新人教版2019高一数学必修第一册期中模拟检测卷(一)(解析版)

期中模拟检测卷（一）

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．（2020·山东淄博第五中学高一期中）设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ?，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥

【答案】D

【解析】∵A B ?，∴2a ≥．故选D ．

2．（2020·河北省唐山一中高二期中）命题“*,x R n N ?∈?∈，使得2n x ≥”的否定形式是（ ） A ．*,x R n N ?∈?∈，使得2n x < B ．*,x R n N ?∈?∈，使得2n x < C ．*,x R n N ?∈?∈，使得2n x < D ．*,x R n N ?∈?∈，使得2n x < 【答案】D

【解析】?的否定是?，?的否定是?，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．

3．（2020·平遥县综合职业技术学校高三期中）函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．2m =- B ．2m =

C ．1m =-

D ．1m =

【答案】A

【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的对称轴为x ＝－2

m

, 于是－

2

m

＝1 可得m ＝－2，故选A. 4．（2020·安徽省池州一中高二期中（文））函数()

f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范

围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．[]0,4 D ．(]0,4

【答案】B

【解析】由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时10>恒成立；当0m ≠时需满足0

0m >???

，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4

5．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）函数()21,1

1,1x x x f x x x

?-+

=?>??的值域为（ ）

A ．3,4??+∞????

B ．()0,1

C ．3,14??????

D ．()0,∞+

【答案】D

【解析】当1x <时,2213()1()24f x x x x =-+=-+

,故3(),,(1)4f x x ??

∈+∞

. 当1x >时,1()(0,1)f x x =∈,故()21,1

1,1

x x x f x x x

?-+

=?>??的值域为()0,∞+.故选：D.

6．（2020·舒兰市实验中学校高二期中（文））我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2

3()1x

f x x

=

-的图象大致是（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】C

【解析】当10x -<<时，()0f x <，选项A 错误； 令()0,0f x x ==，选项B 错误；

2

3()(),()1x

f x f x f x x --=

=--为奇函数， 图像关于原点对称，当

3

01,()0,(),1x f x f x x x

<<>=

- 由1

,(0,1)y x x x

=

-∈单调递减，且0y >， 所以()0,(0,1)f x x >∈是增函数， 同理当(1,),()0,x f x ∈+∞<且是增函数， 所以选项C 正确；

当(1,),()0x f x ∈+∞<，选项D 不正确. 故选:C.

7．（2020·吉林省前郭尔罗斯县第五中学高一期中）当时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的

取值范围是（ ） A ．(,4]-∞- B ．(,5)-∞-

C ．(,5]-∞-

D ．(5,4)--

【答案】A 【解析】∵

时，不等式240x mx ++<恒成立， ∴1404240m m ++≤??++≤?

，解得4m ≤-．故选A ．

8．（2020·广东省广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数

()1,0,R x Q f x x C Q

∈?=?∈?被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是( )

下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};

④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】 D

【解析】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11f

f x f ==；当R

x C Q ∈时，()0f x =，则

()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.

②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.

③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确.

④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当 R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.

⑤取1230,x x x ===

，(),0,0,1,,0A B C ??

?

- ?? ??????

形，故正确. 故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（2020·江苏省高二期中）下列说法正确的有（ ）

A ．命题“x R ?∈，210x x ++>”的否定为“x R ?∈，210x x ++≤”.

B ．对于命题p ：“1x ?≤，2320x x -+≥”，则p ?为“1x ?>，2320x x -+<”.

C ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.

D ．“2m <”是“1sin sin x m x +>对0,2x π??

∈ ???

成立”的充分不必要条件. 【答案】ACD

【解析】对A ，命题x R ?∈，210x x ++>的否定为x R ?∈，210x x ++，满足命题的否定形式，故A 正确；

对B ，命题:1p x ?，2320x x -+，则p ?为：

1x ?，2320x x -+<，不是：1x ?>，2320x x -+<，

所以不满足命题的否定形式，故B 错误；

对C ，a b <推不出22ac bc <，反之成立，所以a b <是22ac bc <的必要不充分条件，故C 正确； 对D ，2m <可得1sin sin x m x +

>对(0,)2x π∈成立，反之1sin sin x m x +>对(0,)2

x π

∈恒成立，可得

2m ；所以2m <是1sin sin x m x +

>对(0,)2

x π

∈恒成立的充分不必要条件，故D 正确；故选：ACD ． 10．（2020·海南省高三其他）对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为（ ） A ．若a ＞b ，则1

1a b

＜ B ．若a ＞b ，则ac 2≥bc 2 C ．若a ＞0＞b ，则a 2＜﹣ab D ．若c ＞a ＞b ＞0，则a b c a c b

--＞ 【答案】BD

【解析】A ．根据a ＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则11a

b

＜不成立，故A 错误； B ．∵a ＞b ，∴由不等式的基本性质知ac 2≥bc 2成立，故B 正确； C ．由a ＞0＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则a 2＜﹣ab 不成立，故C 错误；

D ．∵c ＞a ＞b ＞0，∴（a ﹣b ）c ＞0，∴ac ﹣ab ＞bc ﹣ab ，即a （c ﹣b ）＞b （c ﹣a ）， ∵c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，∴

a b c a c b

--＞，故D 正确．故选：BD ． 11．（原创题）（多选）设集合{}

1,A x x a x =-<∈R ，{}

15,B x x x =<<∈R ，则下列选项中，满足

A B =?的实数a 的取值范围的有（ ）

A ．[]0,6

B ．(][

),24,-∞?+∞ C ．(][),06,-∞?+∞ D ．[)8,+∞

【答案】CD

【解析】由题得{}11A x a x a =-<<+，{}

15,B x x x =<<∈R ， 又因为A

B =?，

所以11a +≤或15a -≥， 即0a ≤或6a ≥.

故满足题意的有选项C ，D.故选：C,D.

12．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）已知函数()f x x α

=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）

A ．函数为增函数

B ．函数为偶函数

C ．若1x >，则()1f x >

D ．若120x x <<，则

()()

12122

2f x f x x x f ++??

< ???

.

【答案】ACD

【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α

=得：2=4α，则1=

2

α. 所以1

2()f x x =，

显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.

()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.

当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确. 当若120x x <<时，

()()

122212(

)(

)2

2f x f x x x f ++-=22-.

12

2x x +-.

=0<.

即

()()

12122

2f x f x x x f ++??

< ???

成立，所以D 正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·江苏省如皋中学高三二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M

N ，则实数m 的值是________.

【答案】0

【解析】因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+22

2m m m =??=?

，解得0m =，

故答案为：0.

14．（2020·潍坊一中高三模拟）已知*,a b ∈N ，()()()f a b f a f b +=?，(1)2f =，则

(2)(3)

(2017)(2018)

(1)(2)

(2016)(2017)

f f f f f f f f +++

+=________.

【答案】4034

【解析】∵()()()f a b f a f b +=?，(1)2f =， 令a n =，1b =∴(1)()(1)()2f n f n f f n +=?=?，∴(1)

2()

f n f n +=.

∴原式222220174034=+++=?=.

故答案为：4034

15．（2020·河北南宫中学高一开学考试）已知不等式210ax bx -->的解集是11|23x x ??

-

<<-????

,则不等式20x bx a --≥的解集是________.

【答案】{|23}x x x ≤≥或

【解析】

不等式210ax bx -->的解集是11|23x x ?

?-

<<-????

∴ 11

,23

--是方程210ax bx --=的两个根,且0a <,

根据韦达定理可得:

∴ 1123111

23b a

a ???-+-= ?????

?-???-?-= ????? 解得:65a b =-??=?

∴ 不等式:20x bx a --≥为2560x x -+≥

故不等式20x bx a --≥的解集:{|23}x x x ≤≥或. 故答案为: {|23}x x x ≤≥或. 四、双空题

16．（2020·浙江省高一期中）定义{},min ,,a a b a b b a b

≥?，设函数{}2

()min 25,3f x x x x =-+++，则

(1)f =_____________；()f x 的最大值为_____________.

【答案】4 5

【解析】函数{

}

2

()min 25,3f x x x x =-+++表示225,3y x x y x =-++=+取小 画出2

25,3y x x y x =-++=+在同一坐标系的图像如图所示：

联立2

25,3y x x y x =-++=+得()()1,2,2,5,A B -

则()f x 的最大值为5，()14f = 故答案为4；5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2020·陕西省高新一中高一月考）已知集合U =R ，{|12}A x x =-≤<，{|03}B x x =<<，

{|13}C x m x m =<≤-.

（1）求A

B ，A B ，()()U U A B ?；

（2）若()C A C ?，求m 的取值集合.

【解析】 (1)因为{|12}A x x =-≤<,{|03}B x x =<<, 故{}|02A B x x ?=<<,{}|13A B x x ?=-≤<. 又{|12}U

A x x x =<-≥或,{|03}U

B x x x =≤≥或,

故

(

)(){|13}U

U A B x x x ?=<-≥或 （5分）

(2)因为()C A

C ?,故C A ?.

①当C =?时,1

134

m m m ≥-?≥

满足条件. （7分） ②当C ≠?时,132

1

13m m m m

-≤??

≥-??<-?

,解得1134m -≤<. 综上,1,3m ??∈-+∞????

（10分） 18．（12分）（2020·江苏省高二期中）已知{}

2

|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤

（1）若“?x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；

（2）是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】{}()(){}{

}

2

|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，

{}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+ （4分）

（1）若“?x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素， 假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-， 解得12m >或4m <-，

则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤. （6分） （2）存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 则B

A ，所以22

210m m -≥-??

+≤?

，解得08m ≤≤， 所以m 的取值范围为08m ≤≤. （12分） 19．（12分）（2020·北京四中高二期中）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）3

3

3

()()()24a b b c c a +++≥++．

【解析】（1）

1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ??

∴

++=++?=++ ???

()()()()

2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++

当且仅当a b c ==时取等号

(

)

22211122a b c a b c ??

∴++≥++ ???

，即：222111a b c a b c ++++≥ （6分）

（2）

()()()

()()()333

3a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号

又a b +≥，b c +≥a c +≥（当且仅当a b c ==时等号同时成立）

()()()333

3a b b c c a ∴+++++≥?=

又1abc = ()()()3

3

3

24a b b c c a ∴+++++≥ （12分）

20．（12分）（2020·河北省石家庄二中高一月考）如图，定义在[)1,-+∞上的函数()f x 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求()f x 的解析式； (2)写出()f x 的值域．

【解析】（1）当10x -≤≤时，设解析式为y kx b =+， 由图象有01k b b -+=??

=?，解得1

1

k b =??=?，∴1y x =+，当0x >时，

设解析式为2

21y a x =--（）， （3分）

∵图象过点()4,0，∴2

0421a =--（），解得1

4

a =

， ∴2

1214

y x =--（），

综上，函数()f x 在[1-+∞，）上的解析式为()()2

11012104

x x f x x x +-≤≤??

=?-->??，

， （6分） （2）由图可知，其值域为[)1,-+∞. （12分）

21．（12分）（2020·衡水一中高一期中）某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的%p 作为新产品开发费（即每销售100元提出p 元），并将商品A 的年产销量减少10p 万件．

（1）若新产品开发费不少于96万元，求实数p 的取值范围； （2）若要使每年的新产品开发费最高，求实数p 的值．

【解析】（1）由题意，知当新产品开发费是商品A 的销售金额的%p 时，商品A 的销售量为()8010p -万件，此时销售金额为()808010p ?-万元，

所以新产品开发费()()808010%f p p p =?-?（万元），

由题设知()808010%96

08

p p p ??-?≥?<

故新产品开发费不少于96万元时，实数p 的取值范围为[]2,6． （6分） （2）当08p <<时，()()()2

808010%84128f p p p p =?-?=--+， 所以当4p =时，()max 128f p =，

即当4p =时，新产品开发费最高，为128万元． （12分） 22．（12分）（2020·江西省南昌二中高二月考（理））函数2

()4ax b

f x x -=

-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3

f =.

（1）确定()f x 的解析式；

（2）判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并用定义证明； （3）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<. 【解析】（1）由函数2

()4ax b

f x x -=

-是定义在(2,2)-上的奇函数知(0)04

b f -== 所以解得0b =, （2分） 经检验,0b =时2

()4ax

f x x

=-是(2,2)-上的奇函数,满足题意 又21

(1)413

a f =

=- 解得1a = 故2

()4x

f x x =

-,(2,2)x ∈-. （4分） （2）()f x 在(2,2)-上为增函数.证明如下： 在(2,2)-任取12,x x 且12x x < 则()()()()()()

211221

21222

2

212144444x x x x x x f x f x x x x x -+-=

-=----, 因为210x x ->,1240x x +>,2140x ->,2

240x ->,

所以()()()()()()

211221

21222

2

2121404444x x x x x x f x f x x x x x -+-=

-=>----

即()()21f x f x >,

所以()f x 在(2,2)-上为增函数. （8分） （3）因为()f x 为奇函数所以()()f x f x -=- 不等式(1)()0f t f t -+<可化为(1)()f t f t -<-, 即(1)()f t f t -<-

又()f x 在()2,2-上是增函数,

所以121222t t t t -<-??

-<-

,

解得112

t -<<

所以关于t 的不等式解集为11,2??

- ???

（12分）