3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图
§3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图
课时计划：讲授3学时
教学目标：
1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。
2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。
教材分析:
1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点；
2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。教学设计：
本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。教学过程：
第1学时
教学内容：
本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。
1．外力和内力的概念
如图3-1a所示的构件在力
F、B F、P F的作用下处于平
A
衡。无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。
为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。在材料力学中，该附加内力简称内力。
2．截面法计算内力
为了确定构件的承载能力，需要分析内力。为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。
3．轴向拉伸和压缩的概念
直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。
如图3-2a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。图3-2b的螺旋夹具，旋紧螺杆加紧工件后，螺杆的上段受压。
第2学时
教学内容：
本次课讲解拉压变形杆件的轴力计算方法。分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的轴力，根据平衡条件建立轴力与外力的关系。从而求得轴力的大小，并对轴力的正负做出规定，进而得到所求轴力的具体数值。
如图3-3a所示的杆件，在轴向外力
F和2F的作用下处于
1
平衡。由于两个外力的方向都背离杆件，杆件产生拉伸变形。
用假想平面m-m将杆件截成两段，任取一段为研究对象，该段截面上分布着另一段的作用力，就是该截面的内力。其合
力
F和外力1F平衡。由于外力和杆件的轴线重合，所以与其N
平衡的内力也和轴线重合，这样的内力称为轴力。
规定：使杆件拉伸的轴力为正值，压缩的轴力为负值。
第3学时
教学内容：
本次课通过对例题的分析计算，讲解轴力图绘制的方法和注意事项。
作业布置：
教学反思：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。
材料力学第二章详细讲解
第二章杆件的内力.截面法 一、基本要求 1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念； 2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力； 3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。
当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为
的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即) () (S S x M M x F F == 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 5）剪力图和弯矩图 为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种： （1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。 第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。 在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。 第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明 ma x ma x M F S 、的数值。 （2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。 载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为: )() (S x q dx x dF = )() (S x F dx x dM = )() ()(S 2 2x q dx x dF dx x M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。 (a)若某段梁上无分布载荷，即0)(=x q ，则该段梁的剪力F S （x ）为常量，剪力图为平行于x 轴的直线；而弯矩)(x M 为x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 (b)若某段梁上的分布载荷q x q =)(（常量），则该段梁的剪力F S （x ）为x 的一次函数，剪力图为斜直线；而)(x M 为x 的二次函数，弯矩图为抛物线。当0>q （q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当0 §3—1 轴向拉伸和压缩时的内力 一、 轴向拉伸和压缩的概念 沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长（或缩短）变形，这种变形称为轴向拉伸（或压缩）。（图3-1a 、b ）。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。 图3－1a 图3－1b 二、 用截面法计算轴向拉（压）杆的内力 内力指杆件本身一部分与另一部分之间的相互作用力。 要确定杆件某一截面中的内力，可以假想地将杆件沿需求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一部分作为研究对象。此时， 截面上的内力被显示了出来，并成为研究对象上的外力。再由静力平衡条件求出此内力。这种求内力的方法，称为截面法。 现以图3-2a 所示拉杆为例确定杆件任一横截面mm 上的内力。运用截面法，将杆沿截面mm 截开，取左段为研究对象（图3-2b ）。考虑左段的平衡，可知截面mm 上的内力必是与杆轴相重合的一个力N ，且由平衡条件 ∑=0X 可知P N =，其指向背离截面。若取右 段为研究对象，如图3-2c 所示，同样可得出相同的结果。 图3－2a 图3－2b 由此可知，轴向拉压杆件的内力是与轴线重合的力，故称它为轴力，用N 表示。当杆件受拉时，轴力为拉力，其方向背离截面；当杆件受压时，轴力为压力，其方向指向截面。规定：拉力用正号表示，压力用负号表示。 轴力的单位为N 或KN 。 例3-1杆件受力如图3-3a 所示，在力321P P P 、、作用下处于平衡状态。已知KN P 81=， KN P KN P 21032==，，求杆件AB 和BC 段的轴力。 图3－3a 图3－3b 图3－3c 图3－3d 解 （1） 求AB 段的轴力 用11-截面在AB 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3b ），以1N 表示截面轴力，并假定为拉力，写出平衡方程 ∑=0X ， 011 =-P N 所以 KN P N 811== 得正号，说明假定方向与实际方向相同，AB 段的轴力为拉力。 （2） 求BC 段的轴力 用2-2截面在BC 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3c ），以2N 表示截面轴力，写出平衡方程 ∑=0X ， 0212 =+-P P N 得 KN P P N 2108212-=-=-= 负号说明假设方向与实际方向相反，BC 段轴力实际为压力。 若取右段为研究对象（图3-3d ），写出平衡方程 ∑=0X ， 033 =--P N 得 KN P N 233-=-= 结果与取左段为研究对象一样。本例由于右段上的外力少，计算较简单，应取右段计算。 三、 轴力图 表明轴力沿杆长各横截面变化规律的图形称为轴力图。轴力图由如下部分组成： 1．坐标系N x -：x 轴平行于杆的轴线。 项目三轴向拉伸与压缩 一、填空题： 1、内力是由引起的杆件内个部分间的。 2、求内力的基本方法是。 3、直杆的作用内力称。其正负号规定为：当杆件受拉而伸长时为正，其方向截面。 4、截面法就轴力的步骤为：、、。 5、轴力图用来表达，画轴力图时用的坐标表示横截面位置，坐标表示横截面上的轴力。 6、轴力图中，正轴力表示拉力，画在轴的。 7、轴力的大小与外力有关。与杆件截面尺寸、材料（有关、无关）。 8、应力是，反应了内力的分布集度。单位，简称。 9、1pa= N/mm2 = N/m2。1Mpa= pa。 10、直杆受轴力作用时的变形满足假设，根据这个假设，应力在横截面上分布，计算公式为。 11、正应力是指。 12、在荷载作用下生产的应力叫。发生破坏是的应力叫。许用应力是工作应力的；三者分别用符号、、表示。 13、当保证杆件轴向拉压时的安全，工作应力与许用应力应满足关系式：。 14、等截面直杆，受轴向拉压力作用时，危险截面发生在处。而变截面杆，强度计算应分别进行检验。 15、轴向拉压杆的破坏往往从开始。 16、杆件在轴向力作用下长度的改变量叫，用表示。 17、胡克定律表明在范围内，杆件的纵向变形与及，与杆件的成正比。 18、材料的抗拉、压弹性模量用表示，反映材料的能力。 19、EA称作材料的，它反映了材料制成一定截面尺寸后的杆件的抗拉、压能力。EA越大，变形越。 20、ε叫作，指单位长度的变形。 21、泊松比又叫，ν= ，应用范围为弹性受力范围。 二、计算题： 1、试计算轴向拉压杆指定截面的轴力。 2、绘制图示杆件的轴力图。 3、求图示结构中各杆的轴力。 4、用绳索起吊管子如图所示。若构件重W=10KN ，绳索的直径d=40mm ，许用 30 20KN B 45 C 45 105 第3章 轴向拉伸和压缩 一、基本要求 １．熟练掌握截面法求轴力，绘轴力图。 ２．掌握轴向拉、压杆的强度计算。 ３．熟练掌握轴向拉、压时的胡克定律及变形、位移计算。 ４．了解弹性模量Ｅ、泊松系数μ。 ５．了解材料力学性能的主要指标。 ６．熟练掌握一次超静定杆系的求解。 ７．掌握“用切线代替圆弧”法求简单珩架节点位移的方法。 的力学模型（图１）受力特点 件轴线重合。 变形特点 ２．内力 定义 在外力作用下，杆件内部各部分之间的相互作用力。根据连续性假设，内力是连续分布于截面上的分布力系。分布力系的合力（或合力偶）简称为内力。 轴力 轴向拉压时，杆件横截面上分布力系的合力的作用线与杆件轴线重合，故称为轴力。用符号Ｎ表示，单位为牛顿（Ｎ）。拉力为正，压力为负。 轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 ３．应力 定义 杆件截面上某点处分布内力的集度称为该点处的应力P 。 正应力 垂直于截面的应力分量，用符号σ表示。 剪应力 切于截面的应力分量，用符号τ表示。 １）拉压杆横截面上的应力 拉压杆横截面上只有正应力σ，且为均匀分布，其计算公式为 式中Ｎ为该截面的轴力，Ａ为横截面的面积。 A N = σ 106 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 ２）拉压杆斜截面上的应力（如图２） 拉压杆任意斜截面（α面）上的应力为均匀分布，其计算公式为 全应力 p α＝σcos α 正应力 σα ＝σcos2α 剪应力 τ α = 正负号规定： α 负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。 ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 ４、材料的力学性能 １）胡克定律：σ＝Ｅε ２）弹性极限σe 、比例极限σp 、屈服极限σs 和强度极限σb 。 ３）延伸率δ、断面伸缩率ψ。 ５、拉压杆的强度条件 式中[σ]为杆件材料的许用应力， 塑性材料： 脆性材料： 其中n s ，n b 称为安全系数。 ６、拉压杆件的变形计算 １）变形 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短（如图３）；受到轴向压力 ｂ ｂ n σ σ=][S S n σ σ=][[] σσ≤=A N §3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图 课时计划：讲授3学时 教学目标： 1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。 2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。 教材分析: 1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点； 2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。教学设计： 本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。教学过程： 第1学时 教学内容： 本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。 1．外力和内力的概念 如图3-1a所示的构件在力 F、B F、P F的作用下处于平 A 衡。无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。 为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。在材料力学中，该附加内力简称内力。 2．截面法计算内力 为了确定构件的承载能力，需要分析内力。为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。 3．轴向拉伸和压缩的概念 直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。 第5章杆件的内力分析与内力图 5.1轴力及轴力图 一、轴向拉伸或压缩的概念 轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。 受力特点：受一对沿杆轴线的平衡力作用。 变形特点：杆件产生轴向伸长或缩短。 二、工程实例 工程桁架 三脚架 吊索 螺栓 共同特点：作用于杆件上的合力的作用线与杆件轴线重合，杆件的变形是沿轴向伸长或缩短。 三、 轴力 轴力图 1、轴力 轴向拉伸或压缩杆件横截面上的内力可用截面法求得。 左段：由平衡条件知，横截面上只有与横截面垂直，且其合力与杆件轴线重合的内力，称为轴力，用N F 表示。 0, x N F F P ==∑ 右段：同样有 0, x N F F P ==∑ 轴力符号规定：轴力的方向，使杆件拉伸为正，压缩为负。 注意：此处正负号只表明轴力是拉力还是压力，并无数学上大小的含义。 【例】 0x F =∑ 2 2 1 0N F F F +-= 2 1 2 242N F F F kN =-=-=- 0x F =∑ 430N F F -= 34 1N F F kN == 243132N F F F kN =-=-=- 任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向荷载的代数和，轴向荷载矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。 2、轴力图 轴力图：轴力与横截面位置关系绘制成的图。 正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴， 并称为基线，垂直于 x 轴的为N F 轴，横坐标表示各横截面的位置，N F 坐 标表示横截面上的轴力值。正N F 值绘在基线的上方，负N F 值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。 2-1a 求图示各杆指截面的轴力，并作轴力图。 (c ') (e ') (d ') N (kN) 20 5 45 5 (f ') 解：方法一：截面法 （1）用假想截面将整根杆切开，取截面的右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。列平衡方程求轴力： (b) 图：)(20020011 拉kN N N X =→=-→=∑ (c) 图：)(5252002520022 压kN N N X -=-=→=--→=∑ (d) 图：)(455025200502520033 拉kN N N X =+-=→=-+-→=∑ (e) 图： )(540502520040502520044 拉kN N N X =-+-=→=--+-→=∑ （2）杆的轴力图如图（f ）所示。 方法二：简便方法。（为方便理解起见，才画出可以不用画的 (b ‘)、(c ‘)、(d ‘)、(e ‘) 图，作题的时候可用手蒙住丢弃的部份，并把手处视为固定端） （1）因为轴力等于截面一侧所有外力的代数和：∑= 一侧 F N 。故： )(201拉kN N = )(525202压kN N -=-= )(455025203拉kN N =+-= )(5405025204拉kN N =-+-= （2）杆的轴力图如图（f ‘）所示。 2-2b 作图示杆的轴力图。 (c)图： (b)图： （3）杆的轴力图如图（d ）所示。 2-5 图示两根截面为100mm ⅹ100mm 的木柱，分别受到由横梁传来的外力作用。试计算两柱上、中、下三段的应力。 (b) (c) (d) (f) 题2-5 - N图（kN） 6 108.5 N图（kN） 3 2 6.5- 解：（1）梁与柱之间通过中间铰，可视中间铰为理想的光滑约束。将各梁视为简支梁或外伸梁，柱可视为悬臂梁，受力如图所示。列各梁、柱的平衡方程，可求中间铰对各梁、柱的约束反力，计算结果见上图。 （2）作柱的轴力图，如(e)、(f)所示。 （3）求柱各段的应力。 解：（1）用1-1截面将整个杆切开，取左边部分为研究对象；再用x -x 截面整个杆切开，取右边部分为研究对象，两脱离体受力如图(b)、(c)，建立图示坐标。 （2）列平衡方程求杆的轴力 P N 图 (d) 题2-2b () 2/0)(0011l x P N P N X <<=→=-→=∑拉()2/32/))(2/(0)2/(0l x l l x q N N l x q X x x <<-=→=--→=∑拉 第一章轴向拉伸和压缩 1–1轴向拉压的概念及实例 一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉伸，对应的力称为拉力。 轴向压缩，对应的力称为压力。 二、工程实例 1–2轴力及轴力图 一、轴力 拉压杆外力作用所引起的内力系的合力是沿轴线方向的一个力，故称为轴力，用N 表示。 2.轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。 3.轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N 与外法线反向,为负轴力(压力) 三、轴力图——N (x )的图象表示。 意义：①反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。 1–3截面上的应力及强度条件 一、拉（压）杆横截面上的应力 1.变形规律试验及平面假设： 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。自：平面为平面 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2.拉伸应力：A x N )( =σ 轴力引起的正应力——σ：在横截面上均布。 3.危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。 )) ()(max( max x A x N =σ 4.强度设计准则（Strength Design ）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。 [] )) ()(max( max σσ≤=x A x N 其中：[σ]—构件的许用应力，σmax --危险点的最大工作应力。 自：工作应力应小于许用应力 关于许用应力--[σ]：[]n jx σσ= 第二章 杆件的内力与内力图 §2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式 一、杆件的内力与内力分量 内力是工程力学中一个非常重要的概念。内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。 需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。 受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力 N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。 轴力 N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。 剪力 y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。 扭矩x M 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。 弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。 二、杆件变形的基本形式 实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。 杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。 1、轴向拉伸和压缩变形 轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。 轴向拉伸（压缩）的内力及强度计算 一、判断题 1.力是作用于杆件轴线上的外力。（） 图 1 2.力越大，杆件越容易被拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。（） 3.图1所示沿杆轴线作用着三个集中力，其m—m截面上的轴力为 N=－F。（） 4.在轴力不变的情况下，改变拉杆的长度，则拉杆的绝对变化发生变化，而拉杆的纵向线应变不发生变化。（） 5.轴力是指杆件沿轴线方向的内力。（） 6.内力图的叠加法是指内力图上对应坐标的代数相加。（） 7.轴力越大，杆件越容易被拉断，因此轴力的大小可以用来判断杆件的强度。（） 8.两根等长的轴向拉杆，截面面积相同，截面形状和材料不同，在相同外力作用下它们相对应的截面上的内力不同（）。 9.如图所示，杆件受力P作用，分别用N1、N2、N3和ζ1、ζ2、ζ3表示截面I-I、II-II、III-III上的轴力和正应力，则有 （1）轴力N1＞ N2＞ N3（） （2）正应力ζ1＞ζ2＞ζ 3 （） 图 2 图 3 10.A、B两杆的材料、横截面面积和载荷p均相同，但L A> L B, 所以△L A>△L B （两杆均处于弹性范围内），因此有εA>εB。（） 11.因E=ζ/ε，因而当ε一定时，E随ζ的增大而提高。（） 12.已知碳钢的比例极限ζp=200MPa，弹性模量E=200Pa，现有一碳钢试件，测得其纵向线应变ε=0.002，则由虎克定律得其应力 ζ=Eε=200×10×0.002=400Mpa。（） 13.塑性材料的极限应力取强度极限，脆性材料的极限应力也取强度极限。（） 14.现有低碳钢和铸铁两种材料，杆1选用铸铁，杆2选用低碳钢。（） 图 4 15.一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半段为钢，另一半段为铝，则两段的应力相同，变形相同。（） 16.一圆截面轴向拉杆，若其直径增加一倍，则抗拉强度和刚度均是原来的2倍。（） 17.铸铁的许用应力与杆件的受力状态（指拉伸或压缩）有关。（） 18.由变形公式ΔL=即E=可知，弹性模量E与杆长正比，与横截面面积成反比。（） 19.一拉伸杆件，弹性模量E=200Gpa.比例极限ζp=200Mpa.今测得其轴向线应变ε=0.0015，则其横截面上的正应力为ζ=Eε=300Mpa。（） 20.拉伸杆，正应力最大的截面和剪应力最大面分别是横截面和45°斜截面。（） 21.正负号规定中，轴力的拉力为正，压力为负，而斜截面上的剪应力的绕截面顺时针转为正，反之为负。 22.铸铁的强度指标为屈服极限。（） 第四章轴向拉伸与压缩 1. 拉杆或压杆如图所示。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出各杆的轴力图。 解： （1）分段计算轴力 杆件分为2段。用截面法取图示研究对象画受力图如图，列平衡方程分别求得： F N1=F（拉）；F N2=-F（压） （2）画轴力图。根据所求轴力画出轴力图如图所示。 2. 拉杆或压杆如图所示。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出各杆的轴力图。 解： （1）分段计算轴力 杆件分为3段。用截面法取图示研究对象画受力图如图，列平衡方程分别求得： F N1=F（拉）；F N2=0；F N3=2F（拉） （2）画轴力图。根据所求轴力画出轴力图如图所示。 3. 拉杆或压杆如图所示。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出各杆的轴力图。 解： （1）计算A端支座反力。由整体受力图建立平衡方程： ∑F x＝0， 2kN-4kN+6kN-F A＝0 F A＝4kN(←) （2）分段计算轴力 杆件分为3段。用截面法取图示研究对象画受力图如图，列平衡方程分别求得： F N1=-2kN（压）；F N2=2kN（拉）；F N3=-4kN（压） （3）画轴力图。根据所求轴力画出轴力图如图所示。 4. 拉杆或压杆如图所示。试用截面法求各杆指定截面的轴力，并画出各杆的轴力图。 解： （1）分段计算轴力 杆件分为3段。用截面法取图示研究对象画受力图如图，列平衡方程分别求得： F N1=-5kN（压）； F N2=10kN（拉）； F N3=-10kN（压） （2）画轴力图。根据所求轴力画出轴力图如图所示。 5. 圆截面钢杆长l=3m，直径d=25mm，两端受到F=100kN的轴向拉力作用时伸长Δl=2.5mm。试 计算钢杆横截面上的正应力σ和纵向线应变ε。 解： 6. 阶梯状直杆受力如图所示。已知AD段横截面面积A AD=1000mm2，DB段横截面面积A DB=500mm2， 材料的弹性模量E=200GPa。求该杆的总变形量Δl AB。 第六章杆的轴向拉伸和压缩 学习目标： 1.了解轴向拉伸和压缩概念，理解轴向拉伸和压缩变形的受力特征和变形特征。 2.理解轴向拉伸和压缩杆件横截面上内力，能熟练计算轴向拉伸和压缩杆件横截面上的 应力。 3.了解轴力图定义，并能熟练绘制轴向拉伸或压缩杆的轴力图。 4.了解轴向拉伸和压缩杆件纵向变形的虎克定律（两种表达形式），能熟练计算 轴向拉伸或压缩杆件的变形量。 5.了解材料的力学性质。 6.了解材料极限应力、许用应力、安全系数等概念。 7.了解等截面直杆轴向拉伸和压缩时的强度条件，能熟练运用轴向拉伸压缩时强 度条件进行拉压强度校核，设计杆件截面尺寸，计算拉压杆的承载能力。 第一节轴向拉伸和压缩的概念 一、轴向拉伸和压缩变形实例 轴向拉伸和压缩变形是杆件四种基本变形之一。在工程结构中，承受轴向拉伸或压缩的杆件很多。如起重机吊装重物P时（图6-la）,吊索即受拉力F的作用（图6-lb）；三角支架ABC（图6-2a）在节点B受重物F作用时，43杆将受到拉伸（图6-2 b）, BC 杆将受到压缩（图6-2c）；连接两块钢板用的螺栓（图6-3 a）,当螺母拧紧时，螺栓杆将受到拉力的作用（图6-3 b）;乂如（图6-4）所示的桁架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。 图6-1图6-2 图6-3 图6-4 二、轴向拉伸和压缩概念 由以上实例可见，当杆件受到与轴线重合的拉力（或压力）作用时，杆件将产生沿轴 线方向的伸长（或缩短），这种变形称为轴向拉伸或压缩（图6-5）o 图6-5 本章重点讨论杆件在受轴向拉伸或压缩时的内力、应力、变形、强度的计算和材料的 力学性质，以及静定超静定问题。 第二节轴向拉伸和压缩时的内力 一、轴力 杆件受一对拉力F 的作用（图6-6 a ）o 为了求出横截面加-加上的内力，可运用截面 法，其步骤如下： 1. 截开假想用一平面，在m-m 处将杆截开，使其成为两部分。 2. 代替取左端为研究对象，弃去的右端对左端的作用以内力代替（图6-6 b ）o 由 于外力与轴 线重合，所以内力也必在轴线上，这种与杆件轴线相重合的内力称为轴力，用 表示。 3. 平衡由左端的平衡方程 工耳=0 F 「F = 0 Fy = F p \ ]F 1 i 轴向拉伸和压缩 第六章轴向拉伸和压缩 第一节轴向拉伸和压缩时的内力 一、轴向拉伸和压缩的概念 在工程中，经常会遇到轴向拉伸或压缩的杆件，例如图6,1所示的桁架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图6,2所示起重架的1、2杆和做材料试验用的万能试验机的立柱。作用在这些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向伸长或缩短。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。 二、内力的概念 我们知道，物体是由质点组成的，物体在没有受到外力作用时，各质点间本来就有相互作用力。物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生变化。这种相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。 内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力。 三、截面法?轴力?轴力图 求构件内力的基本方法是截面法。下面通过求解图6,3(a)的拉杆m,m横截面上的内力来阐明这种方法。假想用一横截面将杆沿截面m,m截开，取左段为研究对象图6,3 ,X,0(b)。由于整个杆件是处于平衡状态的，所以左段也保持平衡，由平衡条件可知，截面m,m上的分布内力的合力必是与杆轴相重合的一个力，且，其指向背离截面。N,P 同样，若取右段为研究对象图6,3(c)，可得出相同的结果。 对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面m,m上的轴力N，其指向如图6,4所示。 把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用符号N表示。背离截面的轴力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。通常规定:拉力为正，压力为负。 轴力的单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。 这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面内力的方法称截面法。 综上所述，截面法包括以下三个步骤: (1)沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部分。 (2)取出任一部分为研究对象，并在截开面上用内力代替弃去部分对该部分的作用。 第二节杆件的基本变形与组合变形 一、轴向拉伸与压缩 1．轴力与轴向变形 轴向拉（压）杆件横截面上的内力只有轴力，轴力可采用截面法求得。轴力的正负号一般规定为：拉力为正，压力为负。轴力沿杆轴方向的变化采用轴力图表示。 依据平面假设，轴向拉（压）杆件的变形沿整个横截面是均匀的，因而应力在横截面上也是均匀分布的（图3-8）。横截面上应力的计算式为： 式中 N 一轴力； A ―横截面面积。 在弹性变形范围内，轴向拉（压）杆的伸长（缩短）量与杆所受轴力、杆的长度成正比，与杆的抗拉（压）刚度EA 成反比，即 【例3-4】计算图3-9（a）时所示轴向受力杆件的内力，作出内力图，并判断整个杆件的变形是伸长还是缩短。 E A=常数。 在BC段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3-9b ) ，由平衡条件 可得： 同理，在AB 段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3 -9c），由平衡条件 可得 因整个杆件的EA=常数，AB 段的杆长虽为BC 段的一半，但其所受的拉力为BC 段的3 . 5 / 1 . 5 ≈2 . 3 倍，因此AB 段的伸长量大于BC 段的缩短量，整个杆件的变形是伸长的。 2．温度改变的影响 自然界中的物体普遍存在热胀冷缩的现象，杆件结构也是一样。例如图 3 -10 ( a ）所示的杆件，若其温度升高Δt，因没有多余约束（即为静定），故杆件可以自由地伸缩，并不会产生内力或反力。 在温度改变作用下，杆件的伸长量△l 与杆长l及温度改变量△t 成正比，即： 式中α——材料的线膨胀系数。 对于图3 一10 ( b ）的杆件，若温度升高△t，由于杆件两端固定（即为超静定），阻止了杆件的自由伸缩，这样杆内将产生温度应力。显然，如果该杆温度升高（△t＞0 ) ，则杆内将产生压力；若温度降低（△t < 0 ），则杆内将产生拉力。 二、剪切 当杆件的某一截面受一对相距很近，方向相反的横向力作用时，杆件在该截面处将发生剪切变形。 例如图3-11所示的螺栓连接件，当钢板受拉力P 作用时，螺栓将在截面m-m处承受剪力，并产生剪切变形。在实用计算中，通常假设螺栓受剪面上各处的剪应力都相等，即名义剪应力等于受剪面所承受的剪力除以受剪面的面积。 当然，上述连接件除螺栓横截面上承受较大的剪应力外，螺栓和钢板的接触面上还承受较大的挤压应力，钢板的n 一n 截面上还承受较大的拉应力。 三、扭转 第五章 轴向拉伸与压缩 一、轴向拉伸与压缩 承受拉伸或压缩杆件的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。这种杆件称为拉压杆。 二、轴力及轴力图 杆件在外力作用下将发生变形，同时杆件内部各部分之间产生相互作用力，此相互作用力称为内力。 对于轴向拉压杆，其内力作用线与轴线重合，此内力称为轴力。轴力拉为正，压为负。为了表现轴向拉压杆各横截面上轴力的变化情况，工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。 三、横截面上的应力 根据圣文南原理，在离杆端一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也应是均匀的，并垂直于横截面，此即为正应力。设杆的横截面面积为Ａ，则有 A F N =σ 工程计算中设定拉应力为正，压应力为负。 四、强度条件 工程中为各种材料规定了设计构件时工作应力的最高限度，称为许用应力，用［σ］表示。 轴向拉伸（压缩）强度条件为 []σσ≤=A F N 用强度条件可解决工程中三个方面的强度计算问题，即：（1）强度校核； （2）设计截面；（3）确定许可载荷。 五、斜截面上的应力 与横截面成θ角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=+=θστθσσθθ2sin 2)2cos 1(2 由上式可知，当θ＝０°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当θ＝±４５°时，切应力达到极值。 六、拉压变形与胡克定律 等值杆受轴向拉力Ｆ作用，杆的原长为l ，横截面积为Ａ，变形后杆长由l 变为l ＋△l ，则杆的轴向伸长为 EA Fl l =∆ 用内力表示为 EA l F l N =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的胡克定律。式中的Ｅ称为材料的拉伸（压缩）弹性摸量，ＥＡ称为抗拉（压）刚度。 用应力与应变表示的胡克定律为 σ＝Ｅε 在弹性范围内，杆件的横向应变ε‘和轴向应变ε有如下的关系： μεε-=' 式中的μ称为泊松比。 七、简单拉压静不定问题 构件的承载能力分析轴向拉伸与压缩 刚体和变形体(deformable body) 在外力作用下，一切固体都将发生变形deformation（尺寸和形状），故称为变形固体。材料力学中的固体一般是指变形体。 构件element 组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。 桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；悬臂吊车架的横梁AB，斜杆CD都是构件。 1.构件承载能力分析的内容 材料力学是一门研究构件承载能力的科学。为满足工程结构或机械的正常工作,构件应具有足够的承载能力。 对构件的三项基本要求： (1)强度(Strength)——构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂失效等。 (2)刚度( Stiffness )——构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴变形不应过大，否则影响加工精度。 (3) 稳定性(Stability)——某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆等 材料力学的任务： 1)研究构件的强度、刚度和稳定性； 2)研究材料的力学性能； 3)为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。 2.变形固体的基本假设 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形固体。 由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设： （1）均匀连续性假设：假定变形固体内部毫无空隙地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。 （2）各向同性假设: 认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。 （3）弹性小变形条件：在载荷作用下，构件会产生变形。实验证明，当载荷不超过某一限度时，卸载后变形就完全消失。这种卸载后能够消失的变形称为弹性变形elastic deformation 。若载荷超过某一限度时，卸载后仅能消失部分变形，另一部分不能消失的变形称为塑性变形plastic deformation 。构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形问题，称为弹性小变形。由于这种弹性小变形与构件的原始尺寸相比较是微不足道的，因此，在确定构件内力和计算应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。 3.杆件变形的基本形式 工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆bar、板plate、壳shell、块body。杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式。在工程结构中，杆件的基本变形有以下四种： 1）拉伸tension和压缩compression： 由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力所引起，表现为杆件长度的伸长或缩短。 2）剪切shear：演示 由大小相等、方向相反、相互平行且非常靠近的一对力所引起，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发 2 杆件的拉伸与压缩 1、本章主要介绍轴向拉伸和压缩时的重要概念：内力（轴力）、应力、变形和应变、变形能等。 轴向拉伸和压缩的应力、变形和应变的基本公式是： 正应力公式 A N =σ 胡克定律 EA Nl l = ∆ ，E σε= 胡克定律是揭示在比例极限内应力和应变的关系，它是材料力学最基本的定律之一，虎克定律的适用条件为材料不超过比例极限，即材料处于线性弹性范围。 平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆件的轴线。 斜截面上的应力①正应力 ασα2cos A N = ②切应力 ατα2sin 2A N = 2、材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。对于材料力学性能 的研究一般是通过实验方法，其中拉伸试验是最主要、最基本的一种试验。低碳钢的 拉伸试验是一个典型的试验。它可得到如下试验资料和性能指标： 拉伸全过程的曲线和试件破坏断口； ——材料的强度指标 ——材料的塑性指标 其中 -材料抵抗弹性变形能力的指标；某些合金材料的 -名义屈服极限等测定 有专门拉伸试验。 3、工程中一般把材料分为塑性材料和脆性材料。塑性材料的强度特征是屈服极限和强度极限 （或 ），而脆性材料只有一个强度指标，强度极限 。 4、强度计算是材料力学研究的重要问题。轴向拉伸和压缩时，构件的强度条件是 []σσ≤= A N max 它是进行强度校核、选定截面尺寸和确定许可载荷的依据。 5、通过本章应初步掌握拉压超静定问题的特点及解法。 2.1 在图 2.1所示的简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。木杆AB 的横截面面积 21100cm A =，许用应力[]MPa 71=σ；钢杆BC 的横截面面积226cm A =，许用应力 []MPa 1602=σ，试求许可吊重P 。 [解] B 铰链的受力如图2.1（b ）所示，由平衡条件得： 030cos 0=-=∑ BC AB N N X ∑=-=030sin 0 P N Y BC 可解得 P N BC 2=，P N AB 3= 利用钢杆的强度条件 []22 σσ≤= A N BC 钢 故 图2.1 N BC （b ） P B N AB P 解题范例3.1轴向拉伸和压缩时的内力.
项目三 轴向拉压杆习题
建筑力学3轴向拉伸和压缩DOC
3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图
第5章杆件的内力分析与内力图
材料力学 中国建筑工业出版社第二章 轴向拉压习题答案
材料力学(机械工业出版社)知识小结第一章 轴向拉伸和压缩.
第二章 杆件的内力与内力图
轴向拉伸 习题
材料力学五章
杆的轴向拉伸和压缩
轴向拉伸和压缩
二建考试必备-建筑结构与设备(7) 杆件的基本变形与组合变形
轴向拉伸与压缩
构件的承载能力分析轴向拉伸与压缩
工程力学-杆件的拉压