融合马尔科夫链_蒙特卡洛算法的改进通用似然不确定性估计方法在流域水文模型中的应用

2009年4月

水 利 学 报

SHUILI XUEBAO 第40卷 第4期

收稿日期:2008-04-23

基金项目:国家自然科学基金重点项目(40730632);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-05-0624);霍英东青年教师基金资助

项目(101077)

作者简介:卫晓婧(1984-),女,山西阳泉人,硕士生,主要从事水文水资源方面的研究。E -mail:hellomuki@to https://www.360docs.net/doc/4c1464978.html,

文章编号:0559-9350(2009)04-0464-10融合马尔科夫链-蒙特卡洛算法的改进通用

似然不确定性估计方法在流域水文模型中的应用

卫晓婧,熊立华,万 民,刘 攀

(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北武汉 430072)

摘要:本文在Blasone 研究工作的基础上,进一步提出了基于马尔科夫链-蒙特卡洛算法的改进通用似然不确定性估计方法(Markov Chain -Monte Carlo based Modified Generalized Likelihood Uncertainty Esti mation,MMGLUE)。该方法结合近年来被广泛用于推求参数后验分布的MC MC 方法,对基于Mon te Carlo 随机取样方法的传统GLUE 方法进行改进,并以预测区间性质最优为标准,对可行参数组阈值进行判断与选择,提出了衡量预测区间对称性的标准,并就预测区间性质与可行参数组个数的相关关系进行了探索。在汉江玉带河流域的实例研究证明,MMGLUE 方法较传统的GLUE 方法能够推求出性质更为优良的预测区间,从而更真实合理地反映水文模型的不确定性。

关键词:MC MC;GLUE;MMGLUE;预测区间;覆盖率;区间宽度;区间对称性

中图分类号:P333文献标识码:A

1 研究背景

近10年来,流域水文模型的不确定性研究逐渐成为当今水文界广泛研究的热点之一,各国的水文学家就此做了大量的工作[1]。Beven [2-3]于1992年率先提出了流域水文模型/异参同效性0的观点,并针对流域水文模型的不确定性研究问题提出了通用似然不确定性估计(Generalized Likelihood Uncertainty Estimation,GLUE)方法。该方法结合Monte Carlo 随机取样技术与Bayesian 框架,对由模型结构、参数冗余及相关性、输入输出误差等因素造成的不确定性进行综合分析。GLUE 方法原理简单,易于操作,但由于其自身理论结构的缺陷,越来越多的研究者就GLUE 方法提出了质疑[4-5],即并非经典的Bayesian 方法、主观判断参数可行域阈值和推求的参数后验概率分布不具有显著的统计特征。因此,基于不同假设的其他不确定性研究方法,如:基于经典Bayesian 理论的Ba RE(Bayesian Recursive Estimation)方法

[6],基于全局卡尔曼滤波理论的EnKF(Ense mble Kalman Filter )方法[7]

,多目标方法如MOSCE M (Mult-i objective Shuffled Complex Evolution Metropolis)方法[8]等被用于估计模型的不确定性工作中。然而,上述方法尽管

理论结构相对复杂,应用效果与GLUE 方法相比却并没有明显的提高。

同时期另一种基于经典Bayesian 理论的马尔科夫链-蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MC MC)方法也被广泛应用于推求参数后验分布的研究中。特别是SCE M -UA (The Shuffled Complex E volution

Metropolis Algorithm)方法[9]能够有效地探索参数空间,使Markov Chain 能够朝着高概率密度区进化,从而

推导出具有显著统计特征的水文模型参数的后验分布。

因此,Blasone [10]提出将两种方法结合起来,采用SCE M -UA 采样方法替代传统的GLUE 方法中的)

464)

Monte Carlo随机取样方法,并根据估计的预测区间的覆盖率来控制可行参数组个数的选择,对传统的GL UE方法进行改进。本文在Blasone所做工作基础之上,进一步提出以预测区间性质最优为指标来控制可行参数组个数的选取。

2方法

211贝叶斯统计推断贝叶斯学派是数理统计中的一个重要学派,其重要观点是[11]:任一未知参数H 都可以看作随机变量,因为任一未知量都有不确定性,因此可以用概率分布来描述。人们根据先验信息对未知参数H的先验分布P(H),通过实验获得样本x1,x2,,,x n,对H的先验分布进行调整,调整的结果是H的后验分布h(H|x1,x2,,,x n)。在这个过程中,人们的认识由P(H)调整到h(H|x1,x2,,, x n)。贝叶斯方法中样本x1,x2,,,x n对H的条件密度p(x,x2,,,x n|H)就是经典方法中H已知时样本的联合密度。一旦样本已知,就只有H在变化,把联合密度看成参数H的似然函数,用l(H|x1,x2,,, x n)来表示。参数的后验分布表示为[12]

h(H|x1,x2,,,x n)=

P(H)l(H|x1,x2,,,x n)

Q P(H)l(H|x1,x2,,,x n)d H(1)

因为参数的后验分布综合了总体信息、样本信息和先验信息,因此对H的统计推断就应建立在后验分布的基础上。

贝叶斯假设:参数的无信息先验分布P(x)所在的取值范围内是/均匀0分布的。根据最大熵原则,无信息如果意味着不确定性最大,那么,无信息的先验分布应是最大熵的相应分布,因为只有在分布是均匀时,熵才达到最大值,故本文中两种方法所采用的先验分布都是均匀分布。

经典统计学中处理点估计与区间估计方法不同,但在贝叶斯学派却是统一的。对于贝叶斯统计中的区间估计,只要存在后验分布,就可以用相应分布的分位点给出参数H的置信区间,就模型参数不确定性分析而言,也就是预测区间。问题就在于评判估计效果的标准。本文中采用预测区间覆盖率、区间宽度、区间对称性作为最优后验分布判定的标准。

当后验分布已知时,对于给定的置信概率1-A可以求出很多置信区间。由于参数H的最大后验区域估计集中了分布密度似然函数值取值尽可能最大的点,因此H的最大后验区间一定是在统一置信概率下区间宽度最狭窄的区间。进而,推求参数的最大后验估计,成为不确定性分析方法研究的最终目的和手段。

212GL UE方法GLUE方法是目前最常用于不确定性估计的经验频率方法,它的原理与步骤如下:首先假设参数服从某一先验分布,通过Monte Carlo取样方法生成一定数目的可行参数组,然后利用流域降雨、蒸发、径流资料,计算各组参数值的对应的似然值。那些与实际过程越接近的模型参数被认为具有越高的可信度与似然度。最后主观选定一阈值,对似然度低于该阈值的参数组,令其相应的似然度为0;对高于该阈值的参数组,按照似然函数值由高到低排序,并标准化,再按照其似然值赋予相应的权重。通过更新样本信息,从而取得参数的后验分布。

213MC MC方法MC MC是为了获得参数后验分布一系列后验量而发展起来的一种行之有效的计算方法,主要适用于多变量,非标准形式,且各变量间相互不独立时的分布模拟。显然,MC MC方法非常适用于推求流域水文模型各参数的后验量。

Markov链具有如下特性:(1)无后效性:由随机变量序列组成的Markov链{X(0),X(1),X(2),,},在任一时刻t(t\0),序列中下一时刻处的X(t+1)由条件分布产生,它只依赖于时刻t处的当前状态而与时刻t之前的历史状态{X(0),X(1),,X(t-1)}无关;(2)各态遍历性:从不同的X(0)出发,链经过一段时间的迭代后,历经各种状态的Markov链最终收敛于平稳分布[13]。

MC MC方法的基本原理就是基于建立的平稳分布为P(x)的Markov链来获得P(x)的样本。产生若干条独立并行的Markov链来探索模型参数空间,通过不断更新样本信息而使Markov链收敛于高概率

)

465

)

密度区,也就是Bayesian 方法中的最大后验估计。MC MC 方法中的SCE M -UA 取样方法能够更有效的探索未知参数空间,因此本文采用该种方法推求实验模型参数的后验分布及其预测区间。

214 MC MC -based Modified GLUE (MMGLUE )方法 MMGLUE 方法,采用SCE M -UA 取样方法代替传统的GL UE 方法中的Monte Carlo 随机取样,并采用预测区间性质作为可行参数组数目x 的选取标准。从而推求出有统计学意义的、性质优良的预测区间。方法流程如图1所示,具体步骤如下:

图1 MMGLUE 方法结构流程

(1)选择实验模型以及相应的流域资料。

(2)确定似然函数,本文采用模型效率系数R 2作为似然函数:

R 2

=1-E M i =1(Q i -Q ^i )2P E M i =1(Q i - Q )2(2)

式中:Q i 为实测径流量;Q ^i 为预测径流量; Q 为实测径流序列的均值;M 表示实测系列长度。

(3)根据先验分布随机产生s 个决策变量H t (t =1,2,,

,s )。(4)将s 个样本点划分为q 个区,每个区采用SCEM -UA

[14-18]方法独立并行演化L 次以获得L #q 个样本点。

(5)将这些样本点掺混。

(6)将掺混后的样本点按照似然值由高到低排序。

(7)以预测区间对观测值覆盖率最合理、预测区面宽度最窄、区间对称性最优为标准,选取一合理初值x 带入模型进行预测区间性质检验,调整x 的值,使之达到既定标准。

覆盖率CR [19]及区间宽度IW 计算公式为

CR =E M t =1J [Q obs,t ]P M ;IW =E M t =1(Q u p,t -Q low,t )P M (3)

其中:J [Q obs,t ]=1,Q low,t

0,其它

式中:Q ob s,t 为时段t 实测径流量;Q low,t 为时段t 预测区间下界;Q up,t 为时段t 预测区间上界。

为了更好的反映预测区间的偏移程度,本文提出预测区间对称性IS 计算公式如下:)

466)

IS =

E M t =1I [Q up,t ]P E M t =1I [Q low,t ](4)其中:I [Q low,t ]=1,Q ob s,t Q up ,t 0,其它

. 由式(4)可以看出,当IS =1时,区间对称,当0[IS <1时,区间较实际观测值偏高,IS >1时,区间偏低。为了便于理解,下面就几种极限情况下的预测区间予以解释,如图2所示。

IS =lim E M t =1I [Q up,t ]y M

lim E M t =1I [Q low,t ]y 0

=+](a)所有观测值位于预测区间之上IS =lim E M t =1I [Q up,t ]y 0li m E M t =1I [Q low,t ]y 0=1(b)所有观测值位于预测区间之中IS =li m E M t =1I [Q up,t ]y 0lim E M t =1I [Q low,t ]y M

=0(c)所有观测值位于预测区间之下

图2 预测区间各种典型情况示意图及IS 取值(图中阴影部分为预测区间,黑色实线表示实测流量过程线)

需要指出的是:在传统的GLUE 方法中,预测区间的上下界选取可遵循如下原则:设预测区间置信度为A ,各组参数按照其相应的似然值获得相应权重,将其所求的径流量由小到大排序,得预测区间上界Q up ,t =Q (1+

A )P 2,t

,预测区间下界Q low,t =Q (1-A )P 2,t ,其中(1+A )P 2与(1-A )P 2为前若干组参数组的累积权重,即

E m i =1R 2

i P x =1+A 2与E m i =1

R 2i P x =1-A 2,m =1,2,,,x 处的模拟值。改进的GL UE 方法由于采用MC MC 取样方法,因此认为Markov 链收敛达到稳定后的各个位置的点都是具有后验统计意义的,因此具有相同的权重。将各组参数值代入SMAR 模型进行模拟,按照模拟值由小到大进行排序,则相应的预测区间上界Q up,t =Q (1+

A )P 2,t ,预测区间下界Q low,t =Q (1-A )P 2,t ,其中Q (1+A )P 2,t 与Q 1-A )P 2,t

分别为排序为x #(1+A )P 2与x #(1-A )P 2处的模拟值。SCE M -UA 方法步骤如下[7]:(1)产生样本点。利用随机产生的s 个决策变量H t (t =1,2,,,s ),将其

存储在数组D (1:s ,1:n )中,其中n 为参数个数。计算其相应的似然函数值f (H t ),按照函数值大小由高到低排序;(2)种群分区。将整个种群划分为q 个分区,每个分区包含m 个点,其中任何一个分区C k 包含如下个体:D (q (j -1)+k ,1:n ),j =1,2,,,m ,每个分区对应一条Markov 链S k (k =1,2,,,q ),链的起始点为数组D 中似然函数值为第k 高的个体,即S i (0)=D (k ,1:n )。手工设置链长L 。;(3)SE M (Sequence Evolution Metropolis,序列独立并行演化采样法)演化。由生成的Markov 链进行SE M 独立并行演化,根据每条链所属区的样本协方差信息,反复产生所需的随机样本(记为Q t +1),更新种群样本,从而产生新的样本组合。SE M 演化方法详见参考文献[9];(4)将更新后的种群分区掺混,按照目标函数值由高到低的顺序将L #q 个样本点进行排列。其相应的参数组随之排序,根据后验信息选取适当的x 值进行不确定性区间估计。

3 应用实例

311 实验流域 实验流域采用位于汉江源头的玉带河流域。流域面积433km 2

。多年平均年降雨量1148mm,年径流深773.5mm 。采用该流域1980)1984年共5年的降雨径流资料作为率定期,1985)1990的资料作为检验期。)467)

312SMAR模型本文采用SMAR模型作为实验模型,因其结构简单,参数个数较少,便于分析模型不确定性。SMAR模型(The Soil Moisture Accounting and Routing model)[20]以土壤水分含量为核心理论,模型结构简单,参数个数较少,是一种集总式概念性水文模型。模型将土壤层划分为若干个水平层,土壤水分蒸发采用分层计算。模型产汇流机制可简单概述为:净雨强度按照直接径流系数划分为直接径流与非直接径流,非直接径流大于下渗强度的部分与直接径流共同作为地表径流汇入河道。剩余非直接径流部分渗入地下,土壤张力水蓄满后产生饱和径流,按地下径流系数划分为地表径流与地下径流。模型汇流采用二水源划分,将径流划分为地下径流与地表径流。流域汇流地面径流采用Nash瞬时单位线汇流,地下径流汇流采用滞后线性水库汇流。各参数意义及取值范围如表1所示。

表1SMAR模型参数意义及其取值范围

参数意义取值范围

C P(mm/d)地表水蒸发速率0~1

Z P mm土壤水蓄水容量0~160

Y P(mm/h)下渗速率0~160

H直接径流系数0~1

T蒸发折算系数0~1

G地下径流系数0~1

K g地下径流消退系数0~1

N线性水库调节次数1~20

K线性水库蓄泄系数1~20

4结果与讨论

411Markov链统计学性质采用MMGLUE方法得到参数N、K以及Y的Markov链演化过程如图3所示。由图3可以看出,参数N、K的各条Markov链在演化过程中逐渐收敛于范围狭窄的区间,即高概率密度区,参数N集中分布在113附近,参数K集中分布在210附近。参数Y的Markov链尽管收敛于一稳定的后验分布,但后验分布的区间较宽,在区间[0,160](mm P h)范围内几乎等概率取值。通过对比以上3个参数的后验分布,可以认为,相对于后验分布取值范围较窄的参数N和K,后验分布取值范围较宽的参数Y具有更大的不确定性,更易于导致/异参同效0现象。

412可行参数组个数x与区间性质关系一般认为,预测区间的区间宽度随着所选可行参数组个数x 的增加而增加,相应的覆盖率也越来越高。这是因为能够推求出与实际过程越相近的参数组具有越高的似然度,所选的可行参数组个数越少,也就是仅选取似然度高的参数组作为可行参数组,其所推求的模拟值上下界都与实际值接近,因此区间宽度越窄,相对而言,选择的可行参数组个数越多,相应地模拟值上下界与实际值相距越远,因此区间宽度越宽。但根据实验结果与原先的推断是不相符的。经分析认为是由如下原因所致:由不确定分析方法推求的预测区间对于实际值来说通常是不对称的。就MMGLUE方法在本次实验中而言,当x取值偏大时,估计出的预测区间相对于实际值是偏高的(IS< 1),当降低可行参数点个数x时,x#(1+A)/2与x#(1-A)/2也就相应降低,也就是说预测区间相对于原来降低,纠正了原先偏高的预测区间。区间的偏离程度与区间宽度作为两种互为矛盾的因子决定着预测区间的覆盖程度,因此虽然区间宽度变窄了,但覆盖率却不一定降低。

由图4不难看出,虽然随着可行参数组个数选取越来越少,区间宽度越来越窄,但随着区间对称性的提高,覆盖率却随之增高。也就是说,预测区间宽度与可行参数组个数x成正相关关系,而覆盖率则不然,在IS>1或IS=1的情况下,随着x的增加,预测区间的上下限也相应增加,纠正了原本偏低的预测区间,可行参数组个数x与覆盖率成正相关关系。而在IS<1的情况下,由于区间的偏离程度与区间宽度的共同作用,覆盖率与x不一定为正相关关系。

由图5可以看出,当x取值过大时,预测区间最宽,但与实际过程偏离较大,覆盖率较低。x取值较小时,预测区间过窄,覆盖率较低。当取得一个最佳值时,可以取得一个覆盖率高且区间宽度较窄的预)

)

468

图3各参数M arkov链演化序列

测区间。笔者认为,预测区间的不对称程度与预测分析方法本身的框架结构、采用的实验模型结构及各

参数的取值范围存在必要联系。

图4两种方法可行参数组个数与预测区间性质关系(A=90%,L#q=5000)

413参数后验分布采用GLUE和MMGLUE方法推求的部分模型参数的后验分布如图6所示。由图6可以看出,对于同一个参数而言,通过GLUE方法推求的后验分布基本为均匀分布;而经改进后的MMGLUE方法推求的后验分布则是呈现显著的非均匀分布,一般都具有/峰值0,二者区别显著。导致GL UE方法推求的参数后验分布往往过于平坦的主要原因是由于GL UE对模型模拟结果的输出项不加选择的接受为输入项,从而导致其无显著的统计特征。这是GLUE方法被归类为伪贝叶斯方法的原因

)

)

469

图5基于不同x M MGLUE推求的预测区间(A=90%,L#q=50000)

之一。而改进后的MMGLUE方法由于采用了SC EM-UA算法,使得随机抽样朝着目标(似然度最高)方向有序进化,不断的根据先验信息收敛于后验分布,从而使得到的参数后验分布易于存在/峰值0(即参数的高似然值区域),符合经典贝叶斯理论后验分布的特征。这样的参数值后验分布有助于推求出性质最优的最大后验估计区间。

414结果比较由前述结论可知,所选的x值越小,则区间宽度越窄。本着区间性质最优的原则,在所得后验样本点的范围内,可选择较低的x值作为起点。由图7可以看出,当x取值为4927~4939之间时,区间对称性水平和覆盖率水平达到最高,又因为x值越小,则区间宽度越窄,因此本文选择x= 4927作为本次实验的可行参数组个数。

采用GLUE和MMGLUE方法得到的预测区间指标如表2,可知以预测区间性质为评判标准的MMGLUE方法估计的预测区间对称性优良,区间宽度较窄,并且能够恰当的覆盖实测数据。

表2两种方法预测区间估计效果比较(L#q=50000,A=90%)

率定期检验期

方法

覆盖率P%区间宽度P(m3P s)对称性覆盖率P%区间宽度P(m3P s)对称性

G LUE92.933.5 4.3888.822.0 1.73

M MGLUE89.629.10.90187.519.60.83检验期典型峰值和非峰值径流预测区间如图8所示,可以看出MMGLUE方法推导的预测区间可以更精确地包含实测资料,对SMAR模型不确定性的估计效果要明显优于传统的GL UE方法。

5结语

基于Monte Carlo随机取样方法的GLUE方法原理简单,易于操作。在GLUE方法中Monte Carlo随机)

470

)

图6两种方法推求的SMAR模型部分参数后验概率分布

图7MMG LUE方法预测区间性质与x关系图(L#q=50000,A=90%)

取样方法虽然相对简单,但却具有较高探索参数空间能力,并且可以间接地对模型结构、模型输入、输出误差所造成的不确定性进行估计。但由于对模拟结果不加选择,并不能使取样朝着既定目标)))最大

)

)

471

图8两种方法检验期预测区间(L#q=50000,A=90%)

后验估计区进化。将SCE M-UA方法代替Monte Carlo随机取样,通过不断更新样本各个分区的信息,使得各条Markov链独立并行的朝着高概率密度区进化,从而推导出具有明显统计学意义的、性质最优的后验分布及其相应后验量,SC EM-UA方法的不足之处在于过度依赖于模型结构,而忽略了模型输入、输出、以及模型结构的不确定性[6]。结合两种不确定性研究方法的优势,既可以全面分析模型的不确定性,又可以推求出具有优良统计学性质的不确定区间。由于基于GL UE不确定性分析方法推求的参数后验分布的高概率区域是非连续的,因此无法准确区分其可行参数组的概率分布的区域边界,故参数可行域的阈值往往由人为确定。这样推求的参数后验分布不但不具有明确的统计学意义,还会造成所选可行参数组冗余或必要信息量的丢失。采用预报置信区间的优劣作为评判参数可行域阈值的标准,将不确定性估计效果作为参数可行的约束条件,大大改善了由主观选定的可行域阈值而造成的误差。实)

)

472

验结果表明:就SMAR模型而言,采用自适应MC MC方法改进的GLUE方法能够推导出性质更为优良的不确定区间,从而更好的分析模型参数的不确定性。

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(下转第480页)

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Investigation on potentiality and utilization approaches

of floodwater resources in Poyang Lake

X U J-i jun1,C HE N Jin1,HUANG S-i ping2

(1.Changjiang Rive r Sc ienti fic Re searc h Institute,Wuhan430010,China;

2.Changjiang W ate r Resourc es Committee,Wuhan430010,China)

Abstract:The problems of seasonal uneven distribution of water resources and continuous drought in recent yeats in the Poyang Lake are analyzed.Based on the assessment on the potentiality of floodwater resources,an idea from the vie w point of giving attention both to flood prevention and drought fighting is suggested.The core of this suggestion is to reasonably utilize the floodwa ter by means of engineering and non-engineering measures,since the floodwater of the lake is abundant.Under the conditions of flood prevention is ensured and the waterways linking the lake and rivers will not be blocked.B y establishing and effective controlling adjustable spillways at the inlets and outlets of the lake,the floodwater can be reasonably detained in the lake for mitigating the problem of seasonal drought and fulfill the need of ec o-environment.

Key words:floodwater resources utilization;potentiality assessment;poyang lake

(责任编辑:王成丽)

(上接第473页)

Application of Markov Chain Monte Carlo method based modified generalized

likelihood uncertainty estimation to hydrological models

WEI Xiao-jing,XIONG L-i hua,WAN Min,LI U Pan

(W uhan U nive rsity,W uhan430072,China)

Abstract:A modified generalized likelihood uncertainty estimation(GLUE)based on Markov Chain Monte Carlo(MC MC)method for regional hydrological model is suggested.The method uses the Markkov Chain Monte Carlo for sampling rather than the Monte Carlo random sampling to infer the posterior probability distribution and selects the behavior parameters threshold according to the property of predic tion interval.Then,the relationship between the properties of predicted interval and the threshold for choosing behavior parameters are explored.The c riteria of describing the prediction interval symmetry are also proposed.The application to the Yudaihe River watershed demonstrates that the proposed modified GLUE,comparing with the original GLUE,can derive more accurate prediction bounds and more proper estimation of the uncertainty in hydrological model.

Key words:Morkov Chain Monte Carlo method;predicted interval;contained ratio;interval width;interval symmetry

(责任编辑:王成丽) )

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