三等分角

题目：三等分任意角

地点：北京师大二附中 主讲人：徐超

主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。下面我们就有请徐超先生。

徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。那么我从历史讲起。三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。（注意这两个圆的半径是一样的） 21

这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。尺规作图就是用不

带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。 尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。

第一个问题：倍立方问题

第二个问题：化圆为方

第三个问题：任意角三等分（注意是任意角，不是讲特殊角的）

什么叫倍立方问题，在公元前很长时间，那个时候是很迷信的，讲究的是要搞一些仪式造一个台作法事，原来做好一个这样的台，那个台是个立方体，长宽高都一样。当时的皇帝提出来这个立方体要做成体积加一倍，比如说本来立方长度是１，体积是311=。我现在要加一倍就是3212?=。我约定原理立方体的边长是１，现在要造一个新的立方体，它的的边长是ｘ，那么就有3321x =?，也就是要求这个多项式的实根x 。用尺规作图求这个实根，工匠做不来，他就去请教数学家，数学家也做不来，这个时候的数学跟现在的很不一样，所以数学家没办法了，说这是神对你们的惩罚，结果倒过来怪这个工匠没本事，这个问题现在是可以解决了，但证明做不到。倍立方问题就是用尺规作图画出x 。

第二个是化圆为方，什么是化圆为方了，就是给你一个圆，要画一个正方形，要跟它面积相等，那么圆的面积是多少了。我有一个圆设它的半径是１，那么它的面积是π，现在我要造一个正方形，它的边长是x ，它的面积是2x π=，要求x ，这也是做不出来的,这也是不可能的，注意π是圆周率，是个无穷无尽的数。

第三个问题是任意角可不可以三等分，给了一个圆O ，给了一个任意角BOA θ∠=，求它的三等分角设为?，设''B OA ?∠=，即3?θ=，现在求?。约定圆的半径是1

过B 作垂线BA x ⊥轴于点A ，过'B 作垂线''B A x ⊥轴于点'A ,则cos OA θ=，sin BA θ=，现在就是要用圆规直尺作图定出点'A ，或者把'B 这点定出来也可以。那么这个'A 是什么呢？'cos OA ?=，''sin B A ?=。换句话说就是已知cos ,sin θθ，用尺规作图求出cos ,sin ??就达到目的了。

好，我把这个换成数学公式。我现在用i e θ来表示，cos sin i e i θθθ=+，i =()3

3cos3sin 3i i e e i θθθθ==+ ()3322233cos3sin 3cos 3cos sin 3cos sin sin i i i i θθθθθθθθ

+=+++

cos3sin3i θθ=+，i =21i =-

原式变为：

3223cos 3cos sin 3cos sin sin cos3sin 3i i i θθθθθθθθ+--=+

利用实部与虚部分别相等，可得：32cos 3cos (1cos )cos3θθθθ--=

233(1sin )sin sin sin 3θθθθ--=

这就得到cos3θ与sin3θ的公式，算出来结果就是：34cos 3cos cos3θθθ-= 34sin 3sin sin3θθθ-+= 我这是用复数来写，这就是所谓的德摩根定律。

我现在不用这个，你们不是没有学过复数吗？下面用两角和的三角函数公式来推导： sin()sin cos cos sin θ?θ?θ?+=+ （1）

cos()cos cos sin sin θ?θ?θ?+=- （2）

令2?θ=代入，可得：sin(2)sin cos 2cos sin 2θθθθθθ+=+

cos(2)cos cos 2sin sin 2θθθθθθ+=-

将其中的2θ的三角函数令公式（1）（2）中?θ=展开就能得到三倍角公式了。三倍角公式死算就算出来了。

有了这个以后，们的图画出来结果是什么呢？所谓任意角三等分就是说我给了cos θ，用尺规作图求点'A 。就转化成求公式3

4cos 3cos cos3θθθ-=和34sin 3sin sin3θθθ-+=的解。对应图及已知就变为34c o s 3c o s c o s 33θθθ-=和34sin 3sin sin 33θ

θ

θ-+=，也可以写为：

343sin X X θ-=-或343cos Y Y θ-=，

已知cos ,sin θθ，求方程的实根。我把这两个方程改一改，将整个式子乘以2，变为：

3862sin X X θ-=-或3862cos Y Y θ-=，也可写为：

3(2)322sin 0X X θ-?+=或3(2)322cos 0Y Y θ-?-=。

所以任意角三等分的问题就是用尺规作图求多项式3

30x x a -+=的实根，其中a 为已知实数。这样作图问题就变成了代数问题。其中a 的绝对值范围是在0到2之间。

这样的问题在古代是不可能做到的，是个很难的问题，但这个问题对数学的发展起了推动作用，在公元前五百年，当时首先用文字提出这三个问题是在希腊，是希腊的私人学派，当时按照规定，必须用尺规作图，可是尺规作图做不出来，然后他们就从空间出发，即考虑圆锥，是正圆锥（顶点在底面的投影是底面的圆心的圆锥就是正圆锥）用平行于正圆锥底面的平面截出来是圆，用斜的来切截出来是椭圆，跟中轴线平行的截出来是抛物线。总之，正圆锥体上截出的图像是圆锥曲线，就是高中要学的椭圆、双曲线，抛物线。他没有办法用尺规作图做，就用尺规作图在加上可以作出双曲线就解决了三等分角问题。当然并没有解决原始问题，尽管如此，但对数学的发展起来很大的推动作用，由于这种关系就建立了解析几何，就是大家高中三年要学的，为三等分问题奠定基础，以后就往下发展。有很多几何问题这个问题长期以来困扰着数学家，他们没法解决。

首先跨出第一步的是谁？是笛卡尔（１５９６－１６９０）笛卡尔本人不是专职的数学家，笛卡尔是著名的哲学家，他写了一本哲学书，这本哲学书的附录叫《问几何学》本来这和哲学没关系，他没地方放，就放在附录里，英文直接翻译过来是《几何论》，《几何论》就三页，数学不在乎你写几百篇论文，在乎你写的论文对数学的发展起了多大的作用，数学史每次都要提笛卡尔，他就做了这么一件事，写了这篇论文，这篇论文就几页，而且在他的哲学书里面，《几何论》的第一卷名称是“仅仅使用直线或圆的作图问题”，即我讲的尺规作图问题，他也是从三等分角开始的，他给出了仅仅使用尺规作图究竟变成了一个什么样的代数问题，他首先明确这一点，第二卷内容叫“曲线的性质”，这一节更重要，曲线的性质建立了坐标系，大家学的坐标系在高等数学里面叫作笛卡尔坐标系，他定出了坐标系，就将坐标系上的点（ａ，ｂ）与实数建立了一一对应，点可以用一对数来表示，因此平面上的直线曲线都可以用方程来表示，这是很大进步，所以第二卷的内容就是建立坐标系。第三卷就不说了，相对来说比较次要。前两卷连起来就告诉我们三等分角的问题不要小看它，它推动了数学的发展。刚才说的发现圆锥曲线为的就是研究三等分角 发现了圆锥曲线，数学因此就继续往前发展。那么笛卡尔弄清楚了尺规做图究竟是个什么问题，然后他又建立了坐标系，这样就使得数学大大的往前发展了，正因为有了坐标系，才有了微积分，才有函数论，利用坐标系建立了函数论与几何学的关系，函数()y f x =就表示一条曲线，坐标就是(,)x y ，一样以来就推动了数学的大大发展，正因为他把平面与一对实数对应起来，因此就会考虑把ｎ个实数（n 为任意的数）,把这n 个实数看成一点，因此空间的概念就推广了，就扩充了。扩充以后对物理学有了很大的好处。举个例子，爱因斯坦的《相对论》大家都知道，这个在物理上是非常了不起的一项工作。那么，爱因斯坦的《相对论》跟牛顿的力学有什么差别呢？牛顿力学只考虑三维空间，就是普通我们生活空间，比如盖房子要用牛顿力学，清华大学的建筑系开始就学牛顿力学，弄清楚哪儿受力如何。而相对论考虑的空间呢是四维的，也就是四个坐标(,,,)x y z t ，前三个坐标就是空间普通的坐标，ｔ是时间，他把时间加进去做了一个坐标，因此爱因斯坦的《相对论》讲的是四维空间的几何学，因此物理就有了很大的发展，现在的物理的很多规律依赖很多因素，每个因素看成个自变量，有ｎ个因素就有ｎ个自变量，

从而形成ｎ维空间，所以数学对物理起很大的作用。笛卡尔的功绩就在于建立坐标系，引起很多后续工作。下面我们讲一下笛卡尔如何把尺规问题转化成代数问题。

他从两个角度来考虑，第一，从立体几何的角度。给了两个线段，一个是AB ，一个是CD ，AB 长度是a,CD 的长度是b ，那么用尺规作图，可以算出a a+b,a-b,a b,b ?的长度。什么叫做减？笛卡尔首先想到直线是有方向的，往左往右是相反的方向，那么他认定，往右是正方向，往左是负方向

-

0-a

那么负数就可以在零点的左面表示出。-a 它对称称的那一点就是a ，负数就可以用直线上的点来表示

a-b 是什么意思呢？设a AB = ，b CD = ，那么a b -表示AB DC + 。我不知道你们注意

过没有a b ?是怎么算出来的。任意画一个角1∠，在l 上截线段OA 设OA=1,截AB=b ，在m 上截OC=a ，连接AC ，过D 点作DE 平行于BC 交m 于点E （用前面讲的同位角的方法作），设CE x =,则有11+b a a x

=+,算出x a b =?(如下图)

用同位角相等做平行线，这就是转换成尺规作图问题

除了这个以外，尺规作图还能做什么事情，他还可以做这么一件事情。我现在画出一个圆，设线段1,AC BC a ==，以线段

AB 为直径作圆，（分别以端点AB 为圆心任意长为半径画圆得到交点'O 过'O 作线段AB

的垂线交AB 于O ，以OA 为半径作圆,如下图。

A ）

A B

如上图,根据三角形

ACD 与三角形DCB 相似，可求出CD =。

通过作图不单可以算出加减乘除，还可以算出开方。注意是开平方，其他就算不出来了。 他在几何论就写出上面给出的东西，这是第一卷

第二卷的角度是坐标系，用来坐标系后我们知道直线的方程式0ax by c ++=，圆的方程是222()()x p y q r -+-=，其中(,)p q 是圆心，r 是半径，因此把直线和圆交出来自然是开平方，0a ≠，把直线方程的x 带到圆中解y ，就是一元二次多项式，解y 就出现开方。直线跟直线相交解出来是一个点，直线跟圆相交要出现开方。两个圆的方程联立，解出来的是一个线性方程，即222()()x p y q r -+-=与'2'2'2()()x p y q r -+-=联立，解出一个直线，这个直线刚好是公共的圆的方程。所以他从两个方面证明了尺规作图作直线和圆可以解出加减乘除和开方，大家注意，这极为重要。观念上就改变了，尺规作图从代数方面来讲就是加减乘除和开方。以下用尺规作图来解决问题就用刚才的观念来考虑。

但是笛卡尔本人并没有解决这三大几何难题，真正解决这三大几何难题的是伽罗瓦（1811-1832），去世的时候才21岁，所有的数学史必须提刚才的哲学家笛卡尔和这个伽罗瓦，伽罗瓦才做了三件工作，数学史上必须提他，他是法国数学家，他在1830年发表第一篇文章，那时候他19岁，题目叫做《关于数的理论》，在1831年发表第二篇文章《论方程式的根的可解性》，他讲的方程的根就是多项式的根，这个多项式是n 次多项式，不是二次三次的，是一般的多项式，即110n n n n a x a x a --+++ 这样的多项式满足等于零的根，这篇论文寄到法国的科学院办的一个杂志，他当时一共投了三次，第一次投时，一个叫柯西cauchy 的人把他的稿子给丢了，找不着了。第二次还是1831年他投给傅立叶Fourier （1768-1836），是一个搞微积分的专家，让他审稿，他给忘掉了，第三次投稿给泊松Poison ，这是搞微积分的，他给回复，说这篇文章不可理解。这三个在当时是法国著名的数学家，他们都不可理解，而伽罗瓦当时才20岁，所以很不幸运，第二篇论文就没有发表。1832年，当时的法国贵族流行一件事情，就是所谓的决斗，结果他决斗死了，所以他1832年因为决斗死了。在他死以前，他把他的工作长期的做了整理，出来这两篇论文，还有一篇论文，他已经把稿子写好了，他把他的遗书交给他的好朋友，如果他决斗死了，让他好朋友再拿出去给发表，那篇文章里面介绍了这三篇论文的工作跟他的进一步的想法，最后1833年这篇文章就发表了，死了以后所谓的绝命书发表了，发表了以后还是不行，他的第三篇随着第二篇一起投出去了，隔了四年以后，到1846年被当时的一个数学家 叫刘维尔，他把他的工作重新整理了以后拿

出去发表，伽罗瓦的那篇文章发表以后，发上就引起数学界的震动，发展到现在伽罗瓦的工作是大学二年级数学系必须念的一门课程叫做抽象代数，他主要提出群论跟域论，这是代数里面两个重要的内容，所以数学就是年轻人玩的一个东西，不是我们老头子玩的东西，希望大家可以有志于数学，可以开阔一些，文章不在多少，文章在有没有质量。下面我开始讲，他怎么把这个问题弄清楚的。

尺规作图=对数作加、减、乘、除及开平方（有限次）不可以无限次做下去，假如我给了1，一个最基本的数，我给了一个直线段，我把直线段叫做1，以它为标准，给了1以后，我开始做加减乘除开方，做出来是什么呢？作出来就是有理数Q ，把它改名叫有理数域，加减乘除作出有理数域，所以有理数都可以以1出发，加减乘除作出来，有理数就是u v

，其中,u v 是整数，v 大于零，,u v 是互素的。整数就从1出发加加减减就把整数做出来了，有理数域作出了后我把它记作Q 。我给一个标准线段1，通过加减乘除作出了有理数域，那么反过来，我知道了有理数ψ，通过尺规作图可以把长度为ψ的线段画出来（有限次），按照他的思路，通过有限次我做出来就可以，但是笛卡尔说了尺规作图的还加开平方，那我再开次平方，用圆来作，Q 加一个开平，什么叫开平方，假定取Q β∈，要找出Q α?，而2=αβ，

即α，我随便给出有理数，我把有理数开方，开方之后的数不是有理数，它要是有理

数，我就不管它了。若Q α?，它比有理数扩大了，现在考虑有理数Q 加上α，对这对数我来作加减乘除，得到一个集合，这个集合叫作Q()α= }{a+b a,b Q α?∈。

下面我们来证明把α添加到Q 上作所有的加减乘除作出来的一定是Q()α= }{a+b a,b Q α?∈，我来证明它。

证明：因为对于a,b Q ?∈显然有a+b αQ()α∈，则有Q()α?}{a+b a,b Q α?∈ 下面证明相等性，上面证明的是Q()α?}

{a+b a,b Q α?∈，下面我们只要证明集合}{a+b a,b Q

α?∈中的元素加减乘除以后还在}{a+b a,b Q α?∈里面就可以了， ()()()()11221211a +b a +b a a b b ααα+=+++，其中1122,,,a b a b Q ∈，

所以()()()()}{11221211a +b a +b a a a+b a,b Q b b αααα+=+++∈?∈

同理()()112212121212a +b a +b ()a a b b a b b a ααβα?=+++}{a+b a,b Q α∈?∈ 所以}

{a+b a,b Q α?∈对加减乘除是封闭的。

现在我们来下个定义：假设F 为R 的子集，F 中的元在加减乘除下仍在F 中，则F 称为域。也就是说F 中的元在加减乘除下封闭。

现在我们把观念改一下，老的观念是加减乘除，我没有讲开方。

设Q 为有理数域，取Q β∈α=，那么Q()α= }{a+b a,b Q α?∈=F （这是要证明的）在加减乘除下它仍然是封闭的,得到一个新的域叫F,F 的性质有Q F ?并且不相等，

这里的F=Q()α=Q ，这告诉我们按照笛卡尔的观点F 里面的任何一个实数用尺规作

图画出来，因为我开方可以作出来，这样我们的观念就不一样了，我们用尺规作图的方法用

直线和圆有限次的加减乘除和开方做，那么我们又可以在集合F=Q()α=Q

的数有限次加减乘除开方再加进去，因此最后就得到一串01m Q F F F =??? ，()11=F k k k F α--，其中11F k k α--?，但211F k k α--∈，且211k k βα--=其中1,2,k m = 。作这个的目的很重要，按照尺规作图的理解。

所谓尺规作图就是造出R 中的一个子域串01m Q F F F =??? ，使得作出来的线段长度在m F 中，一直有限次最后到m F 中，这个子域就是不断的开平方作出来的，因此上述就是尺规作图的代数描述，有了这个就可以马上证明任意角三等分是绝对不可能的，这里主要是概念上跟过去考虑方法不一样，我们要作出一个数，这个数在哪里，我们就用数学的描述在这个串里01m Q F F F =??? ，m 是多少我不管，抽象考虑。

下面我们来证明任意角三等分是不可能的，这里方法不复杂，有了这些观念就好做了，我有什么方法证明呢，举反例，你不是说任意角都可以三等分，那我找出一个角不可以三等分就可以了，反例我们挑最简单的。

反例：60 三等分是不可能的1cos 602=

，所以我刚才写的公式是331x x --，所以60 三等分是不可能转换为331x x --它的根不可能用尺规作图画出来，用反证法来证明它不可

能，假如可以，然后推出矛盾，假设60 可以三等分，即331x x --它的根可以用尺规作图作出来，按照刚才的讨论就推出存在R 中的一个子域串01m Q F F F =??? ，()11=F k k k F α--使得331x x --在m F 中有根，那么按照刚才的说法，用若干次尺规作图得到01m Q F F F =??? 使得331x x --在m F 中有根，下面来推矛盾，即证明331x x --在Q 中有根。

下面的推理很简单，就是式子有点麻烦。

3,310m m m m a F a a ∈--=已知使得，现在m F 是什么呢，因为()11=F m m m F α--，所以1m m a a b α-=+，其中1,F m a b -∈为了好看，我们把a,b 相应的换成1m a -和1m b -即

111 m m m m a a b α---=+，其中1m a -1F m -∈，1m b -1F m -∈，11F m m α--?，但1

211F m m m αβ---=∈，

把111 m m m m a a b α---=+代入3

310m m a a --=，有

11322311111111111333310m m m m m m m m m m m m m a a b a b b a b αββαα-------------+++---= （这是死算的，没什么技术问题）

我们显然有下面的结论100,0m a b a b α-+=?==，如果0b ≠则11F m m a b

α--=-

∈，这是不可以的（与11F m m α--?矛盾）。

所以由11322311111111111333310

m m m m m m m m m m m m m a a b a b b a b αββαα-------------+++---=可以得到两个方程113211112311113310330m m m m m m m m m m a a b a a b b b ββ----------?+--=??+-=??，马上就出来结果了 第一种情形：假设10m b -=，第二个式子成立，上面的式子就变成了311310m m a a ----=这就推出331x x --=0在1F m -中有根，且根为1m a -，本来是假设根在m F 中，我现在推出根一定在1F m -中。

第二种情形：假设10m b -≠，第二个式子约掉一个1m b -得122

1133m m m b a β---=-代入第一个式子，有3211113(33)30m m m m a a a a -------=

3118610m m a a --?-+-= 311(2)3(2)10m m a a --?----=

3111231=02F m m m a x x a ---∴----∈是的根，其中

因此，不管哪种情况都推出331=0x x --在1F m -中有根，用归纳法一路作下去，则推出在0F 中有根，即推出331=0x x --在0F =Q 中有根，即有有理数根，显然矛盾，证完。 主持人：谢谢徐先生，有时间办这么个讲解，有些同学听的很高兴，有些同学听的稍微有些困惑，因为我们一些同学在知识储备上还有一些不足，但我想无论如何通过徐先生刚才深入浅出思路清晰生动和富有激情的讲解，大家对三等分角这样一个理解起来并不困难的问题，在他的解法上或多或少有些收获，希望同学下去找些资料，把今天涉及到的非常重要的数学的内容多了解一些，大家一定会有很多的收获的，下面我们再次用热烈的掌声感谢徐先生。