2020年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(理科)(一)(5月份)(有答案解析)

2020 年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5 月份）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|（x+1）（x-2）≤0}，B={-1，0，1，2，3}，则 A∩B=（ ）
A. {-1，0，1}
B. {-1，0，1，2} C. {0，1，2}
D. {0，1，2，3}
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（1+2i）z=（1+i）（2-i），则|z|=（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知
，则 sin2α=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为 棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A. 1
B.
C.
D.
5. 若非零向量 、 满足
，则 在 方向上的投影为
（）
A. 4
B. 8
C.
D.
6. 形状如图所示的 2 个游戏盘中（图①是半径为 2 和 4 的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边 形，点 P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动 2 个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了 一局游戏，则一局游戏后，这 2 个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）
A.
B.
7. 若函数 的单调递增区间是（ ）
A.
C.
C.
D.
，且 f（α）=2，f（β）=0，|α-β|的最小值是 ，则 f（x）
B. D.
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8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日
影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为( )
A. 4.5 尺
B. 3.5 尺
C. 2.5 尺
D. 1.5 尺
9. 平面直角坐标系 中,动点 到圆
上的点的最小距离与其到直线
的距
离相等,则 点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已如定点 P（1，9），动点 Q（x，y）在线性约東条件
所表示的平面区域内，则
直线 PQ 的斜率 k 的取值范围为（ ）
A. [-1，7]
B. [-7.1]
C. （-∞，-1]∪[7，+∞）
D. [-9，-1]∪[7，+∞）
11. 已知三棱锥 P-ABC 的棱 AP、AB、AC 两两垂直，且长度都为 ，以顶点 P 为球心 2 为半径作一
个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）
A.
B.
C. π
D.
12. 已知函数 f（x）=-x3+1+a（ ≤x≤e，e 是自然对数的底数）与 g（x）=3lnx 的图象上存在关于 x 轴
对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知双曲线
的一条新近线的斜率为 ，则此双曲线的离心率为______．
14. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，若 S3＝a2＋4a1，T5＝243，则 a1 的值为 __________．
15. 已知(2＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 15，则展开式中所有项的系数和为________． 16. 已知 14C 的半衰期为 5730 年（是指经过 5730 年后，14C 的残余量占原始量的一半）．设 14C 的
原始量为 a，经过 x 年后的残余量为 b，残余量 b 与原始量 a 的关系如下：b=ae-kx，其中 x 表示 经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 14C 的残余量约占原始量约 占原始量的 76.7%．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今______年．（已知 log20.767≈-0.4） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=2 ，AC=2，∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ． （1）若 θ=60°，求 BD 的长度； （2）若∠ADB=30°，求 tanθ．
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18. 如图所示，圆 O 的直径 AB＝6，C 为圆周上一点，BC＝3，平面 PAC 垂直圆 O 所在平面，直线 PC 与圆 O 所在平面所成角为 60°，PA⊥PC．
(1)证明：AP⊥平面 PBC； (2)求二面角 P—AB—C 的余弦值．
19. 已知椭圆
为 3．
(a＞b＞0)的离心率
(1)求椭圆的方程；
，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长
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(2)已知 P 为直角坐标平面内一定点，动直线
与椭圆交于 A，B 两点，当直线 PA 与
直线 PB 的斜率均存在时，若直线 PA 与 PB 的斜率之和为与 t 无关的常数，求出所有满足条件 的定点 P 的坐标．
20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，且将纤维长
度超过 315mm 的棉花定为一级棉花．设计了如图茎叶图：
（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）； （2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2 根，求其中恰有 3 根一级棉花的概率； （3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取 1 根，求其中 一级棉花根数 X 的分布列及数学期望．
21. 已知函数 f（x）=x2-8x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）当 x=1 时，f（x）取得极值，求 a 的值；
（Ⅱ）当函数 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2）且 x1≠1 时，总有
成
立，求 m 的取值范围．
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22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
参数），以原点 O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心的极坐标为（
）且经过极点的圆．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程和 C2 的普通方程；
（2）已知射线
分別与曲线 C1，C2 交于点 A，B（点 B 异于坐标原点 O），求线段
AB 的长．
23. 已知函数 f（x）=k-|x-3|，k∈R，且 f（x+3）≥0 的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求 k 的值；
（Ⅱ）若 a、b、c 是正实数，且
，求证：
．
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1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：解：由题意可得 A={x|-1≤x≤2}，B={-1，0，1，2，3}，所以 A∩B={-1，0，1，2}． 故选：B． 求出 A 不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.答案：C
解析：解：由（1+2i）z=（1+i）（2-i），
得 z=
=1-i，
∴|z|= ． 故选：C． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.答案：D
解析：【分析】 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及二倍角公式的应用，是基础题． 由二倍角的余弦公式结合诱导公式化简求值． 【解答】
解：由
，得
，
∴cos（2 ）=- ，则-sin2
故选：D．
4.答案：C
，sin2 ．
解析：解：正方体的对角线长为 2 ， 故当正方体旋转的新位置的最大高度为 2 ， 又因为水的体积是正方体体积的一半， ∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为 ． 故选：C． 根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半． 本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．
5.答案：A
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解析：解：非零向量 、 满足
，可得
，所以
=8，
从而 在 方向上的投影为： = ． 故选：A． 利用已知条件求出向量的数量积的值，然后求解 在 方向上的投影．
本题考查向量的数量积的应用． 在 方向上的投影的求法，是基本知识的考查．
6.答案：A
解析：解：“一局游戏后，这二个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件 A1、A2，
由题意知，A1、A2 互相独立，且 P（A1）= ，P（A2）= ，
∴P（A1A2）=P（A1）P（A2）= × = ．
故选：A． 先根据几何概型的概率公式得到在二个图形中，小球停在阴影部分的概率，因为二个小球是否停在 阴影部分相互之间没有关系，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果． 本题考查几何概型的概率公式，考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
7.答案：B
解析：解：∵ =2sin（ωx+ ），
∵f（α）=2，f（β）=0，|α-β|的最小值是 ， ∴T=2π，ω=1， 则 f（x）=2sin（x+ ），
令-
x+
可得，
，k∈Z
故选：B． 先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数性质可求周期 T，进而可求 ω，从而可 求 本题主要考查了正弦函数的图象性质的简单应用，属于基础试题
8.答案：C
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设此等差数列{an}的公差为 d，则 a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+
公式即可得出． 【解答】
d=85.5，解得：d，a1．利用通项
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解：设此等差数列{an}的公差为 d，
则 a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+ d=85.5，
解得：d=-1，a1=13.5． 则 a12=13.5-11=2.5． 故选：C．
9.答案：A
解析：【分析】 本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
设动点 P（x，y），由已知得|x+1|=
-1，由此能求出点 P 的轨迹方程．
【解答】 解：设动点 P（x，y）， ∵动点 P 到直线 x=-1 的距离等于它到圆：（x-2）2+y2=1 的点的最小距离，
∴|x+1|=
-1，
化简得：6x-2+2|x+1|=y2， 当 x≥-1 时，y2=8x， 当 x＜-1 时，y2=4x-4＜-8，不合题意． ∴点 P 的轨迹方程为：y2=8x． 故选 A．
10.答案：C
解析：【分析】 本题考查简单的线性规划，考查了斜率的求法，属于中档题． 由约束条件作出可行域，联立方程组求得 A、B 的坐标，由两点求斜率公式求得 PB，PA 的斜率，可 得 k 的取值范围． 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图：
定点 P（1，9），动点 Q（x，y）在线性约束条件 斜率 k= ，
所表示的平面区域内，则直线 PQ 的
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由题意可得 A（4，6），B（0，2）， 可得 kPA= =-1，
kPB= =7，直线 PQ 的斜率 k 的取值范围为：（-∞，-1]∪[7，+∞）． 故选：C．
11.答案：D
解析：解：如图，AP= ，AN=1，
，
，
∴
×．
同理
，
，
，
球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于
．
故选：D． 画出图，根据弧长公式求解 本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空 间想象能力、化归与转化思想．属于中档题．
12.答案：A
解析：【分析】 本题考查函数的对称性，函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性和最值，构 造函数法求方程的解及参数范围，属于较难题.
关将已知存在关于 x 轴对称的点转化为方程 1+a-x3=-3lnx 1+a=x3-3lnx 在区间[ ，e]上有解．设函数
h（x）=x3-3lnx，求出其导数，可知函数 h（x）=x3-3lnx 有最小值 h（1）=1，且 h（ ）＜h（e），进
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而得到函数有最大值 h（e）=e3-3，即可得到函数 h（x）=x3-3lnx 在区间[ ，e]上的值域为[1，e3-3].
若方程 a+1=x3-3lnx 在区间[ ，e]上有解， 则必有 1≤a+1≤e3-3，则有 0≤a≤e3-4，进而求出 a 的取值范围. 【解答】 解：根据题意，若函数 f（x）=-x3+1+a（ ≤x≤e，e 是自然对数的底数）与 g（x）=3lnx 的图象上存在 关于 x 轴对称的点， 则方程-x3+1+a=-3lnx 在区间[ ，e]上有解，
-x3+1+a=-3lnx a+1=x3-3lnx，即方程 a+1=x3-3lnx 在区间[ ，e]上有解，
设函数 h（x）=x3-3lnx，其导数 h′（x）=3x2- =
，
令 h′（x）=0，得 x=1∈[ ，e]，
分析可得：当 ≤x＜1 时，h′（x）＜0，h（x）为减函数， 当 1＜x≤e 时，h′（x）＞0，h（x）为增函数， 故函数 h（x）=x3-3lnx 有最小值 h（1）=1， 又由 h（ ）= +3，h（e）=e3-3；比较可得：h（ ）＜h（e）， 故函数 h（x）=x3-3lnx 有最大值 h（e）=e3-3， 故函数 h（x）=x3-3lnx 在区间[ ，e]上的值域为[1，e3-3].
若方程 a+1=x3-3lnx 在区间[ ，e]上有解，
则必有 1≤a+1≤e3-3，则有 0≤a≤e3-4， 即 a 的取值范围是[0，e3-4]， 故选 A．
13.答案：2
解析：解：双曲线
的一条新近线的斜率为 ，可得
，所以，
，
所以 ，所以 e= ．
故答案为：2． 利用双曲线的渐近线的斜率，得到 a，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
14.答案：1
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解析：【分析】 根据等比数列的性质求出 a3=3，再根据 S3=a2+4a1，求出首项． 本题考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式和通项公式，属于中档题． 【解答】 解：∵T5=a1a2a3a4a5=243， ∴a35=243， ∴a3=3， ∵S3=a2+4a1， ∴a1+a2+a3=a2+4a1， ∴a1=1， 故答案为：1．
15.答案：32
解析：【分析】 由题意可得 2C52+aC51=15，解得 a=-1，再令 x=1 即可求出展开式中所有项的系数和． 本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题． 【解答】
解：(2＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 15，即
，a＝－1，
设(2－x)(1＋x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6 令 x＝1 得 25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝32． 故答案为 32．
16.答案：2292
解析：解：由 b=ae-kx，由题意可得：
=e-5730k，
两边取 2 为底的对数可得： -1=-5730klog2e，① 又 0.767=e-kx， 两边取 2 为底的对数可得： log20.767=-kxlog2e，②
②÷①可得 0.4≈ ，
即 x≈2292， 故答案为：2292．
由题意可得 =e-5730k，0.767=e-kx，两边取 2 为底的对数，相除即可得到所求值．
本题考查指数函数类的应用题，考查运算能力和方程思想，属于基础题．
17.答案：解：（1）由
，
设∠DAC=60°，
可知，AD=ACcos60°=2× =1．
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在△ABD 中，∠DAB=150°，AB=2 ，AD=1， 由余弦定理可知，
BD2=（2 ）2+12-2×2 ×1×（- ）=19，
则 BD= ； （2）在△ABD 中，∠ADB=30°，AB=2 由正弦定理可知，
，AD=2cosθ，∠ABD=60°-θ，
=
，
即
=4 ，
即有 2cosθ=4 （ cosθ- sinθ）， 4cosθ=2 sinθ， 整理得 tanθ= = ．
解析：本题考查三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能 力，属于中档题． （1）在直角三角形 ACD 中，求得 AD，在△ABD 中，运用余弦定理可得 BD； （2）求得 AD=2cosθ，在△ABD 中，∠ADB=30°，AB=2 ，∠ABD=60°-θ，运用正弦定理和两角差的 正弦公式、同角的商数关系，即可得到所求值．
18.答案：（1）证明：∵AB 是圆 O 的直径，C 为圆周上一点，
∴BC⊥AC， ∵平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC=AC， ∴BC⊥平面 PAC，又 AP?平面 PAC， ∴BC⊥AP， 又 PC∩BC=C，PC?平面 PBC，BC?平面 PBC， ∴AP⊥平面 PBC． （2）过 P 作 PH⊥AC 于 H，则 PH⊥平面 ABC， ∴∠PCH 为 PC 与平面 ABC 所成角，即∠PCH=60°，
∵AC=
=3 ，
∴HA= ，HP= ，HP= ，
过 H 作 BC 的平行线 HF 交 AB 于 F，则
，∴HF= ，
以 H 为原点，以 HA，HO，HP 为坐标轴建立空间坐标系 H-xyz，
则 A（ ，0，0），F（0， ，0），P（0，0， ），
∴ =（- ， ，0）， =（0， ，- ），
设平面 PAB 的法向量为 =（x，y，z），则
，即
，
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令 x=1 可得 =（1， ， ）， 又平面 ABC 的一个法向量为 =（0，0，1）， ∴cos＜ ＞= = = ． 由图形可知二面角 P-AB-C 为锐二面角， ∴二面角 P-AB 一 C 的余弦值为 ．
解析：（1）证明 BC⊥平面 PAC 得出 BC⊥PA，再结合 PA⊥PC 即可得出 AP⊥平面 PBC； （2）建立空间坐标系，求出平面 PAB 和平面 ABC 的法向量，通过计算法向量的夹角即可得出二面 角的大小． 本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．
19.答案：解：（1）∵椭圆
的离心率 ，
过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 3，
∴
，解得 a=2，b= ，
∴椭圆方程为
．
（2）设 A（
），B（
），P（m，n），
将 l：y=
代入椭圆方程，得：x2+tx+t2-3=0，
△=t2-4（t2-3）＞0，t2＜4， 则有 x1+x2=-t，x1x2=t2-3， 直线 PA，PB 的斜率之和为：
kPA+kPB=
+
=
=
，
当 n= ，2mn=3 时，斜率的和恒为 0．
解得 m=1，n= 或 m=-1，n=- ．
故所有满足条件的定点 P 的坐标为（1， ）和（-1，- ）．
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解析：（1）由椭圆的离心率 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 3，列方程组
能求出 a=2，b= ，由此能求出椭圆方程．
（2）设 A（
），B（
），P（m，n），将 l：y=
代入椭圆方程，得：x2+tx+t2-3=0，
由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出所有满足条件的定点 P 的坐标． 本题考查椭圆方程、点的坐标的求法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系、根的判别式、 韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.答案：解：（1）根据茎叶图知，①乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度，
（或：甲种棉花的纤维平均长度小于乙种棉花的纤维平均长度） ②甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散， （乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中些）； ③甲种棉花的纤维长度的中位数是 307mm，乙种棉花的纤维长度的中位数为 318mm， ④乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，且大多集中在中间（均值附近）， 甲种棉花的纤维长度除 1 个特殊值（352）外，也大致对称，且分布均匀；（写出 2 个结论即可） （2）记事件 A 为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2 根，其中恰有 3 根一级棉花”，
则所求的概率为 P（A）=
=；
（3）由题意知，随机变量 X 的可能取值是 0、1、2，其相应的概率为：
P（X=0）= × = ，P（X=1）= × + × = ，P（X=2）= × = ；
所以 X 的分布列为，
X
0
1
2
P
数学期望为 E（X）=0× +1× +2× =1．
解析：（1）根据茎叶图可从棉花的纤维平均长度、纤维长度的离散性，中位数以及数据的分布情况 进行分析，写出 2 个结论即可； （2）利用相互独立事件的概率公式计算即可； （3）由题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 本题考查了用频率估计概率、随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了推理与计算能力， 属于中档题．
21.答案：解：（I）f′（x）=2x-8+ ，（x＞0），∵当 x=1 时，f（x）取得极值，
∴f′（1）=2-8+a=0，解得 a=6．经过验证满足题意． ∴a=6． （II）当函数 f（x）在（0，+∞）内有两个极值点 x1，x2（x1＜x2）且 x1≠1 时， 则 u（x）=2x2-8x+a=0 在（0，+∞）上有两个不等正根．
∴
，∴0＜a＜8．
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∴x1+x2=4，x1x2= ，0＜x1＜x2，∴x2=4-x1，a=2x1x2=2x1（4-x1），可得 0＜x1＜2．
∴
成立，即
＞（m-2）（4-x1）（x1+1），
即
＞（m-2）（x1+1），即
-（m-2）（x1+1）＞0，
即 [2lnx1+
]＞0，且 0＜x1＜1 时， ＞0．
1＜x1＜2 时， ＜0．即 h（x）=2lnx+
（0＜x＜2）．
h′（x）=
（0＜x＜2．
①m=2 时，h′（x）= ＞0．∴h（x）在（0，2）上为增函数，且 h（1）=0，
∴x∈（1，2）时，h（x）＞0，不合题意舍去． ②m＞2 时，h′（x）＞0．同①不合题意舍去． ③m＜2 时，（i）△≤0 时，解得 m≤1，h′（x）≤0， 在（0，2）内函数 h（x）为减函数，且 h（1）=0，可得：0＜x＜1 时，h（x）＞0．
1＜x＜2 时，h（x）＜0．∴
＞0 成立．
（ii）△＞0 时，1＜m＜2，h′（x）分子中的二次函数对称轴 x= ＞1，开口向下，
且函数值=2（m-1）＞0，即 a=min{ ，2}，
则 x∈（1，a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（1）=0，h（x）＞0，故舍去． 综上可得：m 的取值范围是 m≤1．
解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、 分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，难度较高．
（I）f′（x）=2x-8+ ，（x＞0），由题意可得 f′（1）=0，解得 a．经过验证即可得出． （II）当函数 f（x）在（0，+∞）内有两个极值点 x1，x2（x1＜x2）且 x1≠1 时，则 u（x）=2x2-8x+a=0
在（0，+∞）上有两个不等正根．可得
，利用根与系数的关系可得：x2=4-x1，a=2x1x2=2x1
（4-x1），可得 0＜x1＜2．∴
成立，即
-（m-2）（x1+1）＞0，即
[2lnx1+
]＞0，且 0＜x1＜1 时， ＞0.1＜x1＜2 时， ＜0．即 h（x）=2lnx+
（0＜x＜2）．对 m 分类讨论利用导数研究其单调性即可得出．
22.答案：解：（1）由曲线 C1 的参数方程为
参数），消去参数可得
，
又 x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入
，可得曲线 C1 的极坐标方程为
=
．
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由曲线 C2 是圆心的极坐标为（
）且经过极点的圆，可得其极坐标方程为
，
从而得 C2 的普通方程为
；
（2）将 （ρ≥0）代入
，得
，
又将 （ρ≥0）代入
，得
．
故|AB|=
．
解析：（1）由曲线 C1 的参数方程直接消去参数可得普通方程，结合 x=ρcosθ，y=ρsinθ 得曲线 C1 的
极坐标方程．由曲线 C2 是圆心的极坐标为（
）且经过极点的圆，可得其极坐标方程为
，两边同乘 ρ 后得 C2 的普通方程；
（2）将 （ρ≥0）分别代入代入
与
，求得 A，B 的极径，作差可得线
段 AB 的长． 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，是中档题．
23.答案：（Ⅰ）解：f（x+3）≥0 的解集为[-1，1]，即为
|x|≤k 的解集为[-1，1]，（k＞0）， 即有[-k，k]=[-1，1]， 解得 k=1； （Ⅱ）证明：将 k=1 代入可得，
+ + =1（a，b，c＞0），
则 a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ）=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）
≥3+2
+2
+2
=3+2+2+2=9，
当且仅当 a=2b=3c，上式取得等号．
则有
．
解析：（Ⅰ）由题意可得|x|≤k 的解集为[-1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得 k=1；
（Ⅱ）将 k=1 代入，再由乘 1 法，可得 a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ），展开运用基本不等式即
可得证． 本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添 1 法 和基本不等式是解题的关键．
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