45B =?，(01)AD AB λλ=<<.

（I ）若1=?BCD S ，求CD 的长；（II ）若30A =?，3

1=

λ，求sin sin ACD

DCB ∠∠的值．

18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面

ABC ，BE EC ⊥，6BC =，3AB =30ABC ∠=?.

（I ）求证：AC BE ⊥；

（II ）若二面角B AC E --为45?，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.

19. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b

+=>>的右焦点F 与抛物线2

8y x =的焦

6x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为3l 交椭圆于,A B 两点.

（I ）求椭圆的标准方程；

（II ）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若

不存在说明理由.

20.（本小题满分12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：

并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：

喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计

表（1） 表（2）

（I ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？

（II ）现从表（2）中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .

n a b c d =+++.

21.（本小题满分12分）已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈--=. （I ）求)(x f 的单调区间；

（II ）若0=a ，令2

2

3)1()(+++

+=x x tx f x g ，若1x ，2x 是)(x g 的两个极值点，且0)()(21>+x g x g ，求正实数t 的取值范围.

选做题（本小题满分10分）：（以下两道选做题任选一道，若两道都做按第一道给分） 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t α

α

=+??

=?，（t 为参数，α为直线倾斜

角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.

（Ⅰ）当45α=时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ?面积最大时，求直线l 的普通方程. 23.

已知函数

()|2| f x x

=-

（I）解不等式：

()(1)2

f x f x

++≤；（II）若0

a<，求证：()(2)()

f ax f a af x

-≥.

临川一中xx 上学期期末考试答案

一、选择题

二、填空题

13.1000 14. 2

23

15. 2123-+n n 16.]22,22[-

三、解答题

17.解：（Ⅰ）由212

2

45sin 210=?==??=

?BD BD BD BC S BCD 在BCD ?中，由余弦定理可得

2242445cos 20222=?=-+=??-+=CD BD BC BD BC CD ……………6分

（II ）由AD BD AB AD 23

1=?=→

→

，在ADC ?中，由正弦定理可知

CD

AD

CD A AD ACD ACD AD A CD 2sin sin sin sin =

?=∠?∠= 在BDC ?中，由正弦定理可知

CD

BD

CD B BD BCD BCD BD B CD 22sin sin sin sin =?=∠?∠= 故422

212222sin sin ====∠∠BD AD CD

BD CD AD

BCD ACD ……………12分 18. 解（Ⅰ）ABC ?中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC

+-

∠=

= 解得AC =222

AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.

因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，BC AC ⊥，

所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ?平面BCDE ，所以AC BE ⊥. ……………6分 （2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ?平面BCDE ， 所以AC CE ⊥.又因为BC AC ⊥，平面ACE

平面ABC AC =，

所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=?. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥，所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角

.因为在Rt ACE ?中，sin 45BE BC =?=

所以在Rt BAE ?

中，sin 4

BE BAE AB ∠=

=. ……………12分 19.解：(Ⅰ)（1）抛物线2

8y x =的焦点是()2,0()2,0F ∴，2c =∴，又

椭圆的离心

率为

3

3

c a

=

a =∴，26a =，则2222

b a

c =-= 故椭圆的方程为22

162

x y +=. ……………4分 （2）由题意得直线l

的方程为()()03

y x m m =-

->

由()22

1623x y y x m

?+=????=--??

消去y 得22

2260x mx m -+-=. 由()

224860m m ?=-->

，解得m <-<又0m >

，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，2126

2

m x x -=

.

))()2

1212121213

33m m y y x m x m x x x x ????=-?-=-++????????∴.

()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，

()()()()2

1212121223462243333

m m m m FA FB x x y y x x x x -+?=--+=-+++=

∴ 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ?=，即

()

2303

m m -=，

解得0,3m =.

又0m <<3m =∴.

即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点. ……………12分

由

表中数据可得

024.5223.518

32203097-1123502

2

>=?????=K ）（，故能在

犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关。 ……………4分

（II ）依题意可得：X 的可能取值为3,2,1,0，则()247310370===C C P X ，()4021

3

1013271=?==C C C P X ()40731023172=?==C C C P X ，()120

1

3

103

33===C C P X ； 故X 的分布列为

则 ()10

1203402401240=?+?+?+?

=X E ……………12分 21.解：（Ⅰ）由1ln )(--=x ax x f ，()+∞∈,0x ，则()x

ax x a x f 1

1-=-=' ………2分

当0≤a 时，则()0≤'x f ，故)(x f 在()+∞,0上单调递减； 当0>a 时，令()a x x f 10=?='，所以)(x f 在??? ??a 1,0上单调递减，在??

?

??+∞,1a 上单调递增；

综上所述：当0≤a 时，)(x f 在()+∞,0上单调递减； 当0>a 时，)(x f 在??? ??

a 1,

0上单调递减，在??

?

??+∞,1a 上单调递增。………5分 （Ⅱ）()1ln 2

2223)1()(+-+=+++

+=tx x x

x x tx f x g ， 故()()()()()

12141242

22++-+-=+-+='tx x t tx tx t x x g ，当1≥t 时，()0≤'x g 恒成立，故()x g 在()+∞,0上单调递减，不成立，故10<

令()0='x g ，得t

t

x t t x -=--=

12,1221，又()x g 有两个极值点；故()0='x g 有两个根。故

t t t 112

->--且?-≠--212t t 12

1

210<<<

()()()()()()[]

1ln 4

241ln 221ln 222121221212

122211121+++-+++=+-+++-+=

+x x t x x t x x x x x x tx x x tx x x x g x g ()()()2

212ln 1

22212ln 1214----=----=

t t t t t ………8分 令12-=t u ，由12

1

210<<<

令()2

ln 22u u

u h --=，()()1,00,1?-∈u

当()0,1-∈u 时，()()()02

2ln 2222>-='?---=u u u h u u u h ，则()u h 在()0,1-上单调

递增，故()()041>=->h u h ，则??

? ??

∈21,0t 时0)()(21>+x g x g 成立； 当()1,0∈u 时，()()02

2ln 2222>-='?--

=u

u u h u u u h ，则()u h 在()1,0上单调递增，故()()01=

?

??∈121，t 时0)()(21<+x g x g ； 综上所述：??

? ??∈21,0t ……………12分

22.解：（Ⅰ）当45α=时，直线l

的参数方程为522

x y ?=+

???

?=??，

消去t 得直线l 的普通方程为50x y --=. ……………………2分 曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，两边乘以ρ为2

4cos ρρθ=，由cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=?得：

2240x y x +-=，

所以曲线C 的直角坐标方程为2

2

40x y x +-=. ……………………5分 （Ⅱ）曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的圆，

1

||||sin 2sin 2

ABC S CA CB ACB ACB ?=

∠=∠. ……………………7分

当90ACB ∠=时面积最大.此时点C 到直线:(5)l y k x =-的距离为，所以

=

，解得：7

k =±

， ……………………9分

所以直线l 的普通方程为5)y x =-. ……………………10分 23.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ……………………1分

当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即1

12

x ≤≤； 当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；

当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即5

22

x <≤.

综上,原不等式的解集为1

5|2

2x x ??≤≤????. ……………………5 分

（II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---

=2222ax a ax ax a ax -+-≥-+-

22(2).a f a =-=

所以()(2)()f ax f a af x -≥成立． ……………………10分

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

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