解三角形应用举例

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角

形应用举例

1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里．

答案：5 6

解析：由正弦定理， 知

BC sin60°＝AB

sin （180°－60°－75°）

，

解得BC ＝56(海里)．

2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

答案：10 3

解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝

3

3

×30＝103，由余弦定理，得

MN ＝

900＋300－2×30×103×

3

2

＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m.

答案：20 6

解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆，

所以∠BAD＝∠BCD＝45°；

在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m.

答案：10

解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10.

由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2

－2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2

＝h 2

＋102

－2h×10×cos120°，

∴ h 2

－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．

5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．

答案：mcos αcos β>nsin(α－β)

解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m

sin （α－β），

解得BM ＝

mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β

sin （α－β）

>n ，

所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险．

1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．

(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．

(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．

(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

[备课札记

]

题型1 测量距离问题

例1 要测量河对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并且测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．

解：△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC＝30°，∴ AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴ BC ＝

3sin75°sin60°＝6＋2

2

.在△ABC 中，由

余弦定理得AB 2

＝AC 2

＋BC 2

－2AC·BC·cos ∠ACB ＝(3)2

＋? ??

??6＋222

－2·3·6＋22

cos75°＝5，∴ AB ＝ 5 km.故A 、B 之间的距离为 5 km.

变式训练 设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，求A 、B 两点的距离．

解：由题意知∠ABC＝30°，

由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB

sin ∠ACB ，

得AB ＝AC·sin ∠ACB

sin ∠ABC

＝

50×22

12＝50 2 m.

故A 、B 两点的距离为50 2 m. 题型2 测量高度问题

例2 某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE＝α，∠ADE ＝β.

(1) 该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；

(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？

解：(1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H

tan β，

解得H ＝htan αtan α－tan β＝4×1.24

1.24－1.20

＝124.

因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) 由题设知d ＝AB ，得tan α＝H

d

.

由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h

d

，

所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋

H （H －h ）d

≤h

2H （H －h ）

，

当且仅当d ＝H （H －h ）

d ，即d ＝H （H －h ）＝125×（125－4）＝555时，上式取等

号．所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π

2，所以当d

＝55

5时，α－β最大．故所求的d 是555m.

备选变式（教师专享）

如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB.

解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD

sin ∠CBD ，所以BC ＝

CD·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s·sin β

sin （α＋β）

.

在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝s·tan θsin βsin （α＋β）

.

题型3 测量角度问题

例3 在海岸A 处，发现北偏西75°的方向，距离A 2海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏东45°方向，距离A (3－1)海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追

截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 向北偏西30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

解：由已知条件得，AB ＝2，AC ＝3－1，∠BAC ＝120°，

∴ BC ＝AB 2＋AC 2

－2AB·AC·cos ∠BAC ＝4＋4－23＋23－2＝ 6.

在△ABC 中，AB sin ∠ACB ＝BC

sin ∠BAC ，

解得sin ∠ACB ＝

2

2

，∴ ∠ACB ＝45°， ∴ BC 为水平线，设经过时间t 小时后，缉私船追上走私船，则在△BCD 中， BD ＝10t ，CD ＝103t ，∠DBC ＝120°，

sin ∠BCD ＝BDsin ∠CBD

CD ＝10t×

3

2103t

＝12，

∴ ∠BCD ＝30°，

∴ 缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船． 备选变式（教师专享）

如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．

(1) 求渔船甲的速度； (2) 求sin α的值．

解：(1) 依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20海里，∠BCA ＝α.

在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝122＋202

－2×12×20×cos120°＝784，解得BC ＝28海里．

所以渔船甲的速度为BC

2

＝14海里/小时．

(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC

sin120°

.

即sin α＝AB·sin120°

BC ＝12×

3228＝3314

.

1. 在△ABC 中，若sin 2

A ＋sin 2

B ＜sin 2

C ，则△ABC 的形状是________．

答案：钝角三角形

解析：由正弦定理可把不等式转化为a 2

＋b 2

＜c 2

，cosC ＝a 2

＋b 2

－c

2

2ab

＜0，所以三角形为

钝角三角形．

2. 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

答案：－

24

解析：设最小边为a ，则其他两边分别为2a ，2a.由余弦定理，得最大角的余弦值为cos α＝a 2

＋（2a ）2

－（2a ）2

2a ×（2a ）

＝－2

4.

3. (2013·上海一模)一人在海面某处测得某山顶C 的仰角为α(0°＜α＜45°)，在

海面上向山顶的方向行进m m 后，测得山顶C 的仰角为90°－α，则该山的高度为________m ．(结果化简)

答案：1

2

mtan2α

解析：由题意知∠CAB＝α，∠CDB ＝90°－α，∠CDA ＝90°＋α，且AD ＝m ，则∠ACD ＝90°－2α.由正弦定理得

AD sin （90°－2α）＝AC sin （90°＋α），即m cos2α＝AC

cos α

，即

AC ＝mcos αcos2α，所以山高BC ＝ACsin α＝msin αcos αcos2α＝1

2

mtan2α.

4. 已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则AC BC ＋BC AC ＋AB 2

BC ·AC 的最大值为

________．

答案：2 2

解析：AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC ＝AC 2＋BC 2＋AB 2

BC ·AC .

又AC 2

＋BC 2

＝AB 2

＋2AC·BC·cosC ， ∴ 原式＝2cosC ＋2AB 2

BC ·AC ＝2cosC ＋4S △ABC

BC ·AC

＝2cosC ＋2BC·AC·sinC

BC ·AC

＝2cosC ＋2sinC

＝22sin ?

????C ＋π4，

∴ 当C ＝π

4

时，最大值为2 2.

1. 某人在汽车站M 的北偏西20°

的方向上的A 处(如图所示)，观察到C 处有一辆汽车

沿公路向M 站行驶，公路的走向是M 站的北偏东40°

.开始时，汽车到A 处的距离为31 km ，汽车前进20 km 后，到A 处的距离缩短了10 km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M?

解：设汽车前进20 km 后到达B 处，在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理，得cosC ＝AC 2

＋BC 2

－AB 2

2AC ·BC ＝2331，则sinC ＝123

31.所以sin ∠MAC ＝sin ()120°－C ＝

sin120°cosC －cos120°sinC ＝

35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC·sin ∠MAC

sin ∠AMC

＝31×

353

62

32

＝35，从而有MB ＝MC －BC ＝15 km. 答：汽车还需行驶15 km ，才能到达汽车站M.

2. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里

/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解：(1) 设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则

S ＝900t 2

＋400－2·30t·20·cos （90°－30°）

＝900t 2

－600t ＋400 ＝

900? ??

??t －132

＋300 . 故当t ＝1

3时，S min ＝10 3 海里，

此时v ＝103

13

＝30 3 海里/时．

即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2) 设小艇与轮船在B 处相遇，

则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v 2

＝900－600t ＋400t 2.

∵ 0＜v≤30，

∴ 900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t≥2

3

.

又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.

此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北

偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

3. 如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°、B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？

解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝

45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ADB 中，由正弦定理得DB

sin ∠DAB ＝

AB sin ∠ADB ，所以DB ＝AB·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5（3＋3）·sin45°

sin105°

＝

5（3＋3）·sin45°

sin45°cos60°＋cos45°sin60°

＝103海里．

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，

由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2

－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝

900，所以CD ＝30海里，则需要的时间t ＝30

30

＝1 h ．所以救援船到达D 点需要1 h.

4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？

解：设∠AOB＝α，在△AOB 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA×OBcos∠AOB＝12

＋22

－2×1×2×cos α

＝5－4cos α，

于是，四边形OACB 的面积为

S ＝S △AOB ＋ S △ABC ＝12OA ·OBsin α＋34AB 2

＝12×2×1×sin α＋3

4

(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋534＝2sin ?

????α－π3＋534.

因为0＜α＜π，所以当α－π3＝π2，α＝5π6，即∠AOB＝5π

6

时，

四边形OACB面积最大．

1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．

(2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．

(3) 应用题要注意作答．

2. (1) 测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．

(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理．

(3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．

请使用课时训练(A)第8课时(见活页)．

[备课札记]