用解析法解决问题
用解析法解决问题
一、教材分析
本节课是“用解析法解决问题”，是第3章第1节内容，我们都知道算法是程序设计的灵魂，在掌握程序设计的基本知识后。本章侧重于运用算法解决实际问题，设计合理的算法并编程实现。在学习的过程中，还需要进一步理解程序设计的基本知识，能够做到独立编程，解决比较复杂的问题。本节主要阐述解析法，该方法应用广泛，与数学里面的解析式相联系，结合教学要求和教材事例，本课从数学角度入口，引发学生思维迁移，解决实际问题。
二、学情分析
本节课的教学对象为高二的学生，通过前两章的学习，他们已经对VB程序设计已经有了一定的认知，并且刚学完程序的三大基本结构。况且在数学、物理课上经常接触到用解析法解决一些问题，但没有用编写程序来实现过。基于此，学生的学习兴趣还是比较高的，他们想通过编程来进一步了解计算机解决问题的过程。学生间有差异，少数学生悟性较高，想学习更多程序设计方面的知识；少数学生面对稍难的问题时力不从心；个别学生没兴趣学习。因此，教学中要关注全体学生，变学生的个体差异为资源，发挥同伴互助作用，共同提高课堂效率。
三、教学目标
普通高中信息技术新课程标准在本模块旨在使学生体验算法思想，能从简单问题出发，设计解决问题的算法，并初步使用编程实现算法。提高学生的信息技术素养和信息技术操作能力。现代教育观明确指出：教师是主导，学生是主体，教师要引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，力求让每一位学生都动脑，动手，引导学生积极思考，主动发现新知识，培养学生的创新精神和实践能力。根据本节课教学内容以及学生的特点，结合学生现有知识水平，确定本节课教学目标如下：
1、知识目标:：
1）了解解析法，学会用解析法分析问题、解决问题
2）学会编写程序实现解析法
2、能力目标：
培养学生分析、比较、迁移等能力，培养学生类比迁移思维，探索性、创造性思维
3、情感目标：
培养学生积极主动的学习态度，团结合作、勇于质疑、探索和不断创新的精神
四、重点难点
重点：学会用解析法编写程序解决实际问题
难点：用解析法分析问题，抽取出一个数学模型，这个数学模型能用若干个解析表达式表示出来。
五、教学策略
采用点拨、自主探究、小组合作等教学方法。
六、教学环境
多媒体教室
七、教学设计
教学环节教师活动及内容学生活动设计意图课件截图
自主探究约（5分钟）出示探究任务：
（1）在纸上画出sina（x）函
数在x∈[-2π,2π]范
围内的图像？
（2）如何用vb编程实现呢？
（3）在vb中正弦曲线的绘制
过程，应该属于程序设
计中哪一种程序结构？
自主完成探
究任务（1）
并总结画图
的步骤。同时
思考如何vb
实现画图。
学生由数学上
熟知的画正弦
函数开始，进
而引出用计算
机画图，为澄
清什么是解析
法做铺垫。
明确目标（1分钟）展示目标：介绍本节课教学任
务、教学目标及重难点。
明确学习任
务、目标及要
突破的重难
点。
解决重点，突
破难点。有针
对性的进行教
学活动。
交流讨论（5分钟）【讨论问题】
（1）分析用vb实现正弦函数
图像的步骤是什么？
（2）明确算法后，如何编写程
序代码？
细化任务，明
确每一步的
作法。
将问题进行细
化，进而找到
编程的突破
口。
演示（3分钟）通过修改程序中的步长及颜色
比较结果的不同。
【思考】
（1）程序中步长的大小与绘
出线条的清晰程度有什么样的
关系？
（2）根据上面正弦函数的代
码改写成绘制余弦函数代码
（要求：x∈[-2π,2π]的图
像）
观察代码修
改前后图像
的变化。
培养学生积极
主动的学习态
度，勇于质疑、
探索和不断创
新的精神。
小结（2分钟）什么是解析法？对照上面的
分析，阅读课
揭示概念
本，了解解析法。
案例分析（3分钟）出示问题：观察钻石图案，找
出解题的数学模型，分析其组
成元素，找出绘图的规律。
研究图案的
组成及其规
律性。
培养学生的抽
象思维能力。
进一步熟悉解
析法。
团结互助（8分钟）小组讨论：绘制钻石图案分步
目标都需要做那些工作？（必
要时提示）
第一步：建立一个易于完成此
图形的坐标系，可考虑将坐标
系原点放在图形中心位置。
第二步：如果将圆n等分
（n=15），请参照图例，画出
点（x1，y1）。
第三步：描绘出圆周上所有的
点。
第四步由A点向其他点辐射画
线
第五步：将顶点A移到下一位
置，重复任务四的操作。经过
14次同样的操作后，完成图案
的绘制。
绘制钻石图
案，任务细
化，明确目
标。
培养学生分析
能力，把复杂
的的事情简单
化。
课堂实践（15分钟）试设计求二元一次方程组解的
算法。（要求：只要输入二元
一次方程组的系数就能够输出
答案）
独立完成。通过实践巩固
所学。
总结（3分钟）
教师：通过这节课的学习，掌握了那些知识和技能？在那些方面还存在不足？有那些改进的方法和措施？
八、教学反思
解析法是一种最基本的问题求解方法，有着广泛的应用。反思本课，有以
下特点。
（1）充分体现滕州一中“两先两后一小结”课堂模式。
（2）在课题的引出上很自然，从学生熟知的数学知识到vb开发正弦函数。这个过程很平稳，也充分体现了知识的迁移。
（3）本节课过程很完整。从探究vb开发正弦函数引出课题到揭示什么是解析法，再到案例分析，最后到课堂实践。学练结合，层层深入，这个过程符合学生的认知过程。以建构主义学习理论为指导，在问题解决中充分体现学生主体地位，有利于培养学生自主学习、合作探究意识。
（4）精选不同类型的问题（画正弦函数图像，绘制钻石图案，解二元一次方程组），贴近学生的生活、学习，有利于学生拓展知识面、提高学习兴趣。
不足之处：
由于学生的个体差异，极个别的学生没能及时完成作业，究其原因他们的基础比较差，导致的学习兴趣不高。
解析法
解析法 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）．理解解析法的基本概念。 （2）学会选择恰当的算法并综合应用各种学科知识解决实际问题的方法 2、过程与方法 通过实例，掌握用解析法设计程序的基本思路； 3、情感、态度与价值观 （1）．通过问题和算法分析过程，促进逻辑分析能力的提高。 （2）．培养根据算法写出程序代码并上机调试程序的能力。 二、教学重点与难点： 重点：理解解析法解决问题的思想； 难点：列出求解问题的解析式或方程（组）； 三、教学资源： 大屏幕电子白板、多媒体课件 四、教学过程： （学生探讨并分组讨论） 【探讨问题一】：使用一根长度为L厘米的铁丝，制作一个面积为S的矩形框，请计算出满足这种条件的矩形的长和宽。 （要求：列出求解问题的方程式并编程实现。） 【提问并小结问题一的探讨】 (让学生明确建立数学模型、写出求解式的重要性) 1．分析问题：本例问题可归结为求解一元二次方程的根。设矩形宽为x，则长为L/2-x，
则列出方程：x(L/2-x)=S 即：x2-1/2*L*x+S=0 （让学生通过分组讨论探究，明确设计算法如何从已知条件入手来逐步求解问题的方法）2．设计算法： （1）输入长度L； （2）输入矩形框面积S; （3）计算D=L*L/4-4*S （4）若D>=0，则计算方程的两个根并输出，否则输出“找不到”。 （引导学生编写程序代码并上机调试，理解如何根据算法编写程序） 3．编写程序： 4．调试程序： 【探讨交流解析法概念】 （让学生阅读P98，并结合该实例总结解析法的基本概念） 解析法：综合运用数学、物理、化学等各学科的知识来分析问题，寻求各要素之间的关系，抽取出数学模型，得到解决问题的解析式，然后设计程序求解问题的方法。 【探讨问题二】：小球弹跳问题（见P99）：小球从10米高处落下，每次弹起的高度是下落高度的70%。当小球弹起的高度不足原高度的千分之一时，小球很快停止跳动。计算小球在整个弹跳过程中所经历的总的路程 （要求：分组讨论，用解析法求解问题，利用已学物理、数学知识综合分析，写出解析式和算法设计步骤，并编程、上机调试程序。） 【小结问题二的探讨】：选取小组中调试出的典型程序，由该小组选一名成员讲解其设计思路、过程。达到共同提高的目的。 【学生总结反思】： 【作业：】 计算从y1年m1月d1日起，到y2年m2月d2日之间的天数。
解析法证明平面几何经典问题--举例
五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？ 例1、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引两条直线分别交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） （例1图） （例2图） 例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 【部分题目解答】 例1、(难度相当于高考压轴题) ； ，、点的方程为：直线的方程为：设直线方程为：轴建立坐标系，设圆的为为原点，轴，为如图，以)(),(,AD ,,)-(2211222y x C y x B nx y mx y AB r a y x Y AO A x MN ===+ 、；则，、，C B )()(4433y x E y x D , 1 - ;12-2-)1,{)-(22 2212212222222+=+=+=++=+=m r a x x m am x x r a amx x m y r a y x mx y 由韦达定理知：得：（消去,1- ;1222 243243+=+=+n r a x x n an x x 同理得： ),-(---23 23 22x x x x y y y y CD = 方程为：直线 ,--Q 3 23 223Q y y y x y x x = 点横坐标：由此得 , --P 1 41441P y y y x y x x = 点横坐标：同理得 ,------1 41441323223P Q y y y x y x y y y x y x x x AQ AP ===；即证：，只需证明：故，要证明 N B
“割补法”求解不规则几何体体积
“割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类． 一、来自三棱柱的截体 例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱 A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成 的两部分几何体的体积相等． 分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体， 因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？ 如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就 说明我们应该选择割． 证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等． 当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证． 二、来自正方体的截体 例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂 直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ， 2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就 把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -． 于是所求几何体的体积为： DEH BEF V S AD S DE =?+?△△11212212422????=???+???= ? ?????． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然 所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V = ?=． 三、来自圆柱的截体 例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的 最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则 该几何体的体积等于_______． 解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上
利用递归思想解决计数问题
利用递归思想解决计数问题 福建省永定第一中学 简绍煌 我们常会遇到一些看似排列组合应用题的计数问题，但其复杂的情形有时令人无从下手，若是利用递归思想建立递归方程加以求解，则往往能够迎刃而解． 【例1】有一楼梯共10级，如果规定每步只能跨上一级或二级，要上10级，共有多少种走法？ 解 设上n 级楼梯共有n a 种走法，当1n =时，11a =；当2n =时，22a =． 当有(2)n n >级楼梯时，其走法分两类． 第一类：走完前面1n -级楼梯有1n a -种走法，走第n 级只有1种走法； 第二类：走完前面2n -级楼梯有2n a -种走法，走第1n -级与第n 级楼梯时一步走，也是1种走法． 由分类计数原理，知n 级楼梯的走法为21(2)n n n a a a n N n --=+∈>且，． 由此可以算出1089a =． 点评 其通项公式可用换元法转化为一阶线性递归数列求解． 令11n n n c a x a +=-，使数列{}n c 是以2x 为公比的等比数列(12x x 、待定)． 即211211()n n n n a x a x a x a +++-=-，∴212112()n n n a x x a x x a ++=+-．对照已给递归式， 有12121 1x x x x +==-，，即12x x 、是方程210x x --=的两个根． 从而121211112222x x x x += === ∴211111(222n n n n a a a a +++-=-) ① 或211111(222n n n n a a a +++-=-) ② 由式①得1 1131(222n n n a a -++-=； 由式②得1 1131(222 n n n a a -++--=． 消去 1n a +，得11n n n a --? =?? ． 【例2】将数字123n ，，，，填入标号为123n ，，，，的n 个方格内，每格一个数字，则 标号与所填数字均不同的填法共有多少种？ 解 设这n 个自然数的错排数为n a ． 当1n =时，10a =；当2n =时，21a =． 当3n ≥时，n 个自然数的错排数可以分两类情况计算． 第一类：自然数(11)k k n ≤≤-与n 互换，这时错排数为2n a -； 第二类：自然数n 在第k 位上，但自然数不在第n 位上．这时就把第n 位看做第k 位，相当于将n 以外的1n -个自然数进行错排，错排数为1n a -． 所以，自然数n 在第k 位上的错排数共有21n n a a --+种，由于k 可以是121n - ，，，共 1n -种可能，故n 个自然数的错排数为21(1)()(3)n n n a n a a n --=-+≥．① 由①式得，112[(1)]n n n n a a a n a ----=---，∴112 (1)[]!!!! n n n n a na a n a n n n n -----=--，
“用分析法解决问题”教学思考与设计(杨红)
“用分析法解决问题”教学思考与设计 景东县小杨红 教学思考 在解决问题时，根据题中的数量关系，从问题入手，找出解决这一问题所需的两个信息，就可求解。假若其中的一个信息（或两个信息）未直接告知，则要找出求解这一中间问题的两个信息，像这样逆推下去，直至求解某一中间问题所需的两个信息在题里都已知为止，这就是分析法解决问题的思路。 在思考本节课的教学设计时，我从如何让学生理清思路、开拓思维的角度进行思考，认为用分析法解决问题应体现以下三点： 1、用分析法解决问题时，要突出加、减、乘、除四种运算的意义。从问题出发去找解决问题所需的信息，必要信息之间是什么关系？加、减、乘、除都有可能，那么正确理解信息之间的关系，就成其为正确解决问题的一个关键，因此在用分析法解决问题时，要注意沟通信息之间的关系。比如在问学生如何求出“每个篮球多少元？”这一问题时，就要充分让学生表达出：“用2 个篮球多少钱”除以数量“2个篮球”求出“每个篮球多少钱”，通过表达，明确信息间“除”的关系。 2、用分析法解决问题，关键是能根据问题推想出或找出解决问题所需的最直接的信息。一方面要训练学生拓宽思路，对解决问题所需的信息进行合理猜想。另一方面要训练学生利用题目中所给的信息进行分析，找到哪些信息与问题是相关的，为什么？怎么求？并组织学生适时进行交流，找到规律。所以，在用分析法解决问题的练习中，教师可以设计一些变式练习进行训练，如：同一问题可以给出不同信息，让学生在对比中感知。 3、分析法与综合法结合使用。解决问题中，教师有意识地让学生结合两种方法进行训练，有利于培养学生“顺向”与“逆向”思维能力，同时学生在尝试使用两种方法中能自然而然地感悟到有的问题适合用分析法，有的问题适合用综合法，在对比中找到规律，并能自觉地优化解决问题的方法。 附：“用分析法解决问题”教学设计 教学目标 1、会利用分析法解决数学实际问题，正确表述分析思路。 2、经历用分析法分析问题的过程，训练思维的灵活性。 3、感受数学严密的逻辑美，增强学好数学的信心。 教学重点利用分析法解决数学实际问题，正确表述分析思路。 教学难点根据问题找信息，并能正确表述分析思路。 教学过程 一、导入 板书课题：用分析法解决问题 提问：关于“分析法”同学们已经知道些什么了？ （设计意图：直接导出课题后抛出问题，一是可以了解学生的原有基础，另外可以根据学生的回应给予学生肯定或鼓励，以此激发学生的求知欲。） 二、探究新知
解析法在几何中的应用 -
解析法在几何中的应用 姓名：周瑞勇 学号：201001071465 专业：物理学 指导教师：何巍巍
解析法在几何的应用 周瑞勇 大庆师范学院物理与电气信息工程学院 摘要：通过分析几何问题中的各要素之间的关系，用最简练的语言或形式化的符号来表达他们的关系，得出解决问题所需的表达式，然后设计程序求解问题的方法称为解析法。 关键词：几何问题，表达关系，表达式，求解问题 一前言 几何学的历史深远悠久，欧几里得总结前人的成果，所著的《几何原本》。一直是几何学的坚固基石，至今我国中学教学的几何课本仍未脱离他的衣钵。长期的教学实践证明，采用欧式体系学习几何是培养学生逻辑思维能力的行之有效的方法。 但是，事物都有两重性。实践同样证明，过多强调它的作为也是不适当的。初等几何的构思之难，使人们为此不知耗费了多少精力，往往为寻求一条神奇、奥秘的辅助线而冥思苦索。开辟新的途径，已是势在必行。近些年来，用解析法、向量法、复数法、三角法证明几何问题，受到越来越多的数学工作者的重视。 由于平面几何的内容，只研究直线和园的问题，所以我们完全可以用解析法来研究几何问题。解析法不仅具有几何的直观性，而且也还有证明方法的一般性。综合几何叙述较简，但构思困难，而解析法思路清晰，过程简捷，可以作为证明几何问题中一种辅助方法，两者课去唱补短，想得益彰。 二解析法概述 几何数学主要是从几何图形这个侧面去研究客观事物的，其基本元素是点，代数学则主要是从数量关系这个侧面来研究客观事物，其基本元素是数。笛卡尔综合了前人的成果，创立了坐标概念，把代数学和几何学结合起来，于是产生了以研究点的位置和一对有序实数的关系、方程和曲线以及有研究连续运动而产生
《递归算法与递归程序》教学设计
递归算法与递归程序 岳西中学：崔世义一、教学目标 1知识与技能 (1) ?认识递归现象。 (2) ?使用递归算法解决冋题往往能使算法的描述乘法而易于表达 (3) ?理解递归三要素：每次递归调用都要缩小规模；前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行。 (4) ?认识递归算法往往不是咼效的算法。 (5) ? 了解递归现象的规律。 (6) ?能够设计递归程序解决适用于递归解决的问题。 (7) ?能够根据算法写出递归程序。 (8) ? 了解生活中的递归现象，领悟递归现象的既有重复，又有变化的特点，并且从中学习解决问题的一种方法。 2、方法与过程 本节让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。然后让学生做练习(2) 和练习(3)这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。 3、情感态度和价值观 结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点，综合反映出递归算法的特点，以及递归算法解答某些实践问题通常得很简洁，从而激发学生对程序设计的追求和向往。 二、重点难点 1、教学重点 (1) 了解递归现象和递归算法的特点。 (2) 能够根据问题设计出恰当的递归程序。 2、教学难点 (1) 递归过程思路的建立。 (2) 判断冋题是否适于递归解法。 (3) 正确写出递归程序。 三、教学环境 1、教材处理 教材选自《浙江省普通高中信息技术选修：算法与程序设计》第五章，原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人，导出递归算法，从而自 定义了一个以递归方式解决的函数过程。然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。 教材经处理后，让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。然后让学生做练习⑵ 和练习
鱼骨头分析法分析及解决问题
运用5M因素法（鱼骨图）分析及解决问题的实际操作案例 背景：某民营房地产集团公司下属商贸分公司，在自有房产基础上经营有超市5家，经营业种以生鲜食品、传统食品、日用日化为主，总营业面积10000平方米；百货一家，主要经营业种为服装针织、皮具、皮鞋、化妆品，小吃，营业面积4500平方米；正在筹备中的购物中心18000平方米。 问题1：经过统计商贸公司2001年9月—2002年3月的销售，总体毛利率为不到8%，注意：此毛利率是在公司无低毛利的家电以及百货毛利率近20%的基础上产生的总体毛利率，相对于市场状况以及竞争对手来讲，此毛利率偏低，从中反映了占销售比重近80%的超市经营毛利不正常。 问题2：经过进一步的市场调查，针对超市每个业种安排如下数量的市调（按销售数量排名），得出以下数据比较： 注：甲连锁店为一国营零售企业，在本地有34家连锁店，拥有诸多食品、日化产品的代理批发权； 乙连锁店为一民营连锁零售企业，现有18家分店，拥有部分食品、日化产品的批发代理权； 丙为一家200平方米左右的便利店； 将市调数据经过进一步分析，发现价格问题----[b]我司进价比竞争对手售价高[/h]的情况如下（先忽略在正常供价基础上零售价格异常状况）：
感觉到问题的严重性，公司紧急召开了采购人员的专项会议，要求在规定时间内（一周）针对以上问题各采购主任做出解释并及时与供应商进行谈判，希望能得到实质性的解决。 一周过去了，供价问题依然没有得到明显的改善，高出比例依然居高不下。总结各采购主任的解释，主要如下： 1、甲、乙对手拥有诸多敏感商品的控制权，近水楼台先得月，人家有权利及有实力去进行降价； 2、公司政策对于供应商的通道利润要求过高，厂商在无奈情况下，只有提高供价，保持其基本利润，如果要求供应商降价，只有舍弃部分通道利润才可行； 3、公司要求的经营方式过于呆板，竞争对手部分商品是从批发市场上进行铲货来冲击市场，而公司没有此先例，都是以正常方式进行经营； 4、公司的付款方式问题：由于现金进货与押款进货的供价有区别，但是公司最低的付款要求为7天付款，因此在价格上没有办法降低； 5、竞争对手的恶意竞争行为：牺牲利润，亏本赚吆喝； 6、人手不够，杂事多，没有办法集中时间与精力与供应商谈判。 针对以上解释，公司明确回复：如果在有把握的情况下，以上由于公司自身原因造成的供价高的问题，可以放宽尺度与供应商进行交涉。 但是，一周时间过去了，问题仍然没有得到改善。
中考复习数学思想方法之二：割补法“补形”在初中几何问题中的应用
中考复习数学思想方法之一：割补法“补形”在初中几何问题中的应用 平面几何中的“补形”就是根据题设条件，通过添加辅助线，将原题中的图形补成某种熟悉的，较规则的，或者较为简单的几何基本图形，使原题转化为新的易解的问题．从“补形”的角度思考问题，常能得到巧妙的辅助线，而使解题方向明朗化，所以，补形是添加辅助线的重要方法．下面举例加以说明，供参考． 例1 如图1，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于． 解析题中六边形是不规则的图形，现将它补形为较规则的正三角形，分别向两方延长AB、CD、EF相交于G、H、I (如图2)． ∵六边形ABCDEF的六个内角都相等， ∴六边形的各角为120°， ∴△AFI、△BCG、△DEH均是正三角形，从而△GHI为正三角形，则有 GC=BC=3，DH=EH=DE=2， IF=AF, IH=GH=GC+CD+DH =3+3+2=8， ∴IE=IH－EH=8－2=6． ∴六边形的周长等于： AB+BC+CD+DE+EF+F A =AB+BC+CD+DE+IE =1+3+3+2+6=15． 注：本题亦可补成平行四边形求解，如图3． 例2 如图4，在Rt△ABC中，AC=BC，AD是∠A的平分线，过点B作AD的垂线交AD的延长线于点E，求证：AD=2BE． 解析从等腰三角形的性质得到启示：顶角平分线垂直底边且平分底边．结合AE平分∠CAB，B E⊥AE，启发我们补全一个等腰三角形．所以延长BE交AC的延长线于点F(如
图5)，易证△ABF 为等腰三角形，∴ BF =2BE ，再证△ACD ≌△BCF ，全等的条件显然满足，故结论成立． 例3 某片绿地的形状如图6所示，其中∠A =60°，A B ⊥BC ，C D ⊥AD ，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长． 解析 由题设∠A=60°，A B ⊥BC ，可将四边形补成图7所示的直角三角形． 易得∠E =30°，AE =400，CE =200，然后再由勾股定理或三角函数求出BE ， DE 由此得到AD =400－200。 例4 如图8，在平面直角坐标系中直线y =x －2与y 轴相交于点A ，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点B (m ，2)． (1) 求反比例函数的关系式； (2) 将直线y =x －2向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18，求平移后的直线的函数关系式． 解析 (1) 所求解析式为y =8 x ； (2) 本题方法不一，下面着重对此题进行分析解答．
人教版三年级下册数学 第十三模块 用分析法和画线段图的策略解决问题
第十三模块用分析法和画线段图的策略解决问 题 【教法剖析】 分析法:是由未知看需知,从问题入手,寻找解决问题所需的条件,即求出这个问题需要什么条件,如果需要的条件是未知的,则把它作为中间问题,再找出解答它所需要的条件。 画线段图法:是用线段图整理已知条件和问题,通过线段图分析数量关系,寻找解决问题的有效方法。 例1 水果店运来5筐苹果,卖了180千克,还剩120千克,平均每筐苹果重多少千克? 【助教解读】 可以根据条件画出线段图。 (180+120)÷5=60(千克) 答:平均每筐苹果重60千克。 【经验总结】 根据题意要求出1份数,先求出总数量是关键。 例2 欣欣收集了15枚邮票,天天收集的邮票枚数是欣欣的2倍。你能 画出天天收集的邮票枚数的线段图吗?欣欣和天天一共收集了多少枚邮 票?
【助教解读】 由于天天收集的邮票枚数是欣欣的2倍,因此只要画2份,即2个15枚就可以了。先算出天天收集邮票的枚数,再求两人一共收集了多少枚邮票。也可以把欣欣收集邮票的枚数看成1份,先求两人一共的份数,再求两人一共收集了多少枚邮票。 解: 方法一:15×2=30(枚) 30+15=45(枚) 方法二:1+2=3 15×3=45(枚) 答:欣欣和天天一共收集了45枚邮票。 【经验总结】 利用线段图分析数量关系,有助于分析问题、理解问题,从而使我们找到解决问题的方法。 【基础题】 1.小树苗每年长高25厘米,从2015年到2020年一共长高多少厘米?
2.每本《数学趣题》8.5元,《小百科》5.9元,小明拿了15元钱去买这两本书够吗? 3.学校买来2000本练习本,分给16个班,每班120本,还剩多少本? 4.小明3分钟练了18个大字,要练126个大字,需要多少分钟? 【能力题】 5.动物园有黑天鹅24只,白天鹅只数是黑天鹅的3倍,黑天鹅和白天鹅一共多少只?黑天鹅比白天鹅少多少只?
平面几何证明题的一般思路及方法简述
平面几何证明题的一般思路及方法简述 【摘要】惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。 【关键词】平面几何证明题思路方法 平面几何难学,是很多初中生在学习中的共识,这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确,哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。”由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。 一、直接式思路 证题时,首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺,在证题时运用的方法主要有“分析法”和“综合法”。 1.分析法。分析法是从命题的结论入手,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样一步一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中,则由于题设条件的不同,或已知条件之间关系的隐含程度不同等,寻求追溯的形式会有一定差异,因而常把分析法分为以下四种类型。 (1)选择型分析法。选择型分析法解题,首先要从题目要求解的结论A出发,逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件,然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某一题设条件。 (2)可逆型分析法。如果再从结论向已知条件追溯的过程中,每一步都是推求的充分必要条件,那么这种分析法又叫可逆型分析法,因而,可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形。用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明,反之用选择型分析法证明的命题,用可逆型分析不一定能证明。 (3)构造型分析法。如果在从结论向已知条件追溯的过程中,在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处,需采取相应的构造型措施:如构造一些条件,作某些辅助图等,进行探讨、推导,才能追溯到原命题的已知条件的分析法叫做构造型分析法。 (4)设想型分析法。在向已知条件追溯的过程中,借助于有根据的设想、假定,形成“言之成理”的新构思,再进行“持之有据”的验证,逐步地找出正确途径的分析法称为设想型分析法。 2.综合法。综合法则是由命题的题设条件入手,由因导果,通过一系列的正确推理,逐步靠近目标,最终获得结论。再从已知条件着手,根据已知的定义、公式、定理,逐步推导出结论。在这一过程中,由于思考角度不同,立足点不同,综合法常分为四种类型: (1)分析型综合法。我们把分析法解题的叙述倒过来,稍加整理而得到的解法称为分析型综合法。 (2)奠基型综合法。当由已知条件着手较难,或没有熟悉的模式可供归纳推导,就可转而寻找简单的模式,然后再将一般情形化归到这个简单的模式中来,这样的综合法称为奠基型综合法。 (3)媒介型综合法。当问题给出的已知条件较少,且看不出与所求结论的直接联系时,或条
三角法与向量法解平面几何题(正)
第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900 -B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13 5，sinB =53 ，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．65566516或 D ． 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，
第56讲 解析法证几何题教学内容
第56讲解析法证 几何题
第56讲解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A类例题 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
斜边AB及直角边BC为边向三角形两 侧作正方形ABDE、CBFG． 求证：DC⊥FA． 分析只要证k CD·k AF＝－1，故只要求点D的坐标． 证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标 系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| ＝a2＋b2， a2＋b2 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a，而k AF·k CD＝－1．所以 DC⊥FA． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：x b＋ y h＝1 AC：x c＋ y a＝1 x
用解析法解决问题
用解析法解决问题 一、教材分析 本节课是“用解析法解决问题”，是第3章第1节内容，我们都知道算法是程序设计的灵魂，在掌握程序设计的基本知识后。本章侧重于运用算法解决实际问题，设计合理的算法并编程实现。在学习的过程中，还需要进一步理解程序设计的基本知识，能够做到独立编程，解决比较复杂的问题。本节主要阐述解析法，该方法应用广泛，与数学里面的解析式相联系，结合教学要求和教材事例，本课从数学角度入口，引发学生思维迁移，解决实际问题。 二、学情分析 本节课的教学对象为高二的学生，通过前两章的学习，他们已经对VB程序设计已经有了一定的认知，并且刚学完程序的三大基本结构。况且在数学、物理课上经常接触到用解析法解决一些问题，但没有用编写程序来实现过。基于此，学生的学习兴趣还是比较高的，他们想通过编程来进一步了解计算机解决问题的过程。学生间有差异，少数学生悟性较高，想学习更多程序设计方面的知识；少数学生面对稍难的问题时力不从心；个别学生没兴趣学习。因此，教学中要关注全体学生，变学生的个体差异为资源，发挥同伴互助作用，共同提高课堂效率。 三、教学目标 普通高中信息技术新课程标准在本模块旨在使学生体验算法思想，能从简单问题出发，设计解决问题的算法，并初步使用编程实现算法。提高学生的信息技术素养和信息技术操作能力。现代教育观明确指出：教师是主导，学生是主体，教师要引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，力求让每一位学生都动脑，动手，引导学生积极思考，主动发现新知识，培养学生的创新精神和实践能力。根据本节课教学内容以及学生的特点，结合学生现有知识水平，确定本节课教学目标如下： 1、知识目标:： 1）了解解析法，学会用解析法分析问题、解决问题 2）学会编写程序实现解析法 2、能力目标： 培养学生分析、比较、迁移等能力，培养学生类比迁移思维，探索性、创造性思维 3、情感目标： 培养学生积极主动的学习态度，团结合作、勇于质疑、探索和不断创新的精神 四、重点难点 重点：学会用解析法编写程序解决实际问题 难点：用解析法分析问题，抽取出一个数学模型，这个数学模型能用若干个解析表达式表示出来。 五、教学策略
高考数学用补形法解立体几何题
高考数学用补形法解立体几何题 1. 正四面体补为正方体 例1. 求棱长为1的正四面体的体积。 图1 分析：常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求，但要首先求出此三棱锥的高，求高比较繁琐。如果将正四面体ABCD补形为正方 体（如图1），那么此正方体的棱长为，因此，求正四面体的体 积便有了新的求解思路： 例2. 如图2，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长都相等，如果E、F、G分别是SC、AB、AC的中点，那么异面直线EF与BG所成角 的余弦值等于__________。图2
分析：常规的思路是“平移法”，取GA的中点H，连结EH、FH，则∠EFH即为所求，但解△EFH的运算量较大。联想到正四面体可补形为正方体（如图3），相当于求与BG所成角的余弦值。在此正方体的左边补上一个大小相同的正方体，构成一个长方体（如图4），则相当于求长方体对角线BD与侧棱所成角的余弦值。 设正方体边长为1，则长方体对角线BD的长为。在中， 2. 三条侧棱两两垂直的三棱锥或对棱相等的三棱锥或一条侧棱垂直于底面的三棱锥都可以考虑补形为长方体 例3. 如图5，是直二面角， ，，那么AB与面β所成的角等于（） 图5 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
分析：由α⊥β，BD⊥CD，得BD⊥α同理得：AC⊥β因此，AC ⊥CD，BD⊥CD，AC⊥BD不妨把三棱锥A-BCD补形为长方体（如图5），易得∠ABC为所求的角。在Rt△ABC中，，选D。例4. 如图6，四面体P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，O为面ABC 上一点，且O到平面PAB、平面PAC、平面PBC的距离分别为2，3，4，求OP的长度。 分析：可补一个“小”长方体（如图6），由此可得“小”长方体的长、宽、高分别为2，3，4，求OP长可转化为求该“小”长方体的对角线长，得： 3. 一般三棱锥（三棱柱）可补形为三棱柱（平行六面体） 例5. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA、BC的公垂线段DE＝h，求证三棱锥的体积是。分析：以ABC为底面，PA为侧棱补形为一个三棱柱ABC－，进一步补形为平行六面体ABCD－（如图7），那么
利用递归解决实际问题
数据结构上机实验报告题目：用递归方法解决问题 学生姓名 学生学号 学院名称计算机学院 专业计算机科学与技术 时间
目录 第一章需求分析 (1) 1.1 原题表述 (1) 1.2 问题解决方案 (1) 第二章概要设计 (2) 2.1 主要算法描述 (2) 2.2 主要算法分析 (2) 第三章详细设计 (3) 3.1 程序代码 (3) 第四章调试分析 (4) 4.1 出现的问题及解决方法 (4) 第五章测试分析 (5) 5.1 测试样例 (5)
第一章需求分析 1.1 原题表述 日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。结果大家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？请设计递归算法解决该问题。 1.2 问题解决方案 由于最后每个人分得的橘子一样多，所以最后每个人手里的橘子有2520/6 = 420个。因为每个人在拿到上一个人给的以后又分了一部分给下一个（老大不同，老大是最后得到的。根据题目关系，可以算出老大开始有橘子240个。）根据每个人得到与给出橘子的关系，可以用递归算法解决问题。
2.1 主要算法描述 解决此问题主要使用递归运算。 由题目可以看出原来手中的加上得到的满足关系式： StartNum = 420 * (n -2)/(n - 1) 分给下一个人的橘子数： GiveNum = AfterGetNum / n; 下一个人的橘子数： nextStartNum = 420*(n-1)/(n-2) - GiveNum; 下一个人加上之前得到的橘子的总数： afterGetNum = nextStartNum + GiveNum; 以此使用递归算法可以算出各个孩子原来手中的橘子数。 2.2 主要算法分析 此递归算法的时间复杂度为O（n）
用解析法设计程序教案
用解析法设计程序教案 徐水县第一中学技术组孙伟强 一、教材分析 本节课是“用解析法解决问题”，是第3章第1节内容，本章侧重于运用算法解决实际问题，设计合理的算法并编程实现。本节主要阐述解析法，解析法是日常生活中解决问题用的较多的一种很普通的方法，所以学生对这个词并不会感到陌生。只要稍作引导便能理解，只是代码的编写与理解要分析到位透彻。解析法应用广泛，与数学学科的代数解析式相联系，结合教学要求和教材事例，本课从数学角度入口，引发学生思维迁移，解决实际问题。 二、学情分析 本节课内容的教学对象为高二的学生，由于他们在数学、物理等课上经常接触到解析法解决一些问题，但没有用计算编写程序来实现过。而且他们已经对VB程序设计已经有了一定的认知，并且刚学习了程序的三大基本结构。 三、教学目标 1、知识、技能目标 （1）了解解析法，学会用解析法分析问题、解决问题。 （2）学会编写程序实现解析法。 2、过程、方法目标 通过解决问题学习解析法、上机实习检验编码的正确性来培养学生分析、比较、迁移等能力，培养学生类比迁移思维，探索性、创造性思维。 3、情感态度与价值观目标 培养学生积极主动的学习态度，团结合作、勇于质疑、探索和不断创新的精神。 四、教学重点、难点 1、教学重点：会编写程序实现解析法。 2、教学难点：如何用解析法分析解决具体问题。 五、教学环境和方法 1、教学环境：多媒体微机室。 2、教学方法：探究法、实习法。 六、教学过程 教学 环节 教师活动学生活动设计意图 创设情境导入新课1、让学生看已经截取好的电影片段(10秒钟)，主要是显示 钻石的光芒和立体的效果。 2、问学生真实的钻石会不会这样像手电筒一样发光吗？ 3、告诉学生这是电脑制作的结果! 学生感到惊奇很高 兴，但他们回答： 钻石不会这样发 光，那这是怎么回 事？多数学生会 怀疑地问：怎么模 拟的？ 激发学生学 习兴趣，让 其产生好奇 心和求知欲
解析法教学文档
解析法 一、 方法介绍 解析法是把几何问题转化为代数问题来处理的更一般方法，用解析法解平面几何题时，要特别注意选择适当的坐标系，同时还要灵活利用几何图形的性质及代数、三角知识的综合运用。 二、 例题精讲 例1、 如图，O 是正方形ABCD 内的一点，且?=∠=∠15OCB OBC ，求证：OAD ?是等边三角形。 例2、在锐角三角形ABC ?中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交与点H ，以DE 为直径的圆分别交 AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交与点 已知25=BC ，20=DB ，7=BE ，求AK A B B C A D
例3、 知直线l 与⊙O 相离，l OP ⊥于点P ，Q 是l 上异于P 的一点，QB QA ,分别 切⊙O 于B A ,。直线AB 交OP 于点K 。BQ PN ⊥于点N ，AQ PM ⊥于点M 。求证：MN 平分线段PK 。 练习 1、 设M 、N 分别是ABC ?的边AC 、BC 上的点，且?=∠90ACB 。设AN 与BM 交 于点L 。证明：AML ?、BNL ?的垂心与点C 三点共线。 l C B A N M
2、 一张纸上画有半径为R 的⊙O 和圆内一定点A ，且a OA =，折叠纸片，使圆周上某点 A '刚好与点A 重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线的点的集合。 3以ABC ?的边BC 为直径作半圆，与AC AB ，分别交于点D 和E ，过D 、E 作BC 的垂线，垂足分别为G F ，，线段DG 、EF 交于点M 。求证：BC AM ⊥。 4如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：∠GAC =∠EAC . G F C B A C B
巧用旋转法解几何题
巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。 例1．如图,在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，E ，F 分别AC 和BC 上，且DE ⊥DF ， 求证：EF 2 =AE 2 +BF 2 分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF ，AE ，BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以D 为旋转中心，将BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长FD 到G ，使DG=DF ，连接AG ，EG ∵AD=DB ，∠ADG=∠BDF ∴⊿ADG ≌⊿BDF （SAS ） ∴∠DAG=∠DBF ，BF=AG ∴AG ∥BC ∵∠C=90°∴∠EAG=90° ∴EG 2 =AE 2 +AG 2 =AE 2 +BF 2 ∵DE ⊥DF ∴EG=EF ∴EF 2 =AE 2 +BF 2 例2，如图2，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是⊿ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点C 为旋转中心。 解：作MC ⊥CP ，使MC=CP ，连接PM ，BM G F E D C B A