高中数学必修二第三章 直线与方程导学案

§3.1.1倾斜角与斜率【学习要求】

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念；

2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；

3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

【学法指导】

通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.

【知识要点】

1．倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们取作为基准，正向与直线l之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°.

2．斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示,即.

3

【问题探究】

[问题情境]

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．

探究点一直线的倾斜角及斜率的概念

问题1我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？

问题2怎样描述直线的倾斜程度呢？

问题3依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？

问题4任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

问题5日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

问题6如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度

(比

)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？

小结我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率．探究点二直线的斜率公式

导引有了斜率的概念，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2)，那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？

问题1如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？

图1图2

问题2设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？

问题3根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？

问题4当P2P1的方向向上时，tan α＝

y2－y1

x2－x1

成立吗？为什么？

问题5当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

小结经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝

y2－y1

x2－x1

.

例1如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

小结应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不

存在；若不相等，再代入斜率公式求解．

跟踪训练1求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

（1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)；

（3）(2,3)，(2,5)；（4）(3，－2)，(6，－2)．

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4.

小结已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点．跟踪训练2已知点P(－3，1)，点Q在y

轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为_______

【当堂检测】

1．对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于()

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x等于()

A．1 B．－1 C．0 D．7

【课堂小结】

1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．

2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线.

【课后作业】

§3.1.2两条直线平行与垂直的判定

【学习要求】

1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；

2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；

3．能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．

【学法指导】

通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力.

【知识要点】

1．两条直线平行与斜率的关系

（1）对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2?.

（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与垂直，故l1l2.

2．两条直线垂直与斜率的关系

（1）如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2?.

（2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是．

【问题探究】

[问题情境]

为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一两条直线平行的判定

问题1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜

率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？

问题2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？

小结对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2?k1＝k2.

若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合．

例1已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置

关系，并证明你的结论．小结判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等．一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题．

跟踪训练1试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

小结熟记斜率公式：k＝

y2－y1

x2－x1

，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.

跟踪训练2求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－

7

2)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．

探究点二两条直线垂直的判定

问题1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，

若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？

问题2已知tan(90°＋α)＝－

1

tan α，据此，如何推出问题1 中两直线的斜率k1、

k2之间的关系？

问题3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？

问题4对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？

小结如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；

反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k1k2＝－1?l1⊥l2.

例3已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．

小结在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解．两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2?k1·k2＝－1或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在．

跟踪训练3已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．

【当堂检测】

1．已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为()

A．2 B．1 C．0 D．－1

2．已知直线l1的斜率为k1＝2，直线l2的斜率为k2＝－

1

2，则l1与l2 ()

A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合

3．直线l1：x＝1与直线l2：x＝0的位置关系是_______

4．已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．

【课堂小结】

1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l1、l2存在斜率k1、k2，则l1∥l2?k1＝k2(其中l1，l2不重合)；若l1、l2可能重合，则k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合．l1⊥l2?k1·k2＝－1.

2．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行.

【课后作业】

§3.2.1直线的点斜式方程

【学习要求】

1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；

2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；

3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．

【学法指导】

通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.

【知识要点】

1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点P(x，y)的坐标之间的关系．

2．直线l经过点P1(x1，y1)，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为k时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程．

3．方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距．

4．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?；l1⊥l2?.

【问题探究】

[问题情境]

给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一直线的点斜式方程

问题1求直线的方程指的是求什么？

问题2如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？

问题3过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足问题2中得

出的方程吗？为什么？

问题4坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直

线上吗？为什么？

小结由上述问题2和问题3的讨论可知，方程y－y0＝k(x－x0)就是过点P0(x0，

y0)且斜率为k的直线的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，

把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．

问题5如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？

问题6y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？

例1直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

小结由点斜式写直线方程时，由于过P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：

（1）斜率存在时方程为y－y0＝k(x－x0)；

（2）斜率不存在时，直线方程为x＝x0. 跟踪训练1一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．

探究点二直线的斜截式方程

问题1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？

小结我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．

问题2直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？

问题3一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？

例2已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，

试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？

（2）l1⊥l2的条件是什么？

小结已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2?k1k2＝－1.

跟踪训练2已知直线l的斜率为

1

6，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．

【当堂检测】

1．方程y＝k(x－2)表示()

A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线

C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线

2．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．3．写出下列直线的点斜式方程：

（1）经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；

（2）经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．

【课堂小结】

1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0.直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．

2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．【课后作业】

§3.2.2直线的两点式方程

【学习要求】

1．掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；

2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．

【学法指导】

通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯．

【知识要点】 1．直线的两点式方程：经过直线上两点p 1(x 1，y 1)，p 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程

叫做直线的两点式方程，简称两点式．

2．直线的截距式方程：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程 由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的 ． 3．线段的中点坐标公式

若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标公式为 【问题探究】 [问题情境]

已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在

y 轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？ 探究点一 直线的两点式方程 导引 已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程？ 问题1 经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？ 问题2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样 转化？

小结 经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1叫做直线的两点

式方程，简称两点式．

问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？

例1 已知直线l 与x 轴的交点为A (a,0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．

小结 我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y

b

＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练1 三角形的顶点是A (－4,0)，B (3，－3)，C (0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．

探究点二 直线两点式、截距式方程的应用

问题 如图所示，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )是线段AB 的中点，如何用A ，B 点的坐标表示M 点的坐标？

小结 已知P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则???

x ＝x 2

＋x 12

，y ＝y 2

＋y

1

2

，这个公式为线段的中点坐标公式．

例2 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

小结 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：

（1）BC 边所在直线的方程；

（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程； （3）BC 边上的中线AE 所在直线的方程．

【当堂检测】 1．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y －4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y

－3＝1

2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是_________________________

3．直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．

【课堂小结】 1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况．两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．截距式要注意两个截距都不为0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示． 2．方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表

的直线范围不同.

【课后作业】

§3.2.3 直线的一般式方程

【学习要求】

1．掌握直线的一般式方程；

2．理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线； 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．

【学法指导】

通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.

【知识要点】

1．关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B )叫做直线的一般式方程，简称一般式．

2

【问题探究】

[问题情境]

前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x ，y 这两个变量，并且x ，y 的次数都是一次的，即它们都是关于x ，y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．

探究点一 直线的一般式方程

问题1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？为什么？

问题2 每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？ 小结 直线方程都是关于x ，y 的二元一次方程；关于x ，y 的二元一次图象又都是一条直线．我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 问题3 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

问题4 在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合． 例1 已知直线经过点A (6，－4)，斜率为－4

3

，求直线的点斜式和一般式方程．

小结 对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；x 项的系数为正；x ，y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．

跟踪训练1 若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，求实数m 的取值范围．

探究点二 直线方程五种表达形式的转化

例2 把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．

小结 任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．

跟踪训练2 求直线3x ＋2y ＋6＝0的斜截式和截距式方程．

探究点三 综合问题

例3 已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：（1）过点A 和直线l 平行的直线方程； （2）过点A 和直线l 垂直的直线方程．

小结 一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．

跟踪训练3 已知直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程，并将直线的方程化为一般式．

【当堂检测】

1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为 ( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过 ( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限

3．直线mx ＋y －m ＝0，无论m 取什么实数，它都过点______． 4．求经过点A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．

【课堂小结】

1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．

2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，分别求得直线在y 轴上的截距和在x 轴上的截距；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.

【课后作业】

§3.3.1 两条直线的交点坐标

【学习要求】

1．理解直线和直线的交点与相应直线的方程组成的二元一次方程组的解的关系； 2．会求两直线交点坐标以及判断两直线的位置关系．

【学法指导】

通过两直线交点与两直线方程组解的对应关系，掌握直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置关系的方法，从而认识事物之间的内在联系，学会能够用辩证的观点看问题.

【知识要点】

1．两条直线的交点

已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.

若两直线方程组成的方程组????? A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解????

?

x ＝x 0y ＝y 0

，则两直线 ，交点坐标为

2

311112222的交点的直线：

．

【问题探究】

[问题情境]

二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解，无解，无穷多解)，同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况(相交，平行，重合)，本节我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系．

探究点一直线的交点与直线的方程组解的关系

问题1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？

问题2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？

问题3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？

例1求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0；l2：2x＋y＋2＝0.

小结求两直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，说明两直线相交；有无数解，说明两直线重合；无解，说明两直线平行．

跟踪训练1求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：l1：x－2y＋2＝0，l2：2x－y－2＝0.

探究点二两条直线的位置关系

问题1设两直线为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

问题2如何利用两直线的方程组成的方程组的解来判断两条直线的位置关系？

例2判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．

（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；

（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；

（3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.

小结判定两条直线的位置关系有两种方法：（1）通过解两直线对应方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方程能化成同一个方程两直线重合；（2）利用两直线方程的对应系数的比判断两直线的位置关系．

跟踪训练2（1）已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2，求实数m的值；

（2）已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．

探究点三过两直线交点的直线方程

问题当λ变化时，方程3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0表示什么图形？图形有何特点？

例3求经过直线l1：x＋3y－4＝0，l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2,3)的直线方程．

小结方程x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0无论λ取什么值，它表示的直线都过x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点．

跟踪训练3求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．【当堂检测】

1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()

A．(－1，

1

3) B．(

1

3，1) C．(1，

1

3) D．(－1，－

1

3)

2．直线l1：(2－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(2＋1)y＝3的位置关系是()

A．平行B．相交C．垂直D．重合

3．已知直线l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.当l1⊥l2时，求a的值及垂足的坐标．

【课堂小结】

1．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．

2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程.

【课后作业】

§3.3.2两点间的距离

【学习要求】

1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法；

2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．

【学法指导】

通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想．【知识要点】

1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为

|P1P2|＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝.

2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：

第一步：．

第二步：．

第三步：．

【问题探究】

[问题情境]

我们已经知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|x A－x B|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一两点间的距离

导引 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，如何求P 1，P 2的距离|P 1P 2|呢？ 问题1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？ 问题2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？

问题3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．

小结 两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

例1 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．

小结 坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标． 跟踪训练1 已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标．

探究点二 坐标法证明几何问题

例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

小结 用解析法证几何题的注意事项：(1)用解析法证明几何题时，首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；(2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；(3)另外，在证题过程中要不失一般性．

跟踪训练2 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．

探究点三 最值问题

例3 某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4,0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？

小结 这是一道数学实际应用题，先建立数学模型，转化为数学问题．求路程最小值问题，利用点关于直线的对称来解决，即在直线l 上找一点P ，使|P A |＋|PB |最小． 跟踪训练3 求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．

【当堂检测】

1．已知点M (－1,3)，N (5,1)，P (x ，y )到M 、N 的距离相等，则x ，y 满足的条件是 ( ) A ．x ＋3y －8＝0 B ．x －3y ＋8＝0 C ．x －3y ＋9＝0 D ．3x －y －4＝0 2．一条平行于x 轴的线段的长是5个单位，它的一个端点为A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是_________ 3．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝_______

4．已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C (12，3

2)，试判断△ABC 的形状．

【课堂小结】

1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．

2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.

【课后作业】

§3.3.3 点到直线的距离 §3.3.4 两条平行直线间的距离

【学习要求】

1．了解点到直线距离公式的推导方法；

2．掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题； 3．初步掌握用解析法研究几何问题的方法．

【学法指导】

通过对点到直线距离及两平行线间距离公式的探究，领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，体验数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.

【知识要点】

1．点到直线的距离的定义： ．

2．在平面直角坐标系中，点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为 . 3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离为

【问题探究】

[问题情境]

构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有两点之间的距离，点到直线的距离及两条直线之间的距离．上节课我们已经学习了两点之间的距离，本节我们来研究点到直线的距离及两条直线之间的距离． 探究点一 点到直线的距离

问题1 两点间的距离公式是什么？ 问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 问题3 你能说出求点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0距离的一个解题思路吗？ 问题4 用代数的方法求点P 0到直线l 距离的思路十分自然，但不易得出点到直线的距离公式，如下图，如何利用三角形面积公式求出点到直线的距离d 呢？

小结 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

.

例1 已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求三角形ABC 的面积． 小结 (1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．(2)若点P 在直线上，点P 到直线的距离为零，距离公式仍然适用．

跟踪训练1 求过点M (

－2,1)且与A (－1,2)，B (3,0)两点距离相等的直线的方程．

探究点二 两条平行直线间的距离

导引 设直线l 1∥l 2，如何求l 1与l 2间的距离？

问题1 两条平行直线间的距离是指什么线段的长？

问题2 能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？

问题3 已知l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，如何推导出l 1与l 2的距离公式呢？ 小结 若两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)，则l 1，l 2间的距离为d ＝

|C 2－C 1|

A 2＋

B 2

. 例2 已知直线l 1：2x －7y －8＝0，l 2：6x －21y －1＝0，l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离． 小结 （1）求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式．

（2）应用两平行线间的距离公式d ＝|C 2－C 1|

A 2＋

B 2

时，两直线方程必须是一般形式，而且x ，y 的系数对应相等．

跟踪训练2 （1）求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程．

（2）两平行直线3x ＋4y －1＝0与6x ＋8y ＋3＝0关于直线l 对称，求l 的方程．

探究点三 综合问题

例3 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． （1）若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； （2）求点A (5,0)到l 的距离的最大值．

小结 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R)；过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)，但不包括l 2. 跟踪训练3 已知点P (2，－1)．

（1）求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；

（2）是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

【当堂检测】

1．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于 ( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2

2．两平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A ．5 2

B ．522

C ． 2

D ．3 2

3．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝_______ 4．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3

4

.

（1）求直线l 的方程；

（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．

【课堂小结】

1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．

2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰．

3．已知两平行直线间的距离，即可利用公式d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线

的距离.

【课后作业】

复习课

【知识结构】

【题型解法】

题型一 待定系数法的应用

待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件 来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法 求解．

选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等． 例1 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程． 跟踪训练1 求在两坐标轴上截距相等，且到点A (3,1)的距离为2的直线的方程．

题型二 数形结合思想的应用

数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合．

例2 求函数y ＝|x 2－2x ＋5－x 2－4x ＋5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x 的值． 跟踪训练2 已知实数x 、y 满足4x ＋3y －10＝0，求x 2＋y 2的最小值．

题型三 分类讨论思想的应用

本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在．

例3 过点P (－1,0)、Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．

跟踪训练3 已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，求实数a 的值．

题型四 对称问题的求法 1．中心对称

（1）两点关于点对称：设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,

2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点．

（2）两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．

2．轴对称

两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．

例4已知直线l：y＝3x＋3，试求：

（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；

（2）直线l关于点A(3,2)对称的直线方程．

跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

（1）P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

（2）P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．