高考数学 压轴大题突破练 三角函数

中档大题规范练

中档大题规范练——三角函数

1．已知函数f(x)＝(sin x －cos x )sin 2x sin x

. (1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间．

解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z)，

故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．

因为f(x)＝(sin x －cos x )sin 2x sin x

＝2cos x(sin x －cos x)

＝sin 2x －2cos2x

＝sin 2x －(1＋cos 2x) ＝2sin ???

?2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.

(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为

?

???2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)． 由2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k ∈Z)，

得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k ∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为

????kπ－π8，kπ和?

???kπ，kπ＋3π8(k ∈Z)． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f(x)＝23sin2x ＋2sin xcos x －3在x ＝A 处取得最大值．

(1)求f(x)的值域及周期；

(2)求△ABC 的面积．

解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，

所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，

所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.

因为f(x)＝23sin2x ＋2sin xcos x － 3

＝3(2sin2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x

＝2sin ???

?2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.

又因为sin ????2x －π3∈[－1,1]，

所以f(x)的值域为[－2,2]．

(2)因为f(x)在x ＝A 处取得最大值，

所以sin ????2A －π3＝1.

因为0

故当2A －π3＝π2时，f(x)取到最大值，

所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝

c

sin π4

?c ＝ 2.

又因为sin A ＝sin ????π4＋π

6＝2＋6

4， 所以S △ABC ＝12bcsin A ＝3＋34.

3．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a.

(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；

(2)当x ∈[0，π

4]时，函数f(x)有最大值4，求实数a 的值．

解 f(x)＝3sin 2x ＋2cos2x ＋a

＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a

＝2sin(2x ＋π

6)＋a ＋1.

(1)函数f(x)的最小正周期为2π2＝π， 由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π

2，k ∈Z ， 解得kπ－π3≤x≤kπ＋π

6，k ∈Z.

故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π

6](k ∈Z)．

(2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，

从而sin(2x ＋π6)∈[1

2，1]．

∴f(x)＝2sin(2x ＋π

6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]，

∵f(x)有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.

4．设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈[0，π

2]．

(1)若|a|＝|b|，求x 的值；

(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．

解 (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x ，

|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，

由|a|＝|b|，得4sin2x ＝1.

又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，

所以x ＝π6.

(2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1

2

＝sin(2x －π6)＋1

2.

当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π

6)取最大值1，

所以f(x)的最大值为3

2.

5．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx －π

6)＋1(ω>0)的最小正周期是π.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)求f(x)在[π8，3π

8]上的最大值和最小值．

解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx －π

6)＋1 ＝23sin ωxcos ωx －2cos2ωx ＋1

＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π

6)． 最小正周期是2π

2ω＝π，所以ω＝1，

从而f(x)＝2sin(2x －π

6)． 令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π

2＋2kπ，k ∈Z. 解得－π6＋kπ≤x≤π

3＋kπ，k ∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋kπ，π

3＋kπ](k ∈Z)．

(2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π

12]，

f(x)＝2sin(2x －π6)∈[6－2

2，2]，

所以f(x)在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－2

2.

6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．

解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，

所以∠ACB ＝30°.

由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.

在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，

由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°

sin (90°＋θ)，

解得cos θ＝3－1. 因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.

中档大题规范练——数列

1．已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足：a2a4＝64，a1＋a5＝18.

(1)若1

(2)设bn ＝n (2n ＋1)Sn

，是否存在一个最小的常数m 使得b1＋b2＋…＋bn

解 (1)数列{an}为等差数列，因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，

又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x ＋65＝0的两个根，

又公差d>0，所以a2

所以????? a1＋d ＝5，a1＋3d ＝13，①

所以a1＝1，d ＝4.所以an ＝4n －3.

由1

所以a1a21＝a2i ，

即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.

(2)由(1)知，Sn ＝n×1＋n (n －1)2×4＝2n2－n ，

所以bn ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1

2n ＋1)，②

所以b1＋b2＋…＋bn

＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－1

2n ＋1)

＝n

2n ＋1，

因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③

所以存在m ＝12使b1＋b2＋…＋bn

2．设Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1≠0,2an －a1＝S1·Sn ，n ∈N*.

(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n 项和．

解 (1)令n ＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.

因为a1≠0，所以a1＝1.

令n ＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.

当n≥2时，由2an －1＝Sn,2an －1－1＝Sn －1，

两式相减得2an －2an －1＝an ，即an ＝2an －1.

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．

因此，an ＝2n －1.

所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1.

(2)由(1)知，nan ＝n·2n －1.

记数列{n·2n －1}的前n 项和为Bn ，于是

Bn ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n －1，①

2Bn ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②

①－②，得

－Bn ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝2n －1－n·2n.

从而Bn ＝1＋(n －1)·2n.

即数列{nan}的前n 项和为1＋(n －1)·2n.

3．设数列{an}的前n 项和为Sn ，满足2Sn ＝an ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N*，且a1＝1，设数列{bn}满足bn ＝an ＋2n.

(1)求证数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

(2)若数列cn ＝6n －3bn ，Tn 是数列{cn}的前n 项和，证明：Tn<3.

(1)解 当n≥2时，由????? 2Sn ＝an ＋1－2n ＋1＋1，2Sn －1＝an －2n ＋1

?2an ＝an ＋1－an －2n

?an ＋1＝3an ＋2n ，

从而bn ＋1＝an ＋1＋2n ＋1＝3(an ＋2n)＝3bn ，

故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，

bn ＝an ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，

an ＝3n －2n(n≥2)，

因为a1＝1也满足，于是an ＝3n －2n.

(2)证明 cn ＝6n －3bn ＝2n －1

3n －1，

则Tn ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －1

3n －1，①

13Tn ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，②

①－②，得23Tn ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n

＝1＋23·1－1

3n －11－13

－2n －13n

＝2－13n －1－2n －13n

＝2－2(n ＋1)3n ，

故Tn ＝3－n ＋1

3n －1<3.

4．已知单调递增数列{an}的前n 项和为Sn ，满足Sn ＝12(a2n ＋n)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设cn ＝?????

1

a2n ＋1－1，n 为奇数，3×2an －1＋1，n 为偶数，求数列{cn}的前n 项和Tn.

解 (1)n ＝1时，a1＝12(a21＋1)，得a1＝1，

由Sn ＝12(a2n ＋n)，①

则当n≥2时，Sn －1＝12(a2n －1＋n －1)，②

①－②得an ＝Sn －Sn －1＝12(a2n －a2n －1＋1)，

化简得(an －1)2－a2n －1＝0，

an －an －1＝1或an ＋an －1＝1(n≥2)，

又{an}是单调递增数列，故an －an －1＝1，

所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an ＝n.

(2)cn ＝????? 1

a2n ＋1－1，n 为奇数，

3×2an －1＋1，n 为偶数，

当n 为偶数时，

Tn ＝(c1＋c3＋…＋cn －1)＋(c2＋c4＋…＋cn)

＝(1

22－1＋1

42－1＋…＋1

n2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2

＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2

＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2

＝2n ＋1＋n2－2n －4

2(n ＋1).

当n 为奇数时，

Tn ＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn －1)

＝[1

22－1＋1

42－1＋…＋1

(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12

＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12

＝2n ＋n2－2n －9

2(n ＋2).

所以Tn ＝?????

2n ＋n2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，

2n ＋1＋n2－2n －4

2(n ＋1)(n 为偶数).

5．已知函数f(x)＝2x ＋33x ，数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝f(1an )，n ∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn ＝1an －1an

(n≥2)，b1＝3，Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ，若Sn

解 (1)∵an ＋1＝f(1an )＝2an ＋33an

＝2＋3an 3＝an ＋23，

∴{an}是以1为首项，23为公差的等差数列．

∴an ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.

(2)当n≥2时，bn ＝1an －1an ＝1(23n －13)(23n ＋13)

＝1(2n －1)(2n ＋1)9

＝92(12n －1－12n ＋1

)， 又b1＝3＝92(1－13)，

∴Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1

， ∵Sn

对一切n ∈N*恒成立， 即

9n 2n ＋1

<92，∴m －2 0142≥92， 即m≥2 023.

∴最小正整数m 为2 023.

6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

(1)设第n 年该生产线的维护费用为an ，求an 的表达式；

(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

解 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，

所以an ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.

当n≥8时，

数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，

公比为1＋25%＝54的等比数列，

则此时an ＝16×???

?54n －7，

所以an ＝?????

2n ＋2，n ≤7，16×????54n －7，n≥8.

(2)设Sn 为数列{an}的前n 项和， 当1≤n≤7时，Sn ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n2＋3n ，

当n≥8时，由S7＝72＋3×7＝70，

则Sn ＝70＋16×54×1－????54n －7

1－54

＝80×???

?54n －7－10，

∴该生产线前n 年的每年平均维护费用为 Sn n ＝??? n ＋3，1≤n≤7，

80×????54n －7－10n ，n≥8.

当1≤n≤7时，??????

Sn n 为递增数列，

当n≥8时，

∵Sn ＋1n ＋1－Sn n ＝80×????54n －6－10n ＋1－80×???

?54n －7－10n ＝80×????54n －7·????n 4－1＋10

n (n ＋1)>0，

∴Sn ＋1

n ＋1>Sn n .

∴??????

Sn n 也为递增数列．

又∵S77＝10<12，S88＝80×54－108＝11.25<12， S99＝80×???

?542－109≈12.78>12，

则第9年年初需更新生产线．