期权定价模型介绍及改进
Final Exam
课程：金融计量
Title：
Give a literature review on option pricing. Try to propose a new option and study the price of new option or try to improve a known option and study the price of the improved option.
期权定价模型介绍及改进课程名称：金融计量
任课老师：XX
姓名：XXX
学号：XXXXXX
班级：XXXXXX
2014年1月8日
目录
一、期权定价模型的发展 (4)
二、期权的基础知识 (5)
2.1期权的概念及分类 (5)
2.1.1期权的基本概念 (5)
2.1.2期权的分类 (5)
2.2影响期权定价的主要因素 (6)
2.2.1期权价格 (6)
2.2.2期权价值的构成 (6)
2.2.3期权价格的决定因素 (7)
2.3期权的作用-投机与保值 (8)
三、期权定价模型介绍 (9)
3.1期权定价的基本原理 (9)
3.2期权定价的方法 (9)
3.3常见期权定价模型 (10)
3.3.1二叉树模型 (10)
3.3.1.1单周期二叉树定价模型 (10)
3.3.1.2n周期二叉树定价模型 (11)
3.3.2 Black-Scholes 公式 (12)
3.3.2.1无风险投资组合方法 (13)
3.3.2.2风险中性（等价鞅测度）方法 (14)
3.4常见定价模型应用分析 (15)
四、期权定价模型的推广及改进 (15)
4.1二叉树定价模型的推广 (15)
4.2Black-Scholes定价模型的推广 (16)
五、结论 (17)
参考文献 (18)
一、期权定价模型的发展
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买入或卖出一定数量的标的资产的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
早在1900年法国金融家Bachelier . Louis就发表了第一篇关于期权定价的文章，给出了欧式期权的定价公式。在Bachelier的研究基础上，人们对期权定价问题进行了长期的研究。此后各种经验公式或计量定价模型纷纷面世。1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。1964年，Bones将货币时间价值的概念引入到期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。1969年，Samuelson与其研究生Merton合作，提出了把期权价格作为标的股票价格的函数的思想。
1973年Fisher Black 和Markov Scholes 推导出基于无红利支付的股票的任何衍生证券的价格必须满足的微分方程。他们运用该方程推导出股票的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式，被称为华尔街的第二次革命。
Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的和开创性的贡献,他几乎在与Black和Scholes同一时间,得到了期权定价模型及其他一些重要的成果。1976年，Merton把B—S期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票连续支付股利的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为Merton模型。
1979年，Cox，Ross和Rubinstein等人提出了二叉树期权定价模型。他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导B-S模型提供一种比较简单和直观的方法。但是,随着研究的不断深入，二叉树模型不再是仅仅作为解释B-S模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本手段。
在期权定价研究方面，80 年代以前的研究一般都假定期权所依赖的基础资产的价格是连续的随机过程，市场也是“完善”等条件下推导出各种期权的定价模型。近十多年来，得益于计算机技术的快速发展，期权定价理论研究在以下两个方面得到深化，取得了大量研究成果：一是研究在不完善市场条件下如何确定期权价格问题；二是将期权所依赖的基础资产的价格是连续的随机过程的假设条件改进为服从“跳跃-扩散过程”，例如Merton跳跃-扩散模型。
二、期权的基础知识
2.1期权的概念及分类
2.1.1期权的基本概念
期权是一种金融衍生证券，它赋予其持有者在一个预先约定的时间或者在特定期限内以合同规定价格购买或出售特定标的资产的权力。期权买方向卖方支付一定数额的权利金后就获得了这种权利。
期权持有人具有按协议条款在确定时间实施这个协议的权利，但不负有必须实施这个协议的义务。期权的标的可以是一种实物商品，也可以是公司股票、政府债券等证券资产。
2.1.2期权的分类
（一）按交易者的买卖行为划分，期权可以分为看涨期权（买入期权）和看跌期权（卖出期权）。
看涨期权的持有者有权在某一确定的时间以某一确定的价格购买一定数量的标的资产，即买方有买权。看跌期权的持有者有权在某一确定的时间以某一确定的价格卖出一定数量的标的资产，即买方有卖权。
（二）按期权执行方式划分，期权可以分为欧式期权和美式期权。
欧式期权是指期权持有人只能在期权合约规定的期限到期后才能行使其买或卖的权力。而美式期权允许其持有者在期权到期日之前的任何时间都可以选择行使其买或卖的权力，因此美式期权给了买方更加灵活的选择权，所以美式期权的期权费高于欧式期权。
（三）按期权的标的资产划分，可分为实物期权、股票期权、利率期权、外汇期权、期货期权、股票指数期权、基金指数期权等。
实物期权的标的物为实物商品，如农作物、贵金属及房地产等，多在场外市场进行交易。股票期权的标的物为某种股票，大部分的股票期权是在交易所内进行交易的。外汇期货的标的物为外汇或者外汇期货，其大部分的交易在场外进行，也有一些在交易所内进行，由于外汇期货的标的物与利率有关，所以期权合约的
规模一般是与货币有关的。利率期权的标的物为国债或者国债期货合约。期货期权的标的物为期货合约，期权合约的到期日一般会在期货合约交割日之前。股票指数期权和基金指数期权是预测相应的指数，定出执行价格。
（四）新型期权
1)路径依赖型期权，这类期权的收益不仅取决于标的资产在到期日的价格，还取决于标的资产价格的变化路径，亚式期权、回望期权等品种都属于此类型。由于独有的路径依赖特征，使得此类期权的定价模型与标准期权相比呈现出较大的差异。
2)合同条款变化型期权，因标准期权合同条款的某些特征发生变化而产生的新型期权，主要包括两值期权、任选期权、障碍期权等种类。它们的定价模型大都是标准期权定价模型的变形与延伸。
3)多因素型期权，这类期权的收益取决于两个或多个标的资产的价格变化，彩虹期权、篮子期权都是其典型代表。其定价不仅要考虑多个标的资产的变化规律，还需度量标的资产之间的相关程度。因此，多因素型期权的定价很难把握，至今仍没有令人满意的解决方法。
2.2影响期权定价的主要因素
2.2.1期权价格
为了持有合约而拥有买卖资产的权利，期权持有者应该支付一定的费用。与此相对应，合约的卖方由于承担了潜在的义务，则应以收取一定的费用作为补偿，这笔费用就是合约的双方确定的关于合约的价格，即是期权的价格。它也是期权多头持有者在期权交易中最大可能的损失。
2.2.2期权价值的构成
1）期权价格与其内在价值有关，但又不同于其内在价值。通常，期权价格除了包括多头的内在价值外还包括时间价值，这一时间价值不同于传统投资决策方法中所讲的资金的时间价值。通常，距到期日越远，时间价值就越大。期权的全部价值为其多头的内在价值与时间价值之和，所以期权价格一般高于其多头的内在价值。
2）期权价值的构成：期权价格=内在价值+时间价值
内在价值是指期权立刻执行可获得的收益，买权的内在价值=max(S-K，0），卖权的内在价值=max(K-S，0）。
时间价值是期权价值中的不确定的部分，它反映了期权移向价内的可能性。时间价值=期权价格-内在价值。
2.2.3期权价格的决定因素
影响期权内在价值的因素有股票的现价S和执行价格K，影响期权时间价值的因素有到期期限T，股票价格的波动率σ，无风险利率r和期权有效期内预计发放的红利（假设无红利支付模型则不考虑）。当这些因素之一发生变化而其他因素保持不变时，期权价格的变化如下：
(1)股票价格和执行价格
如果看涨期权在将来某一时间执行，则其收益为股票价格与执行价格的
差额。随着股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大;随着执行价格的上
升，看涨期权的价值就越小。对于看跌期权来说，其收益为执行价格与股票
价格的差额。因此看跌期权的行为刚好与看涨期权相反。当股票价格上升时，看跌期权的价值下降;当执行价格上升时，看跌期权的价值上升。
(2)到期期限
当期权的有效期限增加时，美式看跌期权和看涨期权的价格都会增加。为了说明这一点，考虑其他条件相同但只有到期日不同的两个期权，则有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它的获利机会会更多。因此有效期长的期权的价值总是大于或等于有效期短的期权价值。随着有效期的增加，欧式看跌期权和欧式看涨期权的价值并不一定必然增加。这是因为有效期长的期权的执行机会并不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。有效期长的期权只能在其到期日执行。考虑同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为一个月，另一个到期期限为2个月。假定，预计在六周后将支付大量的红利。红利会使股票价格下降。这就有可能使有效期短的期权的价值超过有效期长的期权的价值。
(3)波动率
简单地说，股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的增加，股票上升很高或下降很低的机会也随着增加。对于股票
的持有者来说，这两种变动趋势将互相抵消。但对于看涨期权或看跌期权的
持有者来说，则不是这样。看涨期权的持有者从股价上升中获利，但当股价
下跌时，由于他或她的最大损失就是期权费，所以他仅有有限的损失。与此
类似，看跌期权的持有者从股价下跌中获利，但当股价上升时，仅有有限的
损失。因此，随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。
(4)无风险利率
无风险利率对期权价格的影响则不是那么直接。当整个经济中的利率增
加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加。然而，期权持有者收到的未来
现金流的现值将减少。这两种影响都将减少看跌期权的价值。因此随着无风
险利率的增加，看跌期权的价格将减少。而对于看涨期权来说，前者将增加
看涨期权的价格，而后者将倾向于减少看涨期权的价格。可以证明对看涨期
权来说，前者的影响将起主导作用，即随着无风险利率的增加，看涨期权的
价格总是随之增加。需要强调的是，所有这些结果都是建立在其他变量保持
不变的基础上。尤其是，当利率上升(或下降)时，股票价格也将下降(或
上升)。若考虑利率变化和随之而来的股价变化的净效应，则可能会得出与上
面相反的结论。
(5)红利
在除息日后，红利将减少股票的价格。对于看涨期权的价值来说这是一
个坏消息，而对于看跌期权的价值来说则是一个好消息。因此看涨期权的价
值与预期红利的大小成反向变动，而看跌期权的价值与预期红利的大小成正
向变动。
2.3期权的作用-投机与保值
如果某人认为某个股价会涨，可以以低的价格购买该股票的看涨期权，处于多头位置，如果股价果然上涨，他获得的利益要大得多，即使股价下跌，他的损失最多是期权费。如果某人持有某种股票，担心股价下跌但又不放弃股价继续走高以获取更多利益的机会，就可以买入看跌期权，即达到了保值的目的，又保留了投资的机会。
通过基础资产和期权的组合以减少风险的活动，通常称为对冲，也就是保值。所谓保值，就是让某人的资产不收价格变化的影响。当某种股票价格下跌时，若其持有的全是股票，他的损失随着下降幅度成比例增大，如果他持有的全是看跌
期权，他的收益随着下降幅度成比例上升。如果他将所拥有的财富分为两部分，一部分用来购买股票，一部分用来购买看跌期权，在某一价格范围内一定存在某一个比例，使他的财富不受价格波动的影响。
三、期权定价模型介绍
3.1期权定价的基本原理
衍生品定价的基础原则是无套利定价原则。所谓无套利，就是在一个有效的市场中，任何一项金融资产的定价应当使得利用该项资产进行套利的机会不复存在，就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。
衍生产品的定价和套利策略密不可分，给定衍生品的一个价格，只要能够找到可以套利的策略，那么该定价就不是合理的价格。如果市场不能够再找到任何的套利机会，说明该定价是一个合理的定价。
期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。
3.2期权定价的方法
常用的期权定价方法有：随机微分方程方法、等价鞅测度方法。其中随机微分方程法中随机微分方程的建立基于无风险投资组合，所以有时候也可称为无风险投资组合方法。
随机微分方程方法是指将衍生品的价格变动用随机微分方程表示，然后求解微分方程得到解。主要的求解方法有解析法，即直接求解出随机微分方程的解。例如B-S公式；数值方法，即通过各种数值方法求解出随机微分方程的数值解。例如有限差分法。
等价鞅测度方法是指将衍生品价格表示成鞅测度下的期望的折现。主要的求
解方法有解析法，即通过解析方法直接求解出期望的表达式；蒙特卡罗模拟，即通过大量模拟的方法求期望；数值方法，即使用数值方法求得期望，例如数值积分法，二叉树方法。
3.3常见期权定价模型
3.3.1二叉树模型
单周期二叉树期权定价模型是所有期权定价模型中最简单的一个模型。主要假设有：不支付股票红利、交易成本与税收为零、投资者可以以无风险利率拆入或拆出资金、市场无风险利率为常数、股票的波动率为常数。
3.3.1.1单周期二叉树定价模型
假定证券市场只有一个投资周期，股票在0时刻的价格记为S0在 1 时刻股票的价格记为S1。相对于S0而言，股票价格S1只有两种可能的取值，或者是以概率p从S0增加到uS0，或者是以概率1-p减少到dS0，u>1,d<1。我们记0 时刻的期权价值为C，1时刻对应于股票价格上升或下降的期权价值分别为C u和C d，这里C u=max?(0,uS0?K)，C d=max?(0,K?dS0)，K 为期权的执行价格。
现在构造一无风险套期保值投资组合，它由卖出一份看涨期权同时买入m 股股票构成，由于该投资组合是套期保值资产组合，因此，对S1的任何可能状态
下的取值，资产组合的收益相同，即成立关系式:
muS0?C u=mdS0?C d,
解得m的值为:
m=C u?C d
(u?d)S0
在市场无套利的假设下，根据无套利原则应该有:
e rT(C?mS0)=muS0?C u
其中，r是无风险利率，T是到期时的时间长度(以年为单位)。
将m带入上式解得：
C=e rT(e rT?d
C u+
u?e rT
C d)
这就是单周期看涨期权的二叉树期权定价公式。
由于在到期时刻股票价值的期望值为S 0e rT ，作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有
S 0e rT =puS 0+(1?p)dS 0
从中解出p 值，得到：
p =e rT ?d u ?d
则单周期看涨期权的二叉树期权定价公式又可写为：
C =e rT [pC u +(1?p )C d ]
所以，对一个风险中性者来说,看涨期权的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，期权的期望终端支付的折现值。
3.3.1.2 n 周期二叉树定价模型
以单周期看涨期权的二叉树期权定价公式为基础，可以得到两周期看涨期权的二叉树期权定价公式，然后再推广到 n 周期看涨期权的二叉树期权定价公式。
考虑购买两周期到期的看涨期权，股票 0 时刻的价格为S 0，第一个周期末股票的价格为S 1,第二个周期末股票的价格为S 2,假设每个周期内股票上升或下降的概率分别为p 和1-p ，u 和d 的值都保持相同，则每个周期末股票的价格有两种可能:
第一个周期末：S 1=uS 0 或 S 1=dS 0
第二个周期末：S 2=u 2S 0 或 S 2=udS 0
S 2=udS 0 或 S 2=d 2S 0
二叉树图为：
在第一个周期末，对应于不同的S 1，股票看涨期权的价值分别为C u 和C d ，在第二个周期末，对应于不同的S 2，股票看涨期权价值分别为C uu 、C ud 、C du 、C dd ，这里C uu =max?(0,u 2S 0?K),?C ud =C du =max?(0,udS 0?K),?C dd =max?(0,K ?d 2S 0)。 S 0
uS 0
dS 0
u 2S 0
udS 0 d 2S 0
直接利用单周期看涨期权的二叉树期权定价公式，可得：
C u=e r?t[pC uu+(1?p)C ud]
C d=e r?t[pC du+(1?p)C dd]
其中?t是每一个周期的时间长度(以年为单位)。
再对C u,?C d运用单周期看涨期权的二叉树期权定价公式，可得：
C=e?2r?t[p2C uu+2p(1?p)C ud+(1?p)2C dd]
这就是两周期看涨期权的二叉树期权定价公式。
利用两周期模型可以很容易的推广到n周期，考虑购买n周期到期的看涨期权，股票的当前价格为S0，而每个周期内股票价格上升或下降的概率为p和1-p，且u和d的值都保持相同，则每个周期末股票的价格有两种可能。这样到第n 个周期末股票价格S n的所有可能取值为u i d n?i S0，i=1,?,n,并且S n=u i d n?i S0的概率为：
n!
i!(n?i)!
p i(1?p)n?i
按照推导两周期模型的思路，从第 2 周期开始向前递推，可以得到第n周期看涨期权的二叉树定价公式：
C=e?nr?t∑[
n!
i!(n?i)!
p i(1?p)n?i max?(u i d i S0?K)]
n
i=0
二叉树期权定价的关键是u 和d的确定，在实际应用中，如果当前时刻为t，期权到期日为T ，则可将期权的有效期T-t分为n 个时间周期，每一周期的长度为t(以年为单位)，无风险利率为r,股票价格波动率σ，则可令
u=eσ√?t,?d=e?σ√?t
由于二叉树期权定价模型是采用离散化的方式来处理价格，所以在树状结构完成以后，如果知道了期权到期日的可能价值，就能很容易推算出先前结点的价值。因此，二叉树上任何结点的理论价值都能经过推算后得到。在每一结点，可以比较继续持有与立刻执行的价值，从而选择一个最佳值，这样不仅可以取得每一个结点的合理价格，而且可以知道最理想的期权执行时间。
3.3.2 Black-Scholes 公式
假设在时刻t的股票价格为S，在随后的dt时间内股票价格从S变化到S+ dS，考虑dS/S的构造，它一般被分为两部分，一部分是确定的收益，类似于无风险利率的收益，用udt?表示，u为股票价格的预期收益率或期望漂移率。另一部
分是由某些不确定信息使收益产生的波动，用 σdW 表示，σ为股票价格波动率，dW 是标准的布朗运动。将这两部分合在一起，就可以得到股票价格变化的随机微分方程：
dS =uSdt +σSdW
在推导Black-Scholes 微分方程的过程中要用到如下假设：
(1) 股票价格 S 的变化是一几何Brown 运动，满足
dS =uSdt +σSdW
(2) 允许使用全部所得卖空衍生证券。
(3) 没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分的。
(4) 在衍生证券的有效期内没有红利支付。
(5) 不存在无风险套利机会。
(6) 证券交易是连续的。
(7) 期权是欧式期权。
(8) 无风险利率r 为常数，且对所有到期日都相同。
3.3.2.1 无风险投资组合方法
假设标的资产的价格过程为dS =uSdt +σSdW ，定义与S 上的欧式期权的
价格为C(S,t)，应用It o
定理得
dC =C s dS +C t dt +12C ss σ2S 2dt =[C s uS +C t +12
C ss σ2S 2]dt +C s σSdw 这里C s =eC eS 和里C ss =e2C
eS
考虑购买1份期权和出售?eC eS ?份的基础证券的投资组合，设II 为该组合的价值，
那么:
II =C ?
eC S =C ?C s S 求微分化为
dII =dC ?C s dS
解得
dII =(eC et +12σ2S 2e2C eS 2
dS)dt 由于组合为无风险，瞬时收益率为rIIdt ，即：dII =rIIdt ，则等价的表达为:
eC et +12σ2S 2e2C eS 2dS +rS eC eS ?rC =0
方程为抛物线型的偏微分方程，这就是Black-Scholes 偏微分方程，注意该方程中不含u ，只含σ，在终端条件C(S,T)=max?(S ?K,0)下可得到Black-Scholes 期权定价公式。许多衍生证券的价格可用上面的Black-Scholes 微分方程计算，只是边界条件不同。
对于欧式看涨期权，边界条件为C (0,t )=0,C (S,t )~S,C (S,T )=max?(S ?K,0) 得到欧式看涨期权的定价公式为:
C (S,t )=SN (d 1)?Ke ?r (T?t )N(d 2)
其中 d 1=
ln?(S/K)+(r+12σ2)(T?t)σ√T?t d 2=ln?(S/K)+(r?12σ2)(T?t)
σ√T?t
=d 1?σ√T ?t 相应的欧式看跌期权公式可以由类似的计算获得，但我们已知欧式看涨期权定价公式，由看涨-看跌期权平价关系:
C (S,t )?P (S,t )=S ?Ke ?r (T?t )
即可方便地获得欧式看跌期权的定价公式：
P (S,t )=?SN (?d 1)+Ke ?r (T?t )N(?d 2)
3.3.2.2 风险中性（等价鞅测度）方法
把自然概率测度转换为风险中性测度Q ，在测度Q 下，标的资产的价格过程为：
dS =rSdt +σSdW Q
风险中性测度定价方法的提出受到以下影响:Black-Scholes 偏微分方程中不含基础证券的漂移项u ，而且衍生证券价格与投资者的风险偏好无关。因此，应用u 代替r ,期权的定价公式可表示为：
C =e ?u(T?t)E Q [max?(S ?K,0)]
即期权支付在等价鞅测度下的期望用无风险概率进行贴现，为等价鞅测度方法。
由于把标的资产价格过程假设为对数布朗运动，即
lnS~N(lnS 0+(u ?12
σ2)t,σ2t) 那么:
C =e ?u(T?t)E Q [max (S ?K,0)]=e ?u(T?t)∫(S ?X)f(S)dS ∞
K
=e ?u(T?t)∫Sf (S )dS ?e ?u(T?t)K ∫Sf (S )dS ∞
K
∞K
=e ?u(T?t)E (S |S >K )?e ?u KPr(S >K)
=e ?u(T?t)S 0N (d 1)?e ?u(T?t)KN(d 2)
上式证明略。等价鞅测度方法与无套利资产组合方法是等价的。
3.4常见定价模型应用分析
当n 比较大时，由二叉树期权定价模型计算的数据比较精确。然而当n 增加时，所需要计算的步骤将呈几何级数增加。当n 越来越大，最后趋向于无穷大时二叉树期权定价模型和Black-Scholes 期权定价模型完全一致，即Black-Scholes 期权定价公式是二叉树期权定价的极限情形。在Black-Scholes 期权定价模型受到限制或者与实际情况有较大误差时用二叉树模型来进行期权定价效果更好。
二叉树模型将时间、股价的价格变动离散化，对于欧式期权和美式期权都适用。Black-Scholes 定价公式解决股价连续变动、时间连续的定价问题。适用于欧式期权。其他衍生证券的价格可用上面的Black-Scholes 微分方程计算，只是边界条件不同，难以求得解析解，可以通过数值方法求解。
四、期权定价模型的推广及改进
4.1 二叉树定价模型的推广
标准的二叉树模型假设，股票的当前价格为S 0，每个周期内股票价格上升或下降的概率为 p 和1-p ，且 u 和d 的值都保持相同。而实际中n 个周期内的u ，d 会不断变化，所以我们可以建立非标准的二叉树模型，假定第i 个周期，股票的价格上升到u i S i?1或下降到d i S i?1。考虑购买两周期到期的看涨期权，用二叉树图表示为：
上述过程未知数很多，比较繁琐，可以用计算机算得到数值解。 S 0
u 1S 0
d 1S 0
u 1u 2S 0
d 1u 2S 0 d 1d 2S 0
u 1d 2S 0
4.2 Black-Scholes 定价模型的推广
Black - Scholes 模型是在无交易成本且波动率σ，红利率 q 和无风险利率 r 都是固定不变的情况下得到的。然而，在现实生活中投资者要面临不可忽视的交易成本，而且σ、q 和r 会受到多种因素的影响，不会保持一成不变。可以将其扩展为在波动率σ、红利率q 和无风险利率r 均为时间t 的已知函数并带有交易成本的情况下推出欧式期权的Black -Scholes 定价方程，再利用偏微分方程的知识得到欧式看涨期权和看跌期权的定价公式。
假设条件变为
(1) 无税收；
(2) 无套利机会；
(3) 投资者可以按无风险利率任意的借贷；
(4) 波动率σ，红利率 q 和无风险利率 r 在期权有效期内是时间 t 的函数；
(5) 股价 S 遵循几何布朗运动：
dS(t)=u(t)S(t)dt +σ(t)S(t)dW
这里u(t)为预期收益率，dW 是一个标准Brown 运动。
根据It o 定理，期权价值C(S,t)遵循如下的随机过程：
dC =(u(t)SC s +C t +12
σ(t )2S 2C ss dt +σ(t)SC s dW 利用无风险投资组合方法得到:
欧式看涨期权多头的定价公式为：
C (S,t )=Se ?∫q (v )dv T t N (d 1)?Ke ?∫r (v )dv T t
N(d 2) 欧式看涨期权空头的定价公式为：
C (S,t )=Se ?∫q (v )dv T t
N (d 1′)?Ke ?∫r (v )dv
T t N(d 2′) 其中
?σ12(t )=σ2(t )?√2?tπσ(t), σ22(t )=σ2(t )+√2?tπ d 1=
ln S K +∫[r (v )?q (v )+12σ2(v )]dv T t √∫σ12(v )dv t , d 2=d 1?√∫σ12(v )dv T
t d 1′=ln S K +∫[r (v )?q (v )+12
σ2(v )]dv T t √∫σ22(v )dv t , d 2′=d 1′?√∫σ22(v )dv T
t
五、结论
本文首先介绍了期权定价模型的发展过程，主要的定价模型有Black-Scholes 定价模型、二叉树定价模型及跳跃-扩散定价模型等。其次介绍了有关期权的基本知识，包括期权的基本概念、分类，期权的价值构成及其期权价格的决定因素，并介绍了期权的基本作用-投机与保值。
第三部分对常见的期权定价模型给出了详细的介绍，是本文的重点部分。首先介绍了期权定价的基本原理，期权定价的基本原则就是无套利原则；其次介绍了期权定价模型中常用的方法，包括随机微分方程方法、等价鞅测度方法，最后给出常见定价模型二叉树模型，包括单周期二叉树模型和n周期二叉树模型及经典的Black-Scholes定价模型的分析过程。在求Black-Scholes公式时，等价鞅测度方法与无套利资产组合方法是等价的。然后对几种模型的适用性进行了分析，指出Black-Scholes定价模型就是二叉树定价模型的极限形式。。
最后对于非标准的二叉树模型及将波动率σ，红利率q和无风险利率r假设为有效期内时间t的函数，而得到的推广了的Black-Scholes定价模型进行了简单介绍。
二叉树模型和Black-Scholes定价模型及其多种推广了的模型应用非常广泛，二叉树期权定价模型已经成为建立复杂期权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本手段，许多衍生证券的价格可用Black-Scholes偏微分方程计算，只是边界条件不同。除此外重要的期权定价模型还有跳跃-扩散模型、亚式期权的定价模型等等。
参考文献
[1] Douglas Kennedy，Stochastic Financial Models，Chapman & Hall/CRC ，2010。
[2] 黎子良，邢海鹏，金融市场中的统计模型和方法，北京：高等教育出版社，
2009。
[3] 王扬，Black-Scholes期权定价模型的修正，理学硕士学位论文，2007。
[4] 关莉，李耀堂，修正的Black-Scholes期权定价模型[J]，云南大学学报(自
然科学版)，2001，23(2): 84-86
[5] 刘茜，简述几个期权定价模型，专业学位论文，2012。
[6] 杨少华，亚式期权定价模型及其实证研究，硕士学位论文，2006。
[7]Black F，Scholes M，The pricing of options and corporate liabilities，Journal of
political Economy，1973 (81)：637-659。
[8] Hull J.C.，《期权，期货和其他衍生产品》，华夏出版社2003 年版。
[9] 博弘投资，期权定价的理论及方法，
https://www.360docs.net/doc/5845618.html,/link?url=UDskF18LzL3shOSJwyCztFx6Ygw-ZCaMdk2MJM0RWp0px Jwtoh_34q6T1TLHk7XMbsMkgCi50Mimib2qBfLYzwgLg-IQ3FO4ghnSvItGNqi
[10] 百度百科，期权定价模型&期权价格，
https://www.360docs.net/doc/5845618.html,/link?url=2Kw3OCgUOF0luv30jjgDWBESqmUovPFmWbGHq6AVGTia jKbDL3cysZpPN3DT0EohE7_ujdj3SffIklmS4kxI7_
https://www.360docs.net/doc/5845618.html,/link?url=g6QXYwB5kbl4NpsXl07ySutmEaom5Mks125pYltGTHjgvOA PKaFRZTGuMvUO4CTTMbzShJ3ZTqq5WuZLQKLabK
第11章 期权定价模型
第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型 一、基本思路 1. 基本思路 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。 用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下： dS dt dz S μσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+ 伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从 22221()2f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ????=+++???? 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。 从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为 2222 12f f f rS S rf t S S σ???++=??? 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。求解该方程可得到期权定价公式。无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=- 其中， 21221d d d = ==- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式 ()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式 ()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同， ()12()()r T t C SN d Xe N d --=- 对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型 (重定向自Black—Scholes公式) Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型 Black-Scholes 期权定价模型概述 1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。 斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。 [编辑] B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 [编辑] (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会；
(定价策略)二项期权定价模型
摘要： 在可转债的定价过程中，期权部分的定价最为复杂，本文介绍了对可转债价值中期权部分的一种定价方法——二项期权定价模型，以单一时期内买权定价为例进行了。 一般来说，二项期权定价模型（binomal option price model ， BOPM ）的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM 的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。 一、对股票价格和期权价格变化的描述 假设股票当期（t ＝0）的价格S 为100元，时期末（t ＝1）的价格有两种可能：若上升，则为120元，记做uS ；若下降，则为90元，记做dS 。执行价格为110元。相对应地来看，期权价格则分别记做0C 、up C 、down C ，则在t ＝1时，up C 、down C 分别等于max （120－110，0）、max （90－110，0），即10元和0。此时的状态可以用下图描述： uS ＝120 股价上升时 分 析 师：高谦 报告类型：可转换债券研究 二项期权定价模型
S ＝100 dS ＝90 股价下降时 up C ＝10 max （120－110，0） 0C ＝？ down C ＝0 max （90－110，0） 二、构建投资组合求解买权 （一）构建投资组合 在上图中，唯一需要求解的是0C 。为求解0C ，也即给t ＝0时的买权定价，可以证明0C 的价格可以通过建立期权和相关资产的零风险套利交易来得到，具体来说，就是考虑一个包括股票和无风险债券在内的投资组合，该组合在市场上不存在无风险套利机会时等于买权的价格，因此可以用来模拟买权的价格。 我们可以考虑这样一个投资组合： （1） 以价格0C 卖出一份看涨期权； （2） 以价格100买入0.333股股票； （3） 以无风险利率8％借入27.78元。 （二）投资组合的净现金流分析 根据上述投资组合，可以得到t ＝0时期的净现金流为：0C －（0.333×100+27.78）。根据前述对股票和期权价格变化的描述，在到期日时会出现两种可能的结果，这两种结果在到期日时的现金流可以描述如下： 股价上升时的现金流 股价下跌时的现金流 买进一份看涨期权 －10（由max 【120－110】得到） 0（由max 【90－110】得到） 股票变现 40（由0.333×120得到） 30（由0.333×90得到） 偿付贷款 －30（由－27.78×1.08得到） －30（由－27.78×1.08得到） 净现金流 0 0 这表明，不管相关资产的价格是上升还是下降，这个投资组合的最终结果都
期权定价模型分类及其实际应用
摘要 随着社会的进步，金融市场的发展逐步完善，越来越多的金融衍生品走进了人们的视野。期权作为重要的金融衍生品之一，受到许多投资者与研究者的关注。本文就是对期权的产生与发展和期权相关的定价模型进行了讨论。本文先简要介绍了期权的发展史以及现阶段的概况，随后对期权进行分类详解，接着以B-S 模型和二叉树模型这两种经典定价模型为例进行了深入讨论并举例说明他们的实际应用，最后又分析了几种新型期权和他们的定价模型，并简要介绍了他们的实际用途。 关键词：期权发展历程；期权的分类；B-S定价模型；二叉树模型
Abstract With the development of the society, finance market has been impr oving gradually, more and more financial derivative instruments have come to the eyesight of people. Option, as the important tool of fina ncial derivative instrument, has been cast more attention by the inve stor and the researcher. This essay would focus on the generation of option and Capital Asset Pricing Model of the option. First, this dis sertation introduces the history and nowadays state of the option development. Then, it focuses its attention on classifying and description of the option. This paper raises the Black-Scholes Model and Binary Tree Model as typical example to talk deeply about their appliance. Finally, this paper analysis so me kinds of new options and their asset pricing model, and introduce the practical use of the new option to all readers. Keywords: history of option development Option classifying Black-Scholes Model Binary Tree Model
B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是持续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1] C = S * N(d 1) ? Le? rT N(d2) 其中: C—期权初始合理价格 L—期权交割价格 S—所交易金融资产现价 T—期权有效期 r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差 N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r 0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则。 B-S定价模型的推导与运用[1] (一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是: E[G] = E[max(S t? L,O)] 其中，E[G]—看涨期权到期期望值 S t—到期所交易金融资产的市场价值 L—期权交割(实施)价 到期有两种可能情况: 1、如果S t > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t? L,O) = S t? L 2、如果S t < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有: max(S t? L,O) = 0 从而: 其中:P：(S t > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
第十一章 期权定价模型
第十一章 期权定价模型 【学习目标】 本章是期权部分的重点内容之一。本章主要介绍了著名的Black-Scholes 期权定价模型和由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。学习完本章，读者应能掌握Black-Scholes 期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。 自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black 和Myron Scholes 发表《期权定价与公司负债》1一文，提出了著名的Black-Scholes 期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes 并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨2。 第一节 Black-Scholes 期权定价模型 一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下： 1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。S 遵循几何布朗运动3，即 dz dt S dS σμ+= 其中，dS 为股票价格瞬时变化值，dt 为极短瞬间的时间变化值，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。μ和σ都是已知的。 简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变 1 Black, F., and Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities ”, Journal of Political Economy , 81( May-June), p. 637-659 2 从本书难度的设定出发，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其理解，而不具体推导模型，更深入的内容可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 第六章 3 有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的详细信息，可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115页-121页
(定价策略)期权定价理论
期权定价理论 期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世（有关期权定价的发展历史大家可以参考书上第358页，有兴趣的同学也可以自己查找一下书上所列出的经典文章，不过这要求你有非常深厚的数学功底才能够看懂）。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大贡献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖（Black在1995年去世，否则他也会一起获得这份殊荣）。 原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时间连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分（Stochastic Calculus）的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。可是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且达到上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在这里，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导（非常复杂），感兴趣的同学可以在课后阅读一下相关资料（一般都是在期权定价理论章节的附录中）。 首先，我们来回顾一下套利的含义 套利 套利（arbitrage）通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，获取无风险利润的行为。注意，这种利润是无风险的。 现代金融交易的目的主要可以分为套利、投机和保值，这也是我们在以前的课程中接触过的。那么，我们怎样来理解套利理论的含义呢？ 我们说，市场一般是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。如果有时候因为某种原因使得价格与价值不相符，出现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会马上被聪明的人所发现和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原来价值被低估的商品，它的价格会上涨（投机者低价买入）；原来价值被高估的商品，它的价格会下跌（投机者高价卖出），交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。（就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…） 同样的道理我们不难理解，现代期权定价技术就是以无风险套利原理为基础而建立起来的。我们可以设计一个证券资产组合，使得它的价值（收益）与另外一个证券资产组合的价值相等。那么，根据无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。从而，可以帮助我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。 具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采用了无风险套利的原理。 跌——涨平价原理（put——call parity） 看涨期权的价格与看跌期权的价格（也就是期权费）之间存在着非常密切的联系，因此，只要知道看涨期权的价格，我们就可以推出看跌期权的价格（通过平价原理）。这样，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。只要我们通过B——S模型计算出看涨欧式期权的定价之后，我们就可以相应地推出欧式看跌期权的定价（注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权）。
期权定价模型与数值方法
参考文献 1、期权、期货和其它衍生产品，John Hull，华夏出版社。 2、期权定价的数学模型和方法，姜礼尚著，高等教育出版社。 3、金融衍生产品定价的数学模型与案例分析，姜礼尚等著，高等教育 出版社。 4、金融衍生产品定价—数理金融引论，孙建著，中国经济出版社。 5、金融衍生工具中的数学，朱波译，西南财经大学出版社。 6、N umerical methods in finance and economics—a MATLAB-based introduction， Paolo Brandimarte，A JOHN WILEY & SONS,INC.,PUBLICATION 7.金融计算教程—MATLAB金融工具箱的应用，张树德编著，清华大学出 版社。 8、数值分析及其MATLAB实现,任玉杰著，高等教育出版社。 9、数学物理方程讲义，姜礼尚著，高等教育出版社。 10、英汉双向金融词典，田文举主编，上海交通大学出版社。 11、偏微分方程数值解法，孙志忠编著，科学出版社。 第三部分期权定价模型与数值方法 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。
一、期权定价基础 1.1 期权及其有关概念 1．期权的定义 期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option） 买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 针对有效期规定不同期权又分为欧式期权（European Option）与美式期权（American Option） 欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利 美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。 2．期权的要素 期权的四个要素：施权价（exercise price或striking price）；施权日（maturing data）；标的资产（underlying asset）；期权费（option premium）对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。 3．期权的内在价值 买入期权在执行日的价值 C为 T 其中， E为施权价， S为标的资产的市场价。 T
期权定价模型
二、期权价值评估的方法 （一）期权估价原理 1、复制原理 基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。 基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额 计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd 上行股价Su=股票现价S×上行乘数u 下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d （2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd： 股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格 股价下行时期权到期日价值Cd=0 （3）计算套期保值率： 套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd) （4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额 购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0 借款数额=价格下行时股票收入的现值 ＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r） 2、风险中性原理 基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。 因此： 期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比） ＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比 计算步骤 （1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理） （2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理） （3）计算上行概率和下行概率 期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比） （4）计算期权价值 期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r） （二）二叉树期权定价模型 1、单期二叉树定价模型 基本原理风险中性原理的应用 计算公式（1）教材公式 期权价格＝ U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比
回归大作业-基于多元线性回归的期权价格预测模型
基于多元线性回归的期权价格预测模型 王某某 （北京航空航天大学计算机学院北京100191）1 摘要：期权是国际市场成熟、普遍的金融衍生品，是金融市场极为重要的金融工具。2015年2月9日，上海证券交易所正式推出了我国首支场内交易期权——上证50ETF期权，翻开了境内场内期权市场的新篇章。50ETF期权上市以来，市场规模逐步扩大，其发展情况境外期权产品相同时期。本文以此为研究背景，以“50ETF购12月1.95”这支期权为研究对象，以今日开盘价、收盘价、最高价、最低价、结算价、成交量、成交额、持仓量、涨停价和跌停价为解释变量，通过多元线性回归模型，预测该期权的明日收盘价。本次研究以多元线性回归的全模型（模型1）为出发点，通过异方差检验、残差的独立性检验、误差的正太分布检验以及多重共线性检验，说明该模型不违反回归的基本假设条件。进而通过主成分回归（模型4）和逐步回归（模型5）进行降维，结果表明因变量与解释变量之间存在强烈的线性相关关系，且主成分回归和逐步回归相比全模型有更好的预测能力。 关键词：期权价格多元线性回归50ETF 多重共线性因子分析 一、引言 期权（option）是依据合约形态划分的一种衍生品，指赋予其购买方在规定期限内按买卖双方约定的价格（即协议价格或行权价格）购买或者出售一定数量某种金融资产（即标的资产）的权利的合约。期权购买方为了获得这个权利，必须支付给期权出售方一定的费用，称为权利金或期权价格[1]。 2015年2月9日，上海证券交易所正式推出了我国首支场内交易期权——上证50ETF，翻开了境内场内期权市场的新篇章。期权是与期货并列的基础衍生产品，是金融市场极为重要的金融工具之一。 自50ETF上市以来，市场规模逐步扩大。2015年2月日均合约成交面值为5.45亿元，12月就达到了47.69亿元，增长了7.75倍；2月日均合约成交量为2.33万张，12月就达到了19.81万张，增长了7.5倍；2月权利金总成交额为2.48亿元，12月就达到了35.98亿元，增长了13.51倍[1]。 我国股票市场有上亿的个人投资者，是一个较为典型的散户市场[1]。相较于专业投资机构讲，散户缺乏时间，精力以及专业分析，投资具有很大的投机行为。对于这些投资者来说，期权价格的变动则是他们最为关注的问题，其变化直接影响到自身的收益。在实际情况中，影响股票价格的因素很多，涉及到金融政策、利率政策以及国际市场等因素，其作用机制也相当复杂[2]。因此，对于期权价格预测的研究，则可以降低投资者的投资风险，及时调整投资结构，从而保障自身的收益。 1作者简介：王某某，北京航空航天大学研究生邮箱：bnuwjx@https://www.360docs.net/doc/5845618.html,。
期权定价模型
第14章期权定价模型 中央财经大学 刘志东2010-06-162 期权的应用 激励方式 一些证券具有期权的特征：可回购债、可转债 Hedging, (speculative) investing, and asset allocation are among the top reasons for option trading. In essence, options and other derivatives provide a tailored service of risk by slicing, reshaping, and re packaging the existing risks in the underlying security. The risks are still the same, but investors can choose to take on different aspects of the existing risks in the underlying asset.
2010-06-163 期权定价方法的应用 期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策、自然资源开发、核废料处理等。 学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。 近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。 所以，无论从理论还是从实际需要出发，期权定价的思想都具有十分重要的意义。2010-06-164 1. 一些基本定义 例子1： 投资者B 和W 计划签定一份合同：现在B 支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个月的任何时间，允许B 自愿从W 那里以150元/股的价格购买100股IBM 公司股票。IBM 公司股票现在的价格为145元/股。问题： B 和W 为什么都愿意签定这个合同？ B 如果不支付给W 200元，W 是否愿意签定这个合同？
基于期权理论的股票定价模型
基于期权理论的股票定价模型 摘要：传统的股利回现模型对股票定价不能精确确定投资者的收益率和未来支付的现金股利。股票具有期权的特性，公司的股票实质上是基于公司价值的看涨期权，该期权的执行价格就是公司债券到期时的还本付息的金额，于是可以用期权定价模型来进行股票定价。该法不需要估计未来现金股利和投资者的语气收益率，在一定程度上客服了传统股票定价方法的缺陷。 关键字：股票定价期权二叉树模型 B-S模型 第1章绪论 自股票产生400多年以来，股票价值就一直是困惑投资者的最大难题。股票价值之谜就如同哥德巴赫猜想一样，历经数百年，吸引了无数的人类精英去探索，但至今仍是不得其解。许多的经济学家和管理学家试图寻找到一个数学模型来确定股票价值，从而为股票市场的正常运行提供依据，但至今为止，这样的模型仍是一个不解之谜。无数的股票投资者苦恼于股票的神秘，他们往往不得不凭猜测压赌注，到头来也往往是血本无归。更有一些别有用心的人，利用股票价值的神秘感，在股市上兴风作浪，趁火打劫。 股票的价值体现在他的未来回报，其评估过程也是一个“从过去预测未来，从未来计算现在”的过程。由于时空的限制，我们无法穿越时间的隧道，准确预知未来。所以我们只能在黑暗中摸索股票价值。我们只能利用科学知识和技术手段，从历史的蛛丝马迹中去分析推测并演算出股票现在的价值。 第2章基于期权理论的股票定价模型
2.1期权的定义及期权定价模型 期权（option）是又称为选择权，是指买方向卖方支付期权费（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务（即期权买方拥有选择是否行使买入或卖出的权利，而期权卖方都必须无条件服从买方的选择并履行成交时的允诺）。 由此可见，期权是一种交易双方签订的、按约定价格、约定时间、买卖特定数量的商品或有价证券合约。与其他一般合约不同的是，期权购买人在合约规定的交割时间有权选择是否执行这一合约，而期权出售人则必须服从购买人的选择。即：期权交易是一种权利买卖。 期权分为看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。看涨期权是持有者有权在约定时间按约定价格向期权出售人购买特定数量的商品或有价证券，而不管这种商品或有价证券到时价格发生如何的变动，而出售者必须履行合约，按照约定的价格出售资产。与此相反，卖进看跌期权，购买人就有权利在期权的有效期内，按约定价格向出售人出售约定数量的商品或者有价证券，而不论此期间他们的价格如何变动。 期权定价模型（OPM）由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常2复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。 2.2传统股票定价的缺陷 传统股票定价思路是将与其的未来现金流量按预期报酬率进行折现、即股票的价值是预期的所有未来股息现金流量折现值之和。公司股票价值的计算可表示为 其中，V e是公司股票的内在价值，D t是在t年末预期收到的股利，K e是股票的期望收益率，包括无风险利率和风险补偿率。若假定预期的股利以固定的增长率g增长，在k>g的条件下，上式可简化为：
关于期权定价模型
关于期权定价模型
期权定价问题的数学模型 白秀琴杨宝玉（平顶山工业职业技术学院，基础部，河南平顶山467001） 摘要：介绍了资产定价理论近十年来的发展状况和历史背景，阐述了期权定价的基本概念 和基本假设的直观模型。 关键词：期权；套利；数学模型 Mathematical Model of OPricing Model BAI Xiu-qin,Yang Bao-yu (Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Introducing the historical background of asset pricing theory and the development during the past 10 years .Expounding the intuitive model of the basic concept and the basic assumptions of option pricing Key words: option arbitrage
mathematicai model 金融数学是研究经济运行规律的一门新兴学科，是数学与金融学的交叉，建立数学模型是对金融理论和实践进行数量分析和研究的主要方法。金融数学的几个主要理论是投资组合选择理论，资本资产定价理论，期权定价理论。本文主要探讨期权定价理论的数学模型及应用。 一 、期权定价理论的基本思想及其发展 期权是一种选择权，是其购买者在支付一定数额的期权费后，即拥有在某一特定时间内以某一确定的价格买卖某种特定商品契约的权利，但又无实施这种权利（即必须买进或卖出）的义务。它按交易性质可分为看涨期权和看跌期权，前者赋予期权拥有者在未来按履约价格购买期权标的物权利，又称买入期权；后者赋予期权拥有者在未来履约价格售出期权标的物权利，又称为卖出期权。期权按权利行使时间的不同，还可以分为欧式期权和美式期权，欧式期权只有在权利到期日才能履约交易，美式期权则在期权有效期内的任何时间都可以行使权利。 期权的交易由来已久，但金融期权到20世纪70年代才创立，并在80年代得到广泛应用。1973年4月26日美国率先成立了芝加哥期权交易所，使期权合约在交割数额，交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。在标准化的期权合约中，只有期权的价格是唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来的。而其余项目都是事先规定的。因此，我们的问题就是如何确定期权的合理价格。目前两个经典的期权定价模型是Black-Scholes 期权定价模型和Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价公式。尽管它们是针对不同状态而言的，但二者在本质上是完全一致的。 在讨论期权定价模型之前，我们先对金融价格行为进行分析。 二、金融价格行为 资产价格的随机行为是金融经济学领域中的一个重要内容。价格波动的合理解释在决定资产本身的均衡价格及衍生定价中起着重要的作用。资产价格波动的经典假设，也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循一扩散过程，称其为几何布朗运动，即 )()()()(t dB t S dt t S t dS σα+= （1） 其中，S(t)为t 时刻的资产价格，μ为飘移率，σ为资产价格的波动率，B(t)遵循一标准的维纳过程。为说明问题的方便，下面我们引入It?引理： 设F(S,t)是关于S 两次连续可微，关于t 一次可微的函数，S(t)是满足随机微分方程（1）的扩散过程，则有以下随机变量函数的It?微分公式 dt F dS F dt F t S dF SS S t 2 21),(σ++= （2） Black-Scholes 期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即)(ln ),(t S t S F =。将该式与（1）式同时代入（2）式，有 )()()(ln 2 2 1t dB dt t S d σσα+-= （3） 从而有
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型 一、 影响期权价值的主要因素 由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的 股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。但是到期m S 是未知的，它 的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。 1)标的股票价格与股票执行价格的影响。标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。 2）标的股票价格变化范围的影响。在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。如下图： )(s f )(1s f )(2s f x s 股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。 3）到期时间距离的影响。距离愈长，股价变动的可能性愈大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期
权到期的时间越长，期权的价值就越高。 4）利率的影响。利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得 买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。 5）现金股利的影响。股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。 二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件 B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有： 1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。 2． T 时期内各时段的预期收益率 r i 和收益方差σi 保持 不变。 3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即 在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ??-- ??? 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收 益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=- 股票的年收益率（单利）R 应该是：
期权定价二项式模型.doc
二项期权定价模型 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。 二项式期权定价模型概述 1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。 1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。 二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。 随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。 一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一证券组合的主要功能是给出了买权
常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析
常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析 (function() { var s = "_" + Math.random().toString(36).slice(2); document.write(''); (window.slotbydup = window.slotbydup || []).push({ id: "u3686515", container: s }); })(); [摘要] 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，
而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、 Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。 [关键词] Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价 doi ：10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050 [中图分类号] F830.9 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）23- 0117- 04 1 Black-Scholes期权定价模型 1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯