5.2不等式的基本性质
5.2不等式的基本性质
教学目的:
1.使学生理解不等式的概念,初步掌握不等式的三条基本性质;
2.培养学生对比以及观察、分析问题的能力,并初步领会对比的思想方法.
教学重点:
不等式的三条基本性质.
教学难点:
不等式的基本性质3.
教学过程:
引言:运用对比的方法,引导学生猜想出不等式的三条基本性质,并通过实例加以验证
首先,让学生用“>”或“<”号填空:
(1)7+3______4+3; (2)7+(-3)______ 4+(-3);
(3)7×3 ______ 4×3; (4)7×(-3)______ 4×(-3).
然后,启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质.并请学生叙述不等式的基本性质1.此时,教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正.即不能笼统地说“仍是不等式”,要改为书中所说的“不等号的方向不变”.对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质,让学生思考不等式类似的性质.引导学生观察上述第(3)、(4)小题,并将题中的3换成5,-3换成-5,按题中的要求再做一遍,并猜想出结论.然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质2,3.(在观察上述练习题时,引导学生注意不等号的方向,并用彩色粉笔标出来,并问原因是什么?当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时,教师应作适当的引导,启发.并依次板书这几条基本性质)
不等式基本性质:
1.不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
2.不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
此时,教师要特别强调不等式基本性质3,并举例:若a <b ,c <0,则ac >bc(或c a >c b
) 然后,让学生用不等式-2<4两边都分别加上5,-6,两边都分别乘以3, -3来验证上述不等式的三条基本性质.
问题:(1)在不等式 -2<6两边都乘以m 后,结论将会怎样?(当字母m 的取值不明确时,需对m 分情况讨论)
(2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同.
(问这两个问题的目的在于,强化学生对不等式基本性质的理解,特别是对不等式基本性质3的理解)
五、应用举例,变式练习
例1 根据不等式基本性质,把下列等式化成x >a 或x <a 的形式:
(1)x-2<3; (2)6x <5x-1;
解:(1)由不等式的基本性质1可知,不等式的两边都加上2,不等号的方向不变,所以
x-2+2<3+2,
x <5.
(2)、(3)、(4)题略.
(解题时,要求学生要联想解一元一次方程的思想方法,并将原题与x >a 或x <a 对照着用哪条基本性质能达到题目要求.同时强调推理的根据,尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别,解题书写要规范)
例2 设a >b ,用“<”或“>”号填空:
(3)-4a ______ -4b ; (4)ma ______mb .(m ≠0)
解:(1)因为a >b ,两边都减去3,所以由不等式基本性质1,得
a-3>b-3.
(2),(3)题略.
(4)因为a>b,两边都乘以m.
当m>0时,由不等式基本性质2,得
ma>mb,
当m<0时,由不等式基本性质3,得
ma<mb.
(解题时,要让学生明白推理要有根据,并要求以后做类似的习题时,都要写出根据,逐步培养学生逻辑思维的能力)
练习(投影)
1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x>a或x<a的形式:
(1)x+1>2; (2)4x<3x-5;
(5)3x<x+4; (6)x<3x+4.
2.设a<b,用“>”或“<”号填空:
(1)a+5______ b+5; (2)2a ______ 2b;
3. 7页 1.2.3
六、小结
七、作业
1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x>a或x<a的形式:
(5)4x<2x+6.
2.设 a>b,用“>”或“<”号填空:
(1)a+3 ______ b+3; (2)5a ______ 5b;
(5)ma______ mb(m≠0).
3.8页3题,4题
4.9页B组,C组做书上
七年级下册不等式及其基本性质讲义
环球雅思教育学科教师讲义 年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。?参考答案: (1)a>0 (2)y-2≥0 (3)a+6>7 (4)≥3(5)8+3x≤1
,+ 4,-4,4.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于5则不等式成立;若不小于5则不等式不成立。 参考答案:当x=-1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立。 说明:因为当x=1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立,当x=2,+4,4.5时,不等式2x+1<5不成立,所以同方程类似,我们可以说-1,0,-2.5-4是不等式2x+1<5的解,而2,+4,4.5不是不等式2x+1<5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (1)由2a>5,得a>(2)由a-7>,得a>7 (3)由- a>0,得a<0 (4)由3a>2a-1,得a>-1。 例5.设a>b;用">"或"<"号填空: (1) (2)a-5 b-5 (3)- a- b (4)6a6b (5)-(6)- a -b 参考答案:(1)>(2)> (3)< (4)> (5)<(6)< 例5.试比较下列两个代数式值的大小: (1)5a+2与4a+2 (2)x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示:我们知道,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b,所以要比较a与b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案:(1)(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数,负数或零,∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时,5a+2>4a+2 ②当a=0时,5a+2=4a+2?③当a<0时,5a+ 2<4a+2。?(2)(x3+3x2-7)-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。
1.2 不等式的基本性质-
§1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 (一)教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质; 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. (二)能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提高大家的辨别能力. (三)情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索,培养大家的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张:(记作§1.2 A) 第二张:(记作§1.2 B) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗? [生]记得. 等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式. 基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式. [师]不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 [师]等式的性质我们已经掌握了,那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法. [生]∵3<5 ∴3+2<5+2 3-2<5-2 3+a<5+a 3-a<5-a 所以,在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. [师]很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.
[生]∵3<5 ∴3×2<5×2 3× 21<5×2 1. 所以,在不等式的两边都乘以同一个数,不等号的方向不变. [生]不对. 如3<5 3×(-2)>5×(-2) 所以上面的总结是错的. [师]看来大家有不同意见,请互相讨论后举例说明. [生]如3<4 3×3<4×3 3× 31<4×3 1 3×(-3)>4×(-3) 3×(-31)>4×(-3 1 ) 3×(-5)>4×(-5) 由此看来,在不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变. [师]非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导. [生]当不等式的两边同时除以一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同时除以一个负数时,不等号的方向改变. [师]因此,大家可以总结得出性质2和性质3,并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l >16 2 l 的正确性 [师]在上节课中,我们知道周长为l 的圆和正方形,它们的面积分别为π 42 l 和 162l ,且有π42l >16 2 l 存在,你能用不等式的基本性质来解释吗? [生]∵4π<16 ∴ π41>16 1 根据不等式的基本性质2,两边都乘以l 2 得 π42l >16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式: (1)x -5>-1; (2)-2x >3; (3)3x <-9. [生](1)根据不等式的基本性质1,两边都加上5,得
八年级《不等式基本性质》教学设计
八年级《不等式基本性质》教学设计 八年级《不等式基本性质》教学设计 八年级《不等式的基本性质》教学设计 【教学重点与难点】 教学重点:掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3. 教学难点:正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形. 【教学目标】 1、探索并掌握不等式的基本性质 2、会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】 通过观察、分析、讨论,引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质,从具体上升到理论,再由理论指导具体的练习,从而强化学生对知识的理解与掌握.【教学过程】 一、创设情境复习引入 (设计说明:设置以下习题是为了温故而知新,为学习本节内容提供必要的知识准备.) 问题:1、什么是等式?等式的基本性质是什么? 2、什么是不等式? 3、用“>”或“<”填空. (1)7>3(2)-1 3 7+53+5-1+23+2 7-53-5-1-43-4 (教学说明:复习等式的基本性质后学生自然会联想到,不等式是否有与等式相类似的性质,从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体,通过观察,寻找规律,得出不等式的性质.) 二、师生互动,探索新知 1、不等式的基本性质
问题1:观察思考问题3,猜想出不等式的性质 先让学生独立思考,后合作交流,通过充分讨论,类比等式性质得出不等式的性质. 观察时,引导学生注意不等号的方向,通过(1)题学生容易得出不等式性质1:不等式基本性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 比较(2)、(3)题,注意观察不等号方向,并思考不等号方向的改变与什么有关?由学生概括总结,教师补充完善得出: 不等式基本性质2不等式两边乘(或除以)同一个不为零的正数,不等号的方向不变. 不等式基本性质3不等式两边乘(或除以)同一个不为零的负数,不等号的方向改变. 2、图形演示 通过PPT用图形演示不等式的基本性质,让学生更加清楚地认识不等式的基本性质。 3、拓展及应用 提问:不等式有对称性吗? 不等式有传递性吗? 【学生通过讨论能够比较容易得出结论:不等式有对称性,但要注意其不等号方向的变化;不等式也有传递性,但要注意的是同向传递性。】 三、巩固训练,熟练技能: 1、(1)a-3____b-3; (2)a÷3____b÷3 (3)0.1a____0.1b; (4)-4a____-4b (5)2a+3____2b+3; (6)(m2+1)a____(m2+1)b(m为常数) 【本题目采用提问的方式,因为内容相对简单,所以可以迅速得到结论。要让提问者说清楚答案,并说明利用不等式的性质几来进行判定的。】
3.2不等式的基本性质(原卷版)
第3章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 知识提要 1.不等式的基本性质1:若ab+5 B .3a>3b C .-5a>-5b D .> 2. 如果1-x是负数,那么x的取值范围是( ) A .x >0 B .x <0 C .x >1 D .x <1 3.已知a 1;①a +b <ab ;①1a <1b .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 若-a>a ,则a 必是( ) A . 正整数 B . 负整数 C . 正数 D . 负数 5.(乐山中考)下列说法中,不一定成立的是( ) A. 若a >b ,则a +c >b +c B. 若a +c >b +c ,则a >b C. 若a >b ,则ac 2>bc 2 D. 若ac 2>bc 2,则a >b 6.若a <4,则关于x 的不等式(a -4)x >4-a 的解是( ) A. x >-1 B. x <-1 C. x >1 D. x <1 二、填空题 1. 由x <y 得到ax >ay ,则a 的取值范围是_________ 2. 若a <b <0,把1,1-a ,1-b 这三个数按由小到大的顺序用“<”连接起来:______ 3.满足不等式12 x <1的非负整数是 . 4.填空 ①如果a -b<0,那么a____________b ; ①如果a -b =0,那么a____________b ; ①如果a -b>0,那么a___________b ; 三、解答题
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数, 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时,a>bac>bc c<0时,a>bac<bc。 运算性质有: (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式的意义、性质及其应用
不等式的意义、性质及其应用 教学重点:不等式的性质 教学难点:不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树,原计划每位同学植树4棵,但由于某组的10名同学另有任务,未能参加植树,其余同学每位植树6棵,结果仍未能完成计划任务,若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式? 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( )
A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变. 不等式性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 例1 利用不等式的性质,填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a0,则ac+c bc+c; (4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0. 例2 利用不等式性质解下列不等式 (1)x-7>26; (2)3x<2x+1; (3)3 2x>50; (4)- 4x>3. 分析:利用不等式性质变形为最基本形,利用数轴表示解集 练习: 1.根据不等式的性质,把下列不等式化为x>a 或xx x (2)22 121--≤x x (3)-3x>2 (4)-3x+2<2x+3 3. 已知不等式3x-a ≤0的解集是x ≤2,求a 的取值范围. 六、不等式的实际应用 问题一:某学校计划购买若干台电脑,现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一台按原报价收款,其余每台优惠25%;乙商场的优惠条件是:每台优惠20%.学校经核算选择甲商场比较合算,你知道学校至少要买多少台电脑? 解:设购买x 台电脑,到甲商场比较合算,则 6000+6000(1-25%)(x -1)<6000(1-20%)x 去括号,得:6000+4500x -45004<4800x 移项且合并,得:-300x <1500 不等式两边同除以-300,得:x>5 ∵x 为整数 ∴x ≥6 答:至少要购买6台电脑时,选择甲商场更合算. 问题二 :甲、乙两个商店以同样的价格出售同样的商品,同时又各自推出不同的优惠方案:在甲商店累计购买100元商品后,再买的商品按原价的90%收费;在乙商累计购买50元商品后,再买的商品按原价的95%收费.顾客选择哪个商店购物能获得更大的优惠?
七年级下册不等式及其基本性质讲义
环球雅思教育学科教师讲义年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。 参考答案: