北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-1 简单旋转体

1．1简单旋转体

1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．

2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．

在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．

3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()

(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．()

(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ()

(4)圆柱的任意两条母线相互平行．()

(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包

括球的表面，还包括球面包围的空间．()

[★答案☆](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√

题型一旋转体的结构特征

【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．

其中说法正确的是________．

[思路导引]根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．

[解析]①正确，圆柱的底面是圆面；

②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；

④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；

⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．

[★答案☆]①②③⑤

(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

[针对训练1]下列命题：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．

其中正确的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

[解析]②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.

[★答案☆]C

题型二旋转体的有关计算

【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．

[思路导引]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．

[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.

由A′O′

AO＝

SA′

SA，得SA′＝

A′O′

AO·SA＝

1

2×12＝6(cm)，

于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，

故这个圆台的母线长为6 cm.

旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．

[针对训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.

[解析]如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥

底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得3

3＋y＝x

4x，解此方程得

y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.

[★答案☆]9

1．关于下列几何体，说法正确的是()

A．图①是圆柱

B．图②和图③是圆锥

C．图④和图⑤是圆台

D．图⑤是圆台

[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．

[★答案☆]D

2．下列命题正确的个数为()

①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；

②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；

③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．

A．1 B．2 C．3 D．4

[解析]

3．球的直径有()

A．一条B．两条C．三条D．无数

[解析]经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．

[★答案☆]D

4．关于圆台，下列说法正确的是________．

①两个底面平行且全等；

②圆台的母线有无数条；

③圆台的母线长大于高；

④两底面圆心的连线是高．

[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．

[★答案☆]②③④

课后作业(一)

(时间45分钟)

学业水平合格练(时间20分钟)

1．下列说法：

①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；

②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转

体为圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．

其中正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以★答案☆选B.

[★答案☆] B

2．下列说法不正确的是( )

A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D ．圆台平行于底面的截面是圆面

[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．

[★答案☆] C

3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )

A ．10

B ．12

C ．20

D ．15

[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边

为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝

12，故选B.

[★答案☆] B

4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r

＝l ，

即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.

[★答案☆] C

5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )

A ．8 B.8π C.4π D.2π

[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时

圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.

[★答案☆] B

6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．

[解析]作轴截面如图，则

r 3＝6－4

6＝

1

3，

∴r＝1.

[★答案☆]1

7．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．

[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.

[★答案☆]22

8．有下列说法：

①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；

②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

③球的直径是球面上任意两点间的连线；

④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．

其中正确的序号是________．

[解析]球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．

[★答案☆]①②

9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.

[解]设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得

?????

2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.

10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．

[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，

∴圆锥的底面圆的直径为12，

∴半径R ＝6，

∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.

应试能力等级练(时间25分钟)

11．下面说法正确的是( )

A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形

B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形

C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形

D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形

[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C 正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B 、D 都不正确．故选C.

[★答案☆] C

12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )

[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．

[★答案☆]C

13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()

A．一个球体

B．一个球体中间挖出一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．

[★答案☆]B

14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.

[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .

由球的性质，OO 1⊥CD .

在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3， 所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.

[★答案☆] 9π

15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．

(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;

(2)当x 为何值时，S 最大？

[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r

＝6－x 3，

∴S ＝－23x 2＋4x (0

(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，

∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.