一元二次不等式解法习题及答案
一元二次不等式解法练习
例若<<,则不等式--<的解是1 0a 1(x a)(x )01a
[ ] A a x B x a .<<.<<11a a
C x a
D x x a .>或<.<或>x a a 11 例有意义,则的取值范围是.2 x x 2--x 6
例3 若ax 2+bx -1<0的解集为{x|-1<x <2},则a =________,b =________. 例4 不等式3129x -≤的整数解的个数是
( )
A .7
B .6
C .5
D .4
例不等式+>的解集为5 1x 11-x
[ ] A .{x|x >0} B .{x|x ≥1}
C .{x|x >1}
D .{x|x >1或x =0} 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x
--32 [ ] A .(x -3)(2-x)≥0
B .0<x -2≤1
C .≥23
0--x x D .(x -3)(2-x)≤0
例不等式<的解为<或>,则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1
[ ] A a B a C a D a .<.>.=.=-12
121212
例解不等式≥.8 237232x x x -+-
例 9 解关于x 的不等式
(x -2)(ax -2)>0.
1、
分析比较与的大小后写出答案. a 1a 解∵<<,∴<,解应当在“两根之间”,得<<.选.
0a 1a a x A 11a a
2、分析 求算术根,被开方数必须是非负数.
解 据题意有,x 2-x -6≥0,即(x -3)(x +2)≥0,解在“两根之外”,所以x ≥3或x ≤-2.
3、 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax 2+bx -1=0的两个根,考虑韦达定理.
解 根据题意,-1,2应为方程ax 2+bx -1=0的两根,则由韦达定理知
-=-+=-=-=-???????b a a ()()1211122×得
a b ==-1212,. 4、答案 A
5、 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.
解不等式化为+->,通分得>,即>, 1x 0001111
22
----x x x x x ∵x 2>0,∴x -1>0,即x >1.选C .
说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.
6、
解法一原不等式的同解不等式组为≥,≠. ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ,选B .
解法二≥化为=或-->即<≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x
两边同减去2得0<x -2≤1.选B .
说明:注意“零”.
7、分析可以先将不等式整理为
<,转化为 0()a x x -+-111
[(a -1)x +1](x -1)<0,根据其解集为{x|x <1或x >2}
可知-<,即<,且-=,∴=.a 10a 12a 1112
a - 答 选C .说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.
8、 解 先将原不等式转化为3723
202x x x -+--≥ 即≥,所以≤.由于++=++>,---+-+++-212321231478
2222x x x x x x x x 002x x 12(x )022 ∴不等式进一步转化为同解不等式x 2+2x -3<0,
即(x +3)(x -1)<0,解之得-3<x <1.解集为{x|-3<x <1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题.
9、 分析 不等式的解及其结构与a 相关,所以必须分类讨论.
解 1° 当a =0时,原不等式化为
x -2<0其解集为{x|x <2};
2 a 02(x 2)(x )0°当<时,由于>,原不等式化为--<,其解集为
22a a
{x|2a
x 2}<<; 3 0a 12(x 2)(x )0°当<<时,因<,原不等式化为-->,其解集为
22a a
{x|x 2x }<或>;2a
4° 当a =1时,原不等式化为(x -2)2>0,其解集是{x|x ≠2};
5 a 12(x 2)(x )0°当>时,由于>,原不等式化为-->,其解集是
22a a
{x|x x 2}<或>.2a
从而可以写出不等式的解集为:
a =0时,{x|x <2};
a 0{x|2a
x 2<时,<<}; 0a 1{x|x 2x }<<时,<或>;2a
a =1时,{x|x ≠2};
a 1{x|x x 2}>时,<或>.2a
说明:讨论时分类要合理,不添不漏.
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 例2 解下列分式不等式: (1) 2 2 123+-≤-x x (2) 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x . 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2. 例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m . 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax . 例8 解不等式331042<--x x . 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x . 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x .求不等式 02>++a bx cx 的解集. 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞,,Y ,求a 、b 的值. 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ,求a 与b 的值. 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax . 例14 解不等式x x x ->--81032.
例1解:(1)原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321 =-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 2.3.2 一元二次不等式解法 二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3-1)可知 当x=-2,或x=3时,y=0,即x2-x=6=0; 当x<-2,或x>3时,y>0,即x2-x-6>0; 当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线y= x2-x-6与x轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与x轴的相关位置,可以得到 一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 x<-2,或x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3. 上例表明:由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2-4ac,它的解的情形按照△>0,△=0,△<0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-2所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2(x1<x2),由图2.3-2①可知 不等式ax2+bx+c>0的解为 x<x1,或x>x2; 不等式ax2+bx+c<0的解为 x1<x<x2. (2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax2+bx+c =0有两个相等的实数根x1=x2=-b 2a,由图2.3-2②可知不等式ax2+bx+c>0的解为 x≠-b 2a; 不等式ax2+bx+c<0无解. 一元二次不等式强化 222222222一、十字相乘法练习: 1、x +5x+6= 2、x -5x+6= 3、x +7x+12= 4、x -7x+6= 5、x -x-12= 6、x +x-12= 7、x +7x+12= 8、x -8x+12= 9、x -4x-12= 2222222 10、3x +5x-12= 11、3x +16x-12= 12、3x -37x+12= 13、2x +15x+7= 14、2x -7x-15= 15、2x +11x+12= 16、2x +2x-12= 二、一元二次不等式 22解一元二次不等式时 化为一般格式:ax +bx+c>0(a>0)或ax +bx+c<0(a>0); 65045033200440(21)(5)(3)0x x x x m x x +-<-+<-+<+->-++->2222222练习: 1、解下列不等式: (1)3x -7x>10; (2)-2x ; (3)x ; (4)10x ; (5)-x ; (6)x x+m +m<0;(7) ; (8)(5-x)(3-x)<0; (9)(5+2x)(3-x)<0; (1x--40x+3 2(11)04x x >-<+0); ; 2x 230 x (1)0. ax a a x a --<+--<222、(1)解关于的不等式x (2)解关于的不等式x 230ax bx c ++>22、(1)若不等式的解集是{x -3 一元二次方程练习题 1、已知关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若12121-?=+x x x x ,求k 的值。 、 2.、已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根1x 与2x (1)求实数m 的取值范围; (2)若7)1)(1(21=--x x ,求m 的值。 } 3.已知)(11y x A , ,)(22y x B , 是反比例函数x y 2 -= 图象上的两点,且212-=-x x ,3 21=?x x . (1)求21y y - 的值及点A 的坐标; (2)若-4<y ≤ -1,直接写出x 的取值范围. 【 4.(本小题8分)已知关于x 的方程014)1(2 2=+++-k x k x 的两根是一个矩形的两邻边的长。 (1)k 为何值时,方程有两个实数根; (2)当矩形的对角线长为 时,求k 的值。 ; 5.已知关于x 的一元二次方程 . 】 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)当Rt△ABC 的斜边长 ,且两直角边和是方程的两根时,求△ABC 的周长和面积. ~ 6.如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 均为正数,且满足1< 2 1x x <2(其中1x >2x ),那么称这个方程有“邻近根”. (1)判断方程03)13(2=++-x x 是否有“邻近根”,并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程01)1(2 =---x m mx 有“邻近根”,求m 的取值范围. 。 7.设关于x 的一元二次方程0122=++px x 有两个实数根,一根大于1,另一根小于1,试求实数p 的范围. ¥ 8.某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,商店为适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可 一元二次不等式及其解法 1.形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式. 2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0 二次函数c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 不等式的解法---穿根法 一.方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方, 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范. 一元二次方程练习题 1. 解下列方程:(1)2(1) 9x -=; (2)2(21)3x +=; (3)2(61)250x --=. (4)281(2)16x -=. 2. 用直接开平方法解下列方程: (1)25(21)180y -=; (2)21(31)644 x +=; (3)26(2) 1x +=; (4)2()(00)ax c b b a -=≠,≥ 3. 填空 (1)28x x ++( )=(x + )2.(2)223x x -+( )=(x - )2. (3)2b y y a -+( )=(y - )2. 4. 用适当的数(式)填空: 23x x -+ (x =- 2);2x px -+ =(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ . 5. 用配方法解方程. 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ,2x = . 7. 用适当的方法解方程(1)23(1) 12x +=; (2)2410y y ++=; (3)2884x x -=; (4)2310y y ++=. (5) ()9322=-x ; (6)162=-x x ; 一元二次不等式 2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 一元二次方程习题课教案 一、基础练习 1、下列方程中,关于x 的一元二次方程是 ( ) (A )23(1)2(1)x x +=+ (B ) 21120x x +-= (C )20ax bx c ++= (D )2221x x x +=- 2、方程0232=+-x x 的解是 ( ) A .11=x ,22=x B .11-=x ,22-=x C .11=x ,22-=x D .11-=x ,22=x 3、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根,则方程的另一个根为( ) A .2- B .2 C .3- D .3 4、下列方程中,有两个不等实数根的是 ( ) A .238x x =- B .2510x x +=- C .271470x x -+= D .2753x x x -=-+ 5、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是 ( ) A.k >14- B.k >14-且0k ≠ C.k <14- D.14 k ≥-且0k ≠ 6、等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解,则这个等腰三角形 的周长是 . 7 、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长,且12)1)((2222=+++b a b a ,则这个直角三角形的斜边长为 . 8、代数式22418x x -+-有最________值为________. 9、若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ,则12 11x x +的值为 10、已知一元二次方程有一个根是2,那么这个方程可以是 (填一个即可). 二、例题选讲 1、解下列方程 (1) 06)2(2=--x (2) 2 620x x --=(配方法)初中数学 一元二次不等式解法
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