考研数学必背公式

[

基

础

知

识

]

-=(-b)(

+b+…++) ( n 为正偶数时)-=(+b)(-b+…+-) ( n 为正奇数时)+=(+b)(-b+…-+

)

=

(1) a,b 位实数，则 ○1；○2；○

3≤.

(2) ,…,

>0, 则

○

1≥

＜[x]x

和差化积;积化和差(7)：

sin α+sin β=2(sin )(cos ) sin αcos β=(sin +cos ) sin α-sin β=2(cos )(sin ) cos αcos β=(cos +cos ) cos α+cos β=2(cos )(co ) sin αsin β=-(cos -cos

)

cos α-cos β=2(sin

)(sin

)

1+= 1+

=

=

-

=1-2

=2

-1

=

tan===±cot===

万能公式：，则，

sec(x) csc(x) cot(x)

arcsin(x) arccos(x)

arctan(x) arc cot(x)

[极限]

函数极限x→?：（6）

=A: ? >0,? >0,当0<|x- x

|< 时，恒有|f(x)-A|<.

=A: ? >0,? >0,当0<(x- x

)< 时，恒有|f(x)-A|<.

- x)< 时，恒有|f(x)-A|<.

=A: ? >0,? >0,当0<( x

=A: ? >0, ?X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<.

=A: ? >0, ?X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|<.

=A: ? >0, ?X>0,当-x>X时,恒有|f(x)-A|<.

数列极限n→∞：

=A: ? >0,?N>0,当n>N时,恒有|X

-A|<.

n

(1)唯一性:设=A，=B，则A=B.

｜<内有界.

(2)局部有界性：若存在，则存在>0,使f(x)在U={x｜0<｜x-x

(3)局部保号性：○1(脱帽)若=A>0,则存在x0的一个去心

邻域，在该邻域内恒有f(x)>0.

○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内f(x)>(≥)0，

且=A(?)，则A≥0.

极限四则运算：设=A(?),=B(?),则

○1=A±B.

○2=A?B.

○3=(B≠0).

等价无穷小（9）

ln(1+x)

, , (a>0) ,

, (

洛必达法则：“”型：○1=0,=0;

○2f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0

○3=A或为∞.

则

“”型：○1=∞,=∞;

○2f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0

○3=A或为∞.

则

[注]洛必达法则能不能用，用了再说.

数列极限存在准则：

1. 单调有界数列必收敛

2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)满足下列条件： (1)g(x)≤f(x)≤h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A, 则limf(x)存在，且limf(x)=A .

两种典型放缩：○

1max{}≤≤n?max{};

○2n?min{}≤≤n?max{}

选取的依据是谁在和式中去决定性作用

海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (

内有定义，则

=A 存在?对任何以为极限的数列{}（≠），极限

=A

存在.

连续的两种定义：

（1）

（2）

间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡

[一元微分学]

导数定义式：f’ (x 0)=｜x=x0==

微分定义式：若y=A +o(

),则dy=A

.

可导的判别:

(1)必要条件:若函数f(x)在点处可导,则f(x)在点处连续.

(2)充要条件:

,都存在，且=.

[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断. 可微的判别：

=0，则f(x)可微。（一元函数可微即可导）

几个不常见的求导公式：(arccos x)’=-

(arccot x)’=-

莱布尼茨公式：(uv)(n)= u(n)v+ C1 n u(n-1)v’+…+uv(n)

常见初等函数n阶导数：(n)=?ln n a

() (n)=

[sin(ax+b)](n)=a n sin(ax+b+)

[cos(ax+b)](n)=a n cos(ax+b+)

[ln(ax+b)] (n)=(n≥1)

构造辅助函数：要证+=0,只要构造F(x)=f(x)，证明=0.

最值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则,其中分别为在[a,b]上的最小值和最大值.

介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m,M是f(x)在该区间上的最小值和最大值，则对任意的∈[],,使得=.

零点定理：如果函数f(x)在闭区间[]上连续，且满足f(a)?f(b)<0,,使得=0.

费马引理：

设f(x)满足在点处则=0.

罗尔：

设f(x)满足则,使得=0

拉格朗日中值：

设f(x)满足则，

使得f(b)-f(a)=(b-a),或者写成=

柯西中值：

设f(x),g(x)满足则，

使得=.

泰勒公式：

(1)带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设f(x)在点的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x均有

f(x)=f()++…++

,其中介于,之间，

(2)带佩亚诺余项的n阶泰勒公式

设f(x)在点处n阶可导，则存在的一个邻域，对于该邻域中的任一点，

f(x)=f()++…++ο().

麦克劳林：（9）

=1+x++…++ο()

sinx=x+…+(+ο()

arcsinx=x+…++ο()

tanx=x+++ο()

arctanx=x+ο()

cosx=1+…+(+ο()

=1+x++ …++ο()

=1x++ …++ο()

ln(1+x)=x+…++ο()

=1+αx++ο()

单调判定：

若y=f(x)在区间I上有>0,则y=f(x)在I上严格单调增加；

若y=f(x)在区间I上有<0,则y=f(x)在I上严格单调减少。

零点问题（方程根问题）：

○1零点定理（存在性）

○2单调性（唯一性）

○3几何意义

○4罗尔中值（构造辅助函数→=0）

○5拉格朗日、柯西中值（即为定理方程的根）

○6费马定理（取原函数F(x)→找极值→f(x)=0）

○7罗尔原话若=0至多k个根，则=0至多k+1个根

极值判定：（3）

第一充分条件：设f(x)在x=处连续，在某去心领域 (,)可导

第二充分条件：设f(x)在x=处二阶可导，且=0，

第三充分条件：设f(x)在x=处n阶可导，且=0(m=1,2,…, n-1),≠0 (n2)则n为偶数时

凹凸性判定：设f(x)在I上二阶可导,

补充定义：设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b)内任意两点(0,1),有f[+(1-)]≥f()+(1-)f(),则称f(x)在(a,b)内是凸的;…≤…则…

是凹的.

拐点判定：（3）

第一充分条件：设f(x)在点x=处连续,在点x=的某去心邻域 (,)内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内变号,则点(,)为曲线上的拐点.

第二充分条件：设f(x)在x=处三阶可导，且=0,0,则（,)为拐点.

第三充分条件：设f(x)在x=处n阶可导，且=0 (m=2,…,n-1),

0(n2),则当n为奇数时，(,)为拐点.

曲率：y=y(x)在(x,y(x))处的曲率公式为

曲率半径：R=

曲率圆：，

[一元积分学]

定义：设函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x),对于该区间上任一

点都有成立，则称F(x)在区间I上的一个原函数，称=F(x)+C

为f(x)在区间I上的不定积分。

原函数存在定理：连续函数f(x)必有原函数F(x)；若间断函数有原函数，也只能为振荡间断。

定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若存在定积分，则定积分的值为曲边梯形的面积(x轴上方取正，下方取负。

定积分的精确定义：=

[注]任意切分，任意取高

定积分存在(可积)定理：

○1充分条件

,则存在.

○2必要条件

可积函数必有界.

定积分的性质：(6)

○1可拆性：无论a,b,c的大小，+

○2保号性：若在[a,b]上f(x)g(x),则有

特殊地，有.

○3估值定理：设m,M分别是f(x)在[a,b]上的最小最大值，则有

m(b-a)M(b-a)

○4中值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使得

=(b-a).

、、的奇偶,周期,有界,单调关系

（1）奇偶性

可导奇，则偶；可导偶，则奇

可积奇，则；可积偶，则

（2）周期性

可导以T为周期，则以T为周期；

可积以T为周期，则以T为周期

（3）有界性

若在有限区间(a,b)内有界，则在(a,b)内有界

（4）单调性

无明确结论

定义：当定积分的上限变化、下限变化或上下限都变化时，称该积分为变限积分.变限积分的性质：

(1)f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=在[a,b]上连续.

(2)f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=在[a,b]上可导.

(即只要变限积分F(x)=存在，就必然连续.)

变限积分求导公式：

==[]-.

(x为”求导变量”，t为”积分变量”)

通俗理解：

无穷区间上的反常积分的概念和敛散性：

=

=

=+ (○3=○1+○2)

无界函数的反常积分的概念和敛散性：

若b是f(x)的唯一奇点,则

=

若c∈(a,b)是f(x)的唯一奇点，则

=+(○3=○1+○2)

基本积分公式：（24）

凑微分：（复杂处理方法）

换元法：（三角代换）（倒代换）（整体代换）不定积分

分部积分：（推广）

有理函数积分：

N-L公式：（有原函数）

分部积分：

换元法：定积分

华氏(点火)公式：

区间再现公式：

变限积分求导公式：

均值：设,函数y(x)在上的平均值为

平面曲线弧长(1)平面光滑曲线L由给出，

则L=

(2) 平面光滑曲线L由参数式 ,给出，

则L=

(3)平面光滑曲线L由给出，

则L=

(4)平面光滑曲线L由给出，

则L=

平面图形面积：(1) S=

(2) S=

旋转曲面面积：(1)曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所

得到的旋转曲面的面积

(2)曲线 (,)在区间[]上的曲

线弧段绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积 S=

(3) 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕y轴旋转一周所

得到的旋转曲面的面积

旋转体体积：(1)曲线y=y(x)与x=a,x=b(a＜b)及x轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积

=

(2) 曲线y=(x)与y=≥0及x=a,x=b(a＜b)所及x

轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积=

(3)曲线y=y(x)与x=a,x=b(0≤a＜b)及x轴围成的曲边梯形绕

y轴旋转一周所得到的旋转体的体积

=

(4)曲线y=(x)与y=及x=a,x=b(0≤a≤b)所围成的图形

绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积

=

[多元微分]

1.极限的存在性：若二元函数f(x,y)在的去心领域内有定义，且(x,y)以任意方式(不考虑无定义点)趋于时，f(x,y)均趋向于A，则.

2.连续性：如果，则称f(x,y)在点处连续.

3.偏导数存在性：=

=

4.可微：全增量=

线性增量=

若极限=0,则称在处可微.

5.偏导数连续性 :○1用定义法求,

○2用公式法求,,

并计算，

○3若○1=○2，则在处的偏导数连续。

6.

存在

多元函数微分遵循链式法则

隐函数求导法

设函数在的某邻域内有连续偏导数，并且

，则在点的某邻域内恒能确定唯一的连续函数，且满足 :○1 ;

○2;

○3有连续偏导数，且

;

必要条件：设处存在偏导

数，则必有,

充分条件：设有二阶连续偏导数，并设()是的驻点，记A=，B=,C=

则

条件极值：求在条件=0下的极值

(1)构造拉格朗日函数=+

(2)构造方程组，解出所有的(

(3)求备选点，其中最大值、最小值即为所求最值

在某区域D上的最值：

（1）求出f(x,y)在D内所有可疑点处的函数值；

（2）求出f(x,y)在D的边界上的最值；

（3）比较所有的函数值，得出最值

[常微分方程]

1.未知函数是一元函数的是常微分方程，多元函数的是偏微分方程

2.未知函数导数的最高阶数为微分方程的阶

3.通解和特解通解中的独立常数个数与阶数相同，不含任意常数的解是特解

4.线性微分方程：通解=全部解；非线性:通解全部解

5.对于二阶线性齐次方程，设该方程的解,则+

+也是该方程的解的充要条件是=0；

对于二阶线性非齐次方程，设该方程的解,则+

+也是该方程的解的充要条件是=1

变量可分离型：

可化为变量可分离型：

(1) ，解法为：令u=,则，代

入原方程得.

(2)形如或这样的齐次微分方程，解法为：令=,

则=.

一阶线性微分方程：化成标准形式

则通解为

隐式通解：当,求出

可降为一阶：（1），令,则

（2），令,则

二阶常系数齐次线性微分方程：

其特征方程为

通解

二阶常系数非齐次线性微分方程：

特解：（1）则

其中

（2）

则

其中