三等分角问题
三等分角问题
对于古典时期的希腊人来说，二等分角是一件易事。可是，当他们在成功地用直尺和圆规作出圆内接正五边形后试图作出边数更多的正多边形时，不可避免地遇到了如何按给定比将角分成两部分的问题。在正九边形的情形，这个比为2:1，于是三等分角问题产生了。?希腊人以尺规来解该问题的尝试一次又一次地以失败告终。他们渐渐意识到光靠直线和圆是不顶用的，必须借助于其它复杂的曲线才能成功。
第一个意识到这一点的希腊人是希皮亚斯（Hippias）。?他是伯罗奔尼撒的厄里城人，生于公元前460年左右，是苏格拉底（Socrates）的同代人。希皮亚斯为解三等分角问题发明了一种称作割圆曲线的新曲线，如图4-2-1?所示。ABCD 为一正方形，是以A为圆心的四分之一圆弧。假设半径绕A点从AB位置匀速转动到AD位置，而在相同时间内直线BC从BC位置匀速平移到 AD位置（端点B始终沿BA运动）。则平动直线与转动半径的交点轨迹就是割圆曲线。其性质是：
BAD: EAD＝:＝AB:FH。
设 FAD＝ ，AF＝ ，AB＝a，则割圆曲线的极坐标方程为：
。
有了割圆曲线，就可以轻而易举地三等分任意角了。如图4-2-1，?要三等分，只需取FH的三等分点F ，过F 作B C 平行于AD，交割圆曲线于L，连接AL，交于N，易证
。
因此AN三等分 EAD。实际上，利用割圆曲线可以将角任意等分。
图 4-2-1
图 4-2-2
希皮亚斯利用割圆曲线，通过线段三等分来完成角的三等分。或许受此启发，170多年后大数学家阿基米德发明了另一种后人以其名字命名的新曲线——阿
基米德螺线。它是这样产生的：一条射线 OA从一起始位置出发绕固定端点O作匀速转动，而在射线开始转动的同时，一个点从O出发沿着它作匀速运动。则该点的运动轨迹就是阿基米德螺线。其极坐标方程是。如图4-2-2所示。利用该曲线的第一圈来三等分角AOB时，只需以角的一边OA作为原始位置，以O为固定端点，作一螺线交OB于P。取OP的三等分点Q，以O为圆心，OQ为半径作圆交螺线于R，则OR三等分 AOB。
希腊人还巧妙地将三等分角问题作了转化。如图4-2-3所示，设 ABC是须三等分的锐角，AC⊥BC。作矩形ACBF，延长FA至E，而E是这样的点：若连接BE交AC于D，则DE＝2AB。取DE的中点G，连AG，则DG＝GE＝AG＝AB。因此 ABG＝ AGB＝2 AEG＝2 DBC，DE三等分 ABC。这样问题转化
图 4-2-3
图 4-2-4
为：在AE和AC之间插入长为2AB的线段ED，使ED斜向B点。这就是希腊人所谓的斜向问题。
阿基米德的同代人尼可米德（Nicomedes, 约前280～前210）为解决上述斜向问题，?发明了一种称作蚌线（或蜗线）的新曲线。它是通过一种机械装置画出来的，如图4-2-4所示。AB是一直尺，其上有平行于尺长方向的狭孔，FE 是垂直固定在AB上的第二把直尺，其上固定一钉子C。第三把直尺PC以P为尖端，其上也有平行于尺长方向的狭孔，钉子C可沿狭孔自由移动。D是PC?上一固定的钉子，与狭孔同在一线上，且D可沿AB上的狭孔自由移动。移动PC，?则尖端P就画出了蚌线。尼可米德称AB为“直尺”，固定点C为“极点”，不
变长度PD为“距离”。设PD＝a，CF＝b， FCP＝ ，则尼可米德蚌线的极坐标方程为。若在图4-2-3中以B为极点，AC为直尺，长度2AB为距离作蚌线，交FA的延长线于E，则BE即为 ABC的三等分线。
希腊人对于三等分角问题的转化是意犹未尽的。阿基米德便是其中一例。如图4-2-5所示，将须三等分的角AOB作为圆O的圆心角。延长BO至C，连AC交圆O于D。如果CD＝OA，那么，
AOB＝ A＋ C＝ ADO＋ C＝2 C＋ C＝3 C。
于是过O且平行于CA的直线OE即为 AOB的三等分线。因此三等分角问题又转化为：在BO延长线和圆周之间插入线段CD，使它与半径等长且斜向A。这是另一种斜向问题。
图 4-2-5
图4-2-6
到了中世纪，意大利数学家、天文学家坎伯努斯（Campanus, 1220～1296）在其《几何原本》的拉丁文译本中给出了一种斜向法，如图4-2-6所示。设 AOB 是须三等分的圆心角，OC OB。过A作圆的弦AD交OC于E，使得?ED＝OA，则
A＝。过O引DA的平行线OF，OF即为 AOB的三等分线。易证坎伯努斯的方法与阿基米德斜向法是一样的。坎伯努斯以前的约当努斯（N. Jordanus, ?～1237）其实已在他的著作中给出过同样的方法。
正如尼可米德为解斜向问题而发明了后人以其名字命名的蚌线一样，在他1800年后的法国数学家、著名数学家帕斯卡之父埃廷内·帕斯卡（é. Pascal, 1588～1651）为解决上述阿基米德斜向问题而发明了另一种蚌线，今称帕斯卡蜗线。如图4-2-7所示，A是圆O上
图4-2-7 图4-2-8 图4-2-9
一点，从A?向圆周上任一点P引射线，并在射线上的P点两侧截取PQ＝PQ ＝a（常数），则Q和Q 的轨迹即为帕斯卡蜗线。A称为极点。设圆半径为R，则帕斯卡蜗线的极坐标方程为。为解决阿基米德斜向问题，只须在图4-2-5中作以A为极点，a＝R的帕斯卡蜗线（又称三等分角线），交BO延
长线于C，连AC即得 C＝。
1860年，斐尔科斯基（Fialkowski）给出无限次尺规作图法。如图4-2-8， AOB是要三等分的角，作出OT1，OT2，…，OT n，…，依次平分 AOB， T1OA，…，
T n-1OT n-2。于是。
1896年，奥布里（Aubry）利用圆锥给出妙法。如图4-2-9， AOB是须三等分的圆O的圆心角。以圆O为底作一正圆锥VO，使斜高等于底半径的三倍。
则展开圆锥得的 AVB＝。
任意锐角的三等分
任意锐角的三等分 【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和 钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究. 【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）. 为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）. 实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只 能以近似的方式来解决?比如，以a为直径作一个圆，会容易
做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且 S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道. 本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是 指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角 有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究. 下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角. 题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）. 求解：三等分a . 一、作图（参照图2） （1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取 OA=AA2=A2A3. （2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB
直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法
5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二) 2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略） 3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′ 为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧） 4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D 5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二) 2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略） 3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′ 为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧） 4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D 5、将C点与D点相连形成线段CD 6、作CD的中垂线交AB的延长线于N 以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一 7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G, 连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB 二、证明 在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)
尺规作图三大几何难题教学提纲
尺规作图三大几何难 题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是
“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明 要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。 操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤： 1、以B点做切线，和渐开线相交于E； 2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3； 3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G； 4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D； 5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明： 1、先证明△BAF与△DAG全等 根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所 以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所 以BF=DG，△BAF与△DAG全等。 2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因 此，∠CAD即为∠CAB的三等分角 总结： 伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。 实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
关于三等分任意角的方法探究
三等分任意角的方法探究 西工大附中 孙开锋 三等分任意角的方法探究 摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文 关键词： 只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。 纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。 用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。 但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？ 早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。 但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。 一、利用工具三等分任意角
如图1所示，叫做“三等分仪” 吧 ， CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E. 具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。 数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。 二、中考中的三等分角 题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x =1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x =1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13 。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。 （1）设P （a a ,1），R （b b ,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1 3 ；
简述三大几何难题
三大几何难题 古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。 古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。 这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方 圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。 三等分任意角 用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？ 倍立方 关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题. 由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。 三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。 三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示： 1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
MathStudio36 阿基米德螺线与三等分任意角
MathStudio for iPad 使用方法入门 （36） 阿基米德螺线与 三等分任意角 2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1 同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5 阿基米德螺线ρ=aθ 螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3 θ3= φ =1.4289 a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526 θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的 3个同心圆 半径为0.5、1、1.5 即同心圆的半径比为1:2:3 在同一帧图里 再画出与3 个同心圆相交的 阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498
P3 P 2 P 1 P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ3=1.429（弧度） =1.429×180/π=81.9° r3=sqrt(X32 +y32) =sqrt(0.2112 +1.4862) =1.5 O
三等分角帕普斯函数( 答案)
数学家帕普斯“三等分角” “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）： 将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R 作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）． （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q 点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）． 解：（1）设直线OM的函数关系式为．……………1分则∴．……………2分 ∴直线OM的函数关系式为．……………3分
（2）∵ 的坐标满足，∴点在直线OM上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）……………4分∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR． ∴∠SQR=∠SRQ．……………5分 ∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．……………6分 ∵∠PSQ是△SQ R的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．……………7分 ∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．……………8分 ∴∠POS=2∠SOB．……………9分 ∴∠SOB= ∠AOB．……………10分 （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．……………
三等分角器
“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC. 求证：∠APB=13∠AOB. 考点： 等腰三角形的性质 已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC. 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D 在△ABO和△ACO中?????AB=AC()OB=OC()AO=AO() ∴△ABO≌△ACO(___) ∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD(___) ∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)
考点： 全等三角形的判定 如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是() A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 考点： [角平分线的性质] 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数。 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图,在△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA. (1)试求∠DAE的度数。 (2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗? (3)若∠BAC=α°,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少? 考点： [等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？ 用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角． 在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则 EG=GF=GA=BA， 从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC， 并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点． 如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段 E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6． 为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
尺规法三等分任意角到底可行吗
尺规法三等分任意角到底可行吗？ 1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。 如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。 设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。 A点坐标（?0.76604444，?0.64278761） G点坐标（0.38302222，1.8213938） E点坐标（0 ，0.51700505）
设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为 y = 1.5140018x + 0.51700505 根据该直线方程与圆方程x2 + y2 =1，可求出F点横坐标x = 0.29052884 所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于 0.2229° 用该方法三等分100°角，误差大于0.4458° 令CE = AE可算出C点坐标。黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°
九年级数学三等分角问题
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x = 的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠. 要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题： （1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应 的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）. （2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直 线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13 MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个 钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM 的函数关系式为 )1,(),1,(,b b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2 1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=2 1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3 1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角 利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角
三等分角
题目：三等分任意角 地点：北京师大二附中 主讲人：徐超 主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。下面我们就有请徐超先生。 徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。那么我从历史讲起。三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。（注意这两个圆的半径是一样的） 21 这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。尺规作图就是用不 带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。 尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。
几何三大问题为尺规作图不能问题的证明
1.立方倍积问题 假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有 x3=2a3. 令a＝1，则上述方程取更简单的形式 x3-2=0. 根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必 不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题. 2.三等分任意角问题 对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线. 以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出. 令OD=x，则有
4x3-3x-cosθ＝0. 如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之. 8x3-6x-1=0. 以2x=y代入此方程，可得较简单的形式 y3-3y-1=0. 根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺 规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题. 当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程 4x3-3x-cosθ=0就变为 4x3-3x=0. 解之，得
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图 上次我用尺规作图已将120°角三等分了，下面我用一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的部分特殊角和任意角三等分尺规作图来验证角三等分确实有解。 一. 用尺规作图将30°角三等分（一） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为D,连接OD,在弧上作OD=DE,连接OE,∠EOD=60°,作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=15°,∠AOB=∠α=30°,将∠α=30°角三等分。连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC,ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=15°,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α=5°，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3=10°,即将30°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-1-15 , 15。应该注意的是如果∠α大于或等于60°时，必须将大于或等于60°的角缩小偶数倍的角小于60°后才能进行角三等分。如果60°≤∠α＜120°时，∠α缩小两倍，如果120°≤∠α＜240°时，∠α缩小四倍。值得注意的是角的所在区域相同，角的尺规作图方式也应相同。∠α缩小偶数倍的角已被分成三等分的角扩大同样偶数倍后的角才是∠α被分成三等分的角，∠α是否需要缩小和缩小多少偶数倍可用圆的半径来确定。 一. 用尺规作图将60°角三等分（二） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为A,连接OA ,在弧上作AB=OA,连接OB, ∠AOB=∠A1OA4=60°=∠α,∠α应该缩小两倍方可以进行角三等分。作∠CO A=∠AOE=∠EOH=∠HOD=∠DOB=∠BOK=15°=1/4∠α,将∠AOB=∠α=60°角三等分。连接CK交OE线上G点，连接DG並延长交OC线上P点，连接EP交CK 线上F点，连接CD交OH线上H1点，连接DF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、EH1、 ED、EC, CEDG为菱形，H1G=H1E=H1D, ∠H1DG=∠H1GD=1/4∠α=15°,则∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=∠a4Ga6=1/3×1/2×1/2∠α=5°,证明省略，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=1/3∠A1OA4=1/3∠AOB=∠a1Ga6=1/3∠α=20°.即把∠α=60°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-2-1 ，61。 一. 用尺规作图将120°角三等分（三） 用尺规作图将120°角三等分上次已作过了，这里就不重复了。 二. 用尺规作图将任意角三等分（一） ∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB=∠A1OA4。用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而120°＜∠α＜240°，∠α应该缩小四倍。所以该角三等分尺规作图方式与120°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。作∠AOE=∠EOC=∠Com=∠moH=∠HON=∠NOD=∠DOK=∠KOB=1/8∠α=1/8∠AOB，将∠AOB=∠α角三等分。连接EK交Om线上G点，连接NG並延长交OE线上P点，连接Pm交EK线上F点，连接NE交OH线上H1点，连接NF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、mH1、 mE、mN, mNGE为菱形，H1G=H1m=H1N,∠H1NG= ∠H1GN=1/8∠α,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2×1/4∠α，证明省略，则∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=∠a2Ga5=1/3∠AOB=1/3∠A1OA4 =1/3∠α,即将∠α角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-4-51 ，171。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉 （1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。 （2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。 （3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。 （4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。 （5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。 （7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。 （8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理： 因为：小圆心角AOH对应AH弧， 小圆心角HOM对应HM弧， 小圆心角MOB对应MB弧， AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧， 所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]， 所以，任意角AOB被尺规三等分了。 博客地址：Htttp://https://www.360docs.net/doc/f418130850.html,/u/2530018671,我解开了《尺规三等分任意角》这道难题，我把画法和证明发在我的微博上，敬请广大《尺规三等分任意角》的爱好者批评指正，我的,邮箱：xbm66828@https://www.360docs.net/doc/f418130850.html,。关注我的微薄！ .
阿基米德螺线和三等分角
阿基米德螺线和三等分角 数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。） 什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。 阿基米德螺线生活中随处可见。在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。 一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。步骤如下： 1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合 2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A 3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’ 4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C 5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ
当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。 渐开线和机械齿轮 另一种有名的螺线叫做渐开线。当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。 与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。其实它还在机械设备中发挥着重要的作用，机械设备用于传动的齿轮中，就活跃着渐开线的身影。早在1694 年，法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。1765 年，欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算，认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。与其他齿形相比，渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。目前工业中渐开线齿轮被广泛应用，占到世界齿轮市场的90% 以上。
反比例函数图象与三等分角
反比例函数图象与三等分角 历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题 . 任取一锐角∠POH ，过点P 作OH 的平行线，过点O 作直线，两线相交于点M,OM 交PH 于点Q ，并使QM=20P ，设N 为QM 的中点. ∵NP=NM ＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3. ∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4. ∴∠MOH ＝3 1∠POH. 问题在于，如何确定线段QM 两端点的位置，并且保证O ，Q ，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢? 帕普斯(Pappus ，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝x 1的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R.分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，Q ，连接OM 得到∠ MOB. (1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上? (2)你能说明∠MOB ＝3 1∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1， 11a ),R(a 2, 21a )，则Q(a 1，21a )，M(a 2, 11a ）. 设直线OM 的关系式为y ＝kx. ∵当x ＝a 2时，y=1 1a
∴11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=2 11a a x. 当x=a 1时，y= 21a ∴Q(a 1，2 1a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形. ∴PC=2 1PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP ，∴∠1＝∠2， ∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4， 即∠MOB=3 1∠AOB. (3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.
三等分角问题证明
中華民國第四十二屆中小學科學展覽會 作品說明書 科別：數學 組別：國中組 作品名稱：希臘人也瘋狂 關鍵詞：三角等分 編號：
希臘人也瘋狂 校名：台中縣立潭子國民中學 作者： 指導教師：魏碩辰 關鍵詞：尺規作圖、可造數、體擴張（field extensions ）理論、Fermat （費瑪）質數 研究摘要： 在古希臘人對於作圖的限制下：一、作圖時只准許使用直尺和圓規；二、直尺不能有任何刻度，而且直尺和圓規都只准許使用有限次。探討五個尺規作圖基本動作的代數性質，從而說明僅使用圓規、直尺是無法三等分角的。 藉由正多邊形的尺規作圖討論，找出可造的最小角度為3o角，進而說明可以尺規作三等分的特殊角為9o的倍數角。 壹、 研究動機： 平日喜歡閱讀數學相關科普書的我，在一本介紹數學史的書中，發現一個非常吸引我的標題－「三大幾何難題」，由於現在我正在學尺規作圖，興致勃勃的我拿著圓規、直尺就想試著三等分一個角，未料卻被念數學系的哥哥見著，他笑著說：「別浪費時間了！那個問題早就被證明作不出來了。」這答案著實地讓我覺得驚訝，因為我以為解數學題就是依照題目的意思把解答找出來，居然還可以「證明」命題作不出來，好奇的我便對「三等分角」作一次深入的探討，一窺它的奧祕。 貳、 研究目的： 一、在古希臘三大幾何難題的原始命題下，探討三等分角的不可能性。 二、找出可三等分的特殊角度，以及在不同命題的情況下，探討三等分角的可能性。 參、 研究設備與器材： 紙、筆、圓規、直尺、動態幾何（GSP ）。 肆、 研究過程與方法： Part 1 尺規作三等分角的不可能性 一、單純、原始及幾近理想化的尺規作圖： (一)以一把圓規及沒有任何刻度的直尺要三等分角，其限制如下： 1. 過已知兩點，劃出一條直線。 2. 給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑。 3. 劃出二直線的交點。 4. 劃直線與圓的交點。 5. 劃出二圓的交點。 (二) 有了這五個基本動作，我們可以完成如下幾個複雜的作圖： 1. 二等分一個給定角。 2. 作出長度為 n 1的線段。 3. 作出長度為a 的線段。 二、可造數與不可造數： 由上我們可以給定一個線段長為單位長1，並把那些可經由上述尺規作圖而作 出的長度或角度，稱為「可造的」；其他不能經由上述五個尺規作圖的基本動作作出來的長度，稱為「不可造的」。