期权定价模型

期权定价模型

什么是期权 期权，又称为选择权，指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产的权利。期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。

Black-Scholes 期权定价模型 股票价格的变动一般没有规律可循，但我们可以用随机过程来刻画股价的变动过程。特别的，我们可以假设股价遵循几何维纳过程。1973年，斯坦福大学的教授Myron Scholes 和他的同事、已故数学家Fischer Black 在美国《政治经济学》上发表了论文《期权与公司债务的定价》，给出了欧式看涨期权的定价公式，即著名的Black-Scholes 期权定价模型。该模型被称为“不仅在金融领域，而且在整个经济学中最成功的理论”。在模型的应用、改进和扩展方面，哈佛商学院的教授Merton 也做了大量的研究工作。因此，Scholes 和Merton 被授予1997年的诺贝尔经济学奖，以表彰他们所做出的杰出贡献。 二叉树期权定价模型 虽然Black-Scholes 期权定价模型有许多优点，但是它复杂的数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握。1979年，J.C.Cox 、S.A.Ross 和M.Rubinstein 在《金融经济学杂志》上发表论文《期权定价：一种简单的方法》，提出了一种比较浅显的期权定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价模型（Binomial Model ）或二叉树期权定价模型（Binomial tree ）。二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。

窝轮的定价及影响因素 目前香港的窝轮发行商给窝轮定价时基本上都是采用Black-Scholes 期权定价模型。所不同的是，各个发行商对模型中的参数如无风险利率，红利和波动率的选取都有所不同。比如发行商会考虑自身的资产状况和借贷资金成本来界定无风险利率，对公司红利的派发预期也有所不同，另外对波动率的选取和稳定性维护更是能体现发行商的信誉和资质水平。

牛熊证的定价及影响因素 牛熊证作为一种新型结构性产品于2006年6月被引入香港市场之后，发展至今深受市场欢迎。由于牛熊证设有收回价机制，在定价方面，牛熊证和窝轮完全不同。用数学公式表示，即为：

()E r T X X S c ??+?=)(，()E r T S S X p ??+?=)( 其中p c 、分别为牛证和熊证的价格，E r T X S 、、、、分别为正股股价、行使价、剩余期限、年息和兑换比率。

招商证券（香港）研究部

陈文质

(86-755) 83295367 cwz@https://www.360docs.net/doc/a316698875.html,

何 钟

(852) 31896818

hezhong@https://www.360docs.net/doc/a316698875.html,

2009年4月2日

正文目录

一、什么是期权 (3)

二、Black-Scholes期权定价模型 (4)

（一）数学预备知识 (5)

1、基本的维纳过程 (5)

2、一般的维纳过程 (5)

3、Ito过程 (6)

4、Ito引理 (6)

5、随机变量的分布函数和密度函数 (7)

（二）股票价格的行为过程 (7)

（三）股票价格的对数正态分布特性 (9)

（四）Black-Scholes微分方程 (9)

（五）风险中性定价法导出Black-Scholes定价公式 (11)

（六）关于Black-Scholes定价公式的几点说明 (14)

三、二叉树期权定价模型 (15)

四、窝轮和牛熊证的定价及影响因素 (17)

（一）窝轮的定价及影响因素 (18)

1、影响窝轮价格的五大因素 (18)

2、红利支付下的窝轮Black-Scholes定价公式的修正 (18)

（二）牛熊证的的定价及影响因素 (19)

1、什么是牛熊证 (19)

2、牛熊证的定价公式 (19)

3、牛熊证定价例子 (20)

4、牛熊证价格的影响因素 (20)

一、什么是期权

期权（Option），又称为选择权，指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产(underlying asset)的权利。期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。

由于期权交易方式、方向、标的物等方面的不同，产生了众多的期权品种。（1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。看涨期权（Call Option）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务；而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。看跌期权（Put Option）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务；而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。（2）按期权的交割时间划分，有美式期权、欧式期权和百慕大式期权。美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利；欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利；百慕大式期权是一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权，是美式和欧式的混合体。（3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等种类。

期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶（Bachelier）就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。上世纪70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。

二、Black-Scholes期权定价模型

众所周知，股票价格的变动一般没有规律可循，但我们可以用随机过程来刻画股价的变动过程。随机过程（Stochastic process）是指：如果某变量以某种不确定的方式随时间而变化，则称该变量遵循某种随机过程。

数学上用来描述各种运动的随机过程有很多，马尔可夫过程（Markov process）是一种特殊类型的随机过程。当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式不相关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。

人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程，这具有一定的合理性。股价的马尔科夫性质与市场弱有效性相一致，也就是说，股票的现价充分反映了历史上一系列交易价格和交易量中所隐含的信息。如果市场弱有效性不正确的话，技术分析师可以通过分析股价的历史数据图表获得高于平均收益率的收益。事实上，几乎没什么证据表明他们能够做到这一点。而且，股票市场的充分竞争也保证了市场弱有效性的成立。假如已经发现历史股价中某种特殊模型总能给出未来股价超出50%的上涨机率，这种方式一旦被观察到，市场的众多投资就会购买股票，从而对股票的需求就会突然增加，其结果为股价骤然上涨，过去观察的效应便将失效。

股价的随机行为与布朗运动（Brownian motion）类似，后者在物理学中指描述液体中某个粒子受到大量小分子碰撞后的不规则运动。布朗运动的起因是由于液体的所有分子都处在运动中，且相互碰撞，从而粒子周围有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用于它,使它被迫作不规则运动。1923年，美国数学家维纳（Norbert Wiener）从数学上严格地定义了一个随机过程来描述布朗运动。因此，布朗运动也称为维纳过程（Wiener process）。维纳过程是马尔可夫过程的一种特殊形式。股价行为通常用维纳过程来描述。

1973年，斯坦福大学的教授Myron Scholes和他的同事、已故数学家Fischer Black在美国《政治经济学》上发表了论文《期权与公司债务的定价》，给出了欧式看涨期权的定价公式，即著名的Black-Scholes期权定价模型。该模型被称为“不仅在金融领域，而且在整个经济学中最成功的理论”。在Black和Scholes发表论文的同时，哈佛商学院的教授Robert Merton也发现了同样的定价公式，并在后来的应用和研究中扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。因此，Scholes和Merton被授予1997年的诺贝尔经济学奖，以表彰他们所做出的杰出贡献。为充分理解Black-Scholes期权定价模型，我们需要阐述以下数学预备知识。

（一）数学预备知识

1、 基本的维纳过程

要理解遵循维纳过程的变量z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z 值的变化。设一个小的时间间隔长度为t Δ，定义z Δ为在t Δ时间内

z 的变化值。如果满足： （1）εt z Δ=Δ

其中ε是服从标准正态分布)1,0(N 的一个随机变量； （2）对于任意两个不同的时间间隔t Δ，z Δ的值相互独立。 则称变量z 遵循基本维纳过程。

由条件（1）可知，z Δ也服从正态分布，且其均值为0，方差为t Δ，标准差为t Δ；由条件（2）可知，z 遵循马尔科夫过程。另外，条件（1）的极限形式可表现为：

εdt dz = （2.1）

设z 值在时间T 后的变化量为)0()(z T z ?，这可以被看作在N 个长度为t Δ的小时间间隔后z 的变化的总量，其中t

T

N Δ=

，从而 i N

i t z T z ε∑=Δ=?1

)0()(

其中),,2,1(N i i ???=ε是服从标准正态分布的随机变量，且相互独立。由正态分布的特性可知，)0()(z T z ?也服从正态分布，其均值为0，方差为T ，标准差为T 。

2、 一般的维纳过程

变量x 遵循一般维纳过程定义如下：

bdz adt dx += （2.2）

其中b a ,为常数，dz 为同（2.1）式的基本维纳过程。

adt 项表示变量x 在单位时间内的漂移量，其期望值为a 。

εdt b bdz =项可被看作为增加到x 轨迹上的波动率或噪音，其值

为基本维纳过程的b 倍。

在缺省bdz 项的情况下，方程变为：adt dx =。对其积分可得：

at x x +=0，其中0x 为变量x 在初始时刻的值。经过t 时间后，x 增加

的值为at 。

（2.2）式的离散形式为：

εt b t a z b t a x Δ+Δ=Δ+Δ=Δ （2.3）

从而，x Δ也服从正态分布，且x Δ的期望值为t a Δ，方差为t b Δ2

，标准差为t b Δ。

经过时间T 之后，x 值的变化量服从正态分布，同样，可以求得其期望值为aT ，方差为T b 2

，标准差为T b ，即漂移率（单位时间里的漂移）的期望值为a ，方差率（即单位时间里的方差）的期望值为2

b 。

3、 Ito 过程（Ito process ）

Ito 过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为：

dz t x b dt t x a dx ),(),(+= （2.4）

其中参数a 和b 是变量x 和t 的函数。

Ito 过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。

4、 Ito 引理（Ito Lemma ）

随机微积分的一个重要结论于1951年被日本数学家Kiyosi Ito 所发现，被命名为Ito 引理（Ito Lemma ），这为1973年的Black-Scholes 期权定价模型奠定了重要的理论基础。

Ito 引理：假设变量x 遵循（2.4）式所述的Ito 过程

dz t x b dt t x a dx ),(),(+=

若G 是x 和t 的函数，则G 遵循以下过程

bdz x

G

dt b x G t G a x G dG ??+??+??+??=)21(22

2 （2.5） 其中dz 是（2.1）式中定义的维纳过程。

Ito 引理的证明：由于G 是x 和t 的函数，即),(t x G G =。由泰勒展开式，有

???+Δ??+ΔΔ???+Δ??+Δ??+Δ??=Δ2

2

222222121t t

G t x t x G x x G t t G x x G G

由于t t x b t t x a x Δ+Δ=Δε),(),(，因此)(22

2

t t b x Δ+Δ=Δοε。因为

ε服从标准正态分布，所以有101)()()(22=?=?=εεεE D E 。因此

t Δ2ε的期望值为t Δ，其方差的阶数为2

t Δ。当t Δ趋于零时，由于受t

Δ的控制，t Δ2ε变为非随机项，且等于该值对t Δ的期望值，所以t

b

Δ22

ε就变成非随机项，且当t Δ趋向于零时，其值等于t b Δ2

。将上述结果代入上式，且令x Δ和t Δ趋向于零，便得其微分形式：

bdz x

G

dt b x G t G a x G dG ??+??+??+??=)21(22

2 □ 这就是Ito 引理。可以看到，作为x 和t 的函数，G 同样也遵循Ito 过程。

5、 随机变量的分布函数和密度函数

假设随机变量ξ，它的分布函数))(()(x P x F ≤=ωξ指的是满足条件{}x ≤)(ωξω：的事件集的概率。如果存在某非负的可积函数)(x p ，使得分布函数)(x F 满足

∫∞

?=x

dy y p x F )()(

则称)(x p 为ξ的概率密度函数；则ξ的数学期望为

∫+∞

∞

?=dx x xp E )()(ξ

若随机变量η是ξ的函数，)(ξηf =，则η的密度函数为

{}{}

?????+∞<

（二）股票价格的行为过程

这里，我们讨论无红利支付的股票价格遵循的随机过程。

在Black-Scholes 期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循Ito 过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率则是关键。 假设股价S 遵循以下Ito 过程：

dz t S b dt t S a dS ),(),(+=

离散形式为：

t t S b t t S a z t S b t t S a S Δ+ΔΔ+Δ=Δε),(),(),(),(＝

即股价变化量S Δ的期望值为t t S a Δ),(，方差为t t S b Δ2

),(。一个合理假设是：无论股价初始价格S 如何，短时间t Δ后，股票收益率

S

S

Δ的期望值和方差应保持不变，即不管股价是HK$100还是HK$10，投资者都认为他的收益率和达到收益目标的不确定性应是相同的。因此可定义μ和2

σ分别为股价变动比例（收益率）和股价变化比例变化（收益率变化）的方差率，则t Δ2

σ是经过时间t Δ后股价变动比例变化的方差，

t S Δ22σ是经过时间t Δ后股价实际变动的方差。因此，有：

t t S b S Var t S t S

t S a S S E t Δ=Δ=ΔΔ=Δ=Δ222),()(，),()(

σμ 即：

S t S b S t S a σμ==),(),(，

因此，我们可以用以下Ito 过程来描述无红利支付股票价格的行为过程：

Sdz Sdt dS σμ+=

即

dz dt S

dS

σμ+= （2.6） 遵循（2.6）式的过程称为几何布朗运动，也称为几何维纳过程。它的离散形式为：

t t z t S

S

Δ+Δ=Δ+Δ=Δσεμσμ （2.7） 方程（2.6）的左边是短时间t Δ后股票的收益比，t Δμ项是这一收益的期望值，t Δσε项是收益的随机部分，其方差（也是整个收益的方差）为t Δ2

σ，该方程表明S

S Δ服从期望值为t Δμ,方差为t Δ2

σ的正态分布，即：

),(~t t N S

S

ΔΔΔσμ

（三）股票价格的对数正态分布特性

如果一个随机变量的自然对数服从正态分布，我们称这个随机变量具有对数正态分布特性。在上节中，我们指出股票价格遵循以下几何布维纳过程：

Sdz Sdt dS σμ+=

令S G ln =，由Ito 引理有：dz dt dG σσμ+?

=)2

(2

这表明G 遵循恒定的漂移率为2

2

σμ?

，方差率为2

σ的一般维纳

过程。由前面的结果知，在当前时刻0t 和未来某一时刻1t 之间G 的变化服从正态分布，期望值为T 2

(2

σμ?，方差为T 2σ，其中T 为时间间

隔01t t ?。

设0t 时刻G 的值为0ln S ，1t 时刻G 的值为T S ln 。其中S T 是经过时间T 后的股票价格，因此在此期间G 的变化为：0ln ln S S T ?。从而有：

???????

???T T N S S T σσμ,)2(~ln ln 2

0 ???????

??+T T S N S T σσμ,)2(ln ~ln 2

0 即股票价格具有对数正态分布特性。

（四）Black-Scholes 微分方程

Black-Scholes 微分方程是基于不付红利股票的任意一种衍生证券的价格f 必须满足的方程。推导此微分方程需要满足的假设条件如下： 1、 股价遵循预期收益率μ和标准差σ为常数的几何维纳过程； 2、 允许使用全部所得卖空衍生证券；

3、 市场没有摩擦，即不存在税收和交易成本，且所有证券无限可分；

4、 在衍生证券的有效期内没有红利支付；

5、 不存在无风险的套利机会；

6、 证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动；

7、 无风险利率r 为常数，能够用同一利率借入或贷出资金； 8、 只能在交割日执行期权，即欧式期权。

由前面的讨论可知，股价S 遵循几何维纳过程：

Sdz Sdt dS σμ+=

其离散形式为：

z S t S S Δ+Δ=Δσμ （2.8）

又假设f 是依赖于S 的衍生证券的价格，则变量f 一定是S 和t 的函数。由Ito 引理可得：

Sdz S

f

dt S S f t f S S f df σσμ??+??+??+??=)21(222

2 其离散形式为：

z S S

f

t S S f t f S S f f Δ??+

Δ??+??+??=Δσσμ)21(2222 （2.9） 由于f 必定是S 和t 的函数，所以方程（2.8）与方程（2.9）遵循的维纳过程相同，即)(t z Δ=Δε相同。所以我们可以选择该股票和衍生证券的组合来消除维纳过程。

我们可以构造这样的投资组合： （1）卖出一份衍生证券 （2）买入

S

f

??份股票 则该证券组合的价值为：

S S

f

f ??+

?=Π （2.10） 经过t Δ时间后，该证券组合的价值变化：

S S

f

f Δ??+

Δ?=ΔΠ 将方程（2.8）和方程（2.9）代入上式，得：

t S S f t f Δ??????=ΔΠ)21(2

22

2σ （2.11）

因为这个方程不含有z Δ，经过t Δ时间后证券组合必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率一定与其它短期无风险证券的收益率相同，否则，将存在无风险的套利机会。所以：

t r ΠΔ≡ΔΠ

其中r 为无风险利率。

将方程（2.10）和（2.11）代入上式可得：

t S S

f f r t S S f t f Δ???=Δ??+??)()21(2222σ 化简得：

rf S

f S S f rS t f =??+??+??222221σ （2.12） 这就是著名的Black-Scholes 微分方程。

对应于基础证券S 定义的不同衍生证券，方程（2.12）有不同的解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键的边界条件为：

)0,max(X S f T ?=

对欧式看跌期权，边界条件为：

)0,max(T S X f ?=

一个非常重要的现象是，从方程（2.12）我们可以发现，它不包含投资者对股票的预期收益μ，从而它独立于风险偏好。我们可以提出一个非常简单的假设：所有的投资者都是风险中性的，这样所有证券的预期收益率都是无风险利率r ，且其衍生证券的目前价值可以用其期末价值的期望值以无风险利率r 来贴现来得到。

这就是风险中性定价原理：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格仍然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。可以证明，市场无套利当且仅当存在风险中性概率测度。

（五）风险中性定价法导出Black-Scholes 定价公式

根据风险中性定价理论，欧式看涨期权价格在到期日时的期望值为：

[])0,max(?X S E T

? 其中E

?表示风险中性定价下的期望值。因此，欧式看涨期权的价格c 是这个值以无风险利率r 贴现的结果：[])0,max(?X S E e

c T

rT

?=? 由第（三）节的讨论知道，股价的对数T S ln 服从正态分布。在风险中性的情况下，可将μ替换成r ，即：

???????

??+T T r S N S T σσ,)2(ln ~ln 2

0 令

T T r S σσσμ=?

+=12

01,)2

(ln ，

则有 ),(~ln 11σμN S T ，即T S 服从对数正态分布。设T S 的概率密度为)(y g T s ，则

?

????≤>=??

00

21)(2

12

12)(ln 1

y y e y

y g y s T σμσπ []∫+∞

?=?X

S T dy

y g X y X S E T )()()0,max(?

∫∞

??

?=X

y dy e y

X y 12

12)(ln 121)

(σμσπ 令t y =ln ，上式∫

∫

∞

??

∞

??

??=

X

t X

t t

dt e X

dt e e

ln 2)(1

ln 2)(1

2

1212

12122σμσμσπσπ

上式中，右边第一项∫

∞

+

+??

?=

X

t dt e

e

ln 2

2)]([1

2

112

12

211 21σμσσμσπ

???????

?????????+??=+

1

2112

)(ln 12

11σσμσμX N e

???????

?+??=+

1

2112

)(ln 2

11σσμσμX N e

????

?

?

??????++?=T T r X S N e S rT σσ)21()ln(200

)(10d N e

S rT

?=

第二项???

????????=ln (

111σμX N X )ln (1

1

σμ??

?=X N X

????

?

?

???????+?=T T r X S N X σσ)21()ln(20 )(2d N X ?=

其中：T

T r X S d σσ)21

()ln(

201++=

T d T

T r X S d σσσ?=?+=

1202)21

()ln(

)(?N 为标准正态分布的累积分布函数。

所以，[])0,max(?X S E e

c T

rT

??=?

()

)()(210d XN d N e S e rT rT ?=?

)()(210d N Xe d N S rT ??=

由于我们在为期权定价的时刻选取为初始时刻0t ，股价为0S ，若在任意时刻t 为期权定价，则股价应为S ，同时以上的Black-Scholes 定价公式应改写为：

)()(21d N e X d N S c rT ????=? （2.13）

其中：T

T r X S d σσ)21

()ln(

21++=

T d T

T r X S d σσσ?=?+=

122)21

()ln(

根据欧式看涨期权c 与看跌期权p 之间的平价关系，有：

S p Xe c rT +=+?

因此，欧式看跌期权的价值为：

()()12d N S d N Xe Xe S c p rT rT ?????=+?=??

方程（2.13）就是著名的Black-Scholes 定价公式。

（六）关于Black-Scholes 定价公式的几点说明

在Black-Scholes 定价公式中涉及的变量和参数主要有股票价格S 、无风险利率r 、波动率σ、行使价X 和到期时间T ，即欧式期权价格c 可表示为：

),,,,(T X r S c c σ=

关于公式中的变量和参数有以下几点说明：

1、 公式中的无风险利率r 必须是连续复利，单利或不连续的一年复利

一次的利率0r 应按以下公式换算成连续复利r ：

)1ln(0r r +=

2、 期权到期时间T 必须以年为单位，并且年化以相对数表示，即如期

权还有200天到期，则

548.0365/200==T

3、 波动率σ是公式中唯一一个不能直接观测到的参数，我们一般从股

价的历史数据来估计σ，

通常情况下取1+n 个交易日的收盘价来计算，n 取90~180天为宜。假定一年有252个交易日，设i S 为第

),,1,0(n i i L =天的股票收盘价，令 ln

1

?=i i

i S S u ，),,2,1(n i i L =， 因为i u

i i e S S 1?=，i u 为第i 天的连续复利收益（并不是以年为单

位）。i u 的标准差s 的估计值为：

21

1212)()1(1

11)(11∑∑∑===???=??=

n

i i n i i n

i i u n n u n u u n s 其中，u 是i u 的均值。由股价的对数正态分布特性可知，i u 的标准差为2521σ

，因此变量s 是252

1σ的估计值。从而252s s =?

可以作为σ的估计值。

三、二叉树期权定价模型

虽然Black-Scholes 期权定价模型有许多优点，但是它复杂的数学推

导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握。1979年，J.C.Cox 、S.A.Ross 和M.Rubinstein 在《金融经济学杂志》上发表论文《期权定价：一种简单的方法》，提出了一种比较浅显的期权定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价模型（Binomial Model ）或二叉树期权定价模型（Binomial tree ）。

二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二叉树期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

随着需要考虑的价格变动数目的增加，二叉树期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二叉树期权定价模型和Black-Scholes 期权定价模型相一致。二叉树期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S ，基于该股票的某衍生证券的当前价格为f 。假设初始时刻为零时刻，在T 时刻，股价S 或者向上运动上涨到Su 或者向下运动下跌到Sd （1,1<>d u ），上涨或下跌的比率分别为1?u 和d ?1。如果股价向上运动到Su ，我们假设衍生证券的价格为u f ；如果向下运动到Sd ，我们假设衍生证券的价格为d f ，如下图所示：

我们可以构造这样的投资组合： （1）卖出一份衍生证券

（2）买入Δ份股票

如果股价上升，则该组合在T 时刻的价值为：u f Su ?Δ； 如果股价下跌，则该组合在T 时刻的价值为：d f Sd ?Δ。 当两个价值相等时：

d u f Sd f Su ?Δ=?Δ

即

Sd

Su f f d

u ??=

Δ （3.1）

该组合是无风险的，收益必是无风险利率r 。那么该组合的现值一定是：

rT u e f Su ??Δ)(

而构造该组合的成本是：

f S ?Δ

因此，有：

rT u e f Su f S ??Δ=?Δ)(

将（3.1）式代入上式并化简，得到：

()d u rT f p pf e f )1(?+=? （3.2）

其中

d

u d e p rT ??=? （3.3）

f

S

u

f Su d

f Sd

运用单步二叉树图，方程式（3.2）和（3.3）就可为衍生证券估值。当我们考虑更现实的情况，在一段时间里的股票价格运动可以分解为大量的二叉树图构成，其时间间隔t Δ充分小，在每一个时间间隔里，股价运动都如上文所述的二叉树变动。一个合理的假设是，股价的终值不依赖于路径，即Sdu Sud ≡，因此可以假设

1=ud 。

可以看到，我们在为衍生证券估值的过程中并没有假设股价上涨或者下跌的概率，从方程式（3.3）中可以很自然的将p 解释为股价上涨的概率。

当假设股价上涨的概率为p 时，在T 时刻股票的价格为：

Sd p pSu S E T )1()(?+=

将（3.3）式代入上式，有

rT T Se S E =)(

该式说明，股票价格以无风险利率增长。因此，设定股价上涨的概率等于p 等价于假设股票收益等于无风险利率，这也是风险中性原理的体现。

四、窝轮和牛熊证的定价及影响因素

窝轮和牛熊证作为标准化了的期权产品，在香港主板市场交易由来已久，特别是窝轮，更是受到广泛投资者的青睐。虽然牛熊证在2006年6月12日被引入香港市场至今不到3年时间，但它透明的定价机制和不太受引伸波幅影响的特性深受投资者喜欢。经过2008年井喷式的增长，如今牛熊证的交易量已经超越窝轮。2009

S

Su

Sd

p

p ?1

Su

Sd

S

p

p

p

p

p ?1

p

?1p ?1

2

Su 3

Su 3

Sd 2

Sd p

p

?1p

?1

年以来，窝轮和牛熊证日均成交金额占市场总成交金额分别为

11.73%和12.49%。

（一）窝轮的定价及影响因素

1、 影响窝轮价格的五大因素

窝轮（Warrants ）即权证，香港市场习惯音译为窝轮。作为标准化的期权，由前文所讨论的Black-Scholes 期权定价模型可知，无红利支付股票的认购窝轮价格为：

)()(21d N e X d N S c rT ????=?

一般而言，上市公司每年基本上都有分红。因此窝轮价格除了受正股股价、无风险利率、波动率、行使价和剩余期限等因素影响外，还受公司分红情况影响。具体影响如下表所示：

因素 因素变动 认购证价格

认沽证价格

正股价格 ↑ ↑ ↓ 剩余期限 ↓ ↓ ↓ 波动率 ↑ ↑ ↑ 无风险利率 ↑ ↑ ↓ 实际红利

↑

↓

↑

2、 红利支付下的窝轮Black-Scholes 定价公式的修正

需要说明的是，当存在红利支付的情况下，Black-Scholes 定价公式需要修正。假设在认购窝轮有效期内，正股将派发的红利是已知并且固定，公式)()(21d N e X d N S c rT

????=?里的股价S 便需要

修正为

)(*D PV S S ?=

其中D 为派发的红利，)(D PV 为红利贴现后的现值。因此，认购窝轮的价格修正为

)()(21*d N e X d N S c rT ????=?

一般窝轮发行商在为窝轮定价时，价格里已经包含了对正股未来派发红利的预期。因此，如果实际派发的红利和预期红利相一致，窝轮的价格并不会有太大波动。但如果实际派发红利多于预期红利，则)(*

D PV S S ?=是下降的，因此认购窝轮的价格也会随之下跌。对于红利影响还有另外一个容易理解的解释：当上市公司派发红利时，只有持有正股才有权利分红，而窝轮持有者并无此权利。派发红利之后，

股价一般需要除息，派得越多，股份调整幅度越大，对认购窝轮价格的影响也越大，而认沽窝轮的情况则恰恰相反。

目前，香港证券市场的窝轮发行商给窝轮定价时基本上都是采用Black-Scholes期权定价模型。所不同的是，各个发行商对模型中的参数如无风险利率，红利和波动率的选取都有所不同。比如发行商会考虑自身的资产状况和借贷资金成本来界定无风险利率，对公司红利的派发预期也有所不同，另外对波动率的选取和稳定性维护更能体现发行商的信誉和资质水平。一般而言，发行商对波动率的确定都参考场外期权的引伸波幅。

（二）牛熊证的定价及影响因素

1、什么是牛熊证

牛熊证（Callable Bull Bear Contracts，简称CBBC）是一种反映相关资产表现的结构性产品，是期权类的金融衍生工具。港交所于2006年6月12日把牛熊证引入香港市场。在香港还没有牛熊证买卖时，德国已有发行商推出恒生指数牛熊证，而新加坡的场外市场亦有与恒生指数挂钩的牛熊证。

牛熊证和传统的期权有认购和认沽两大类一样，牛熊证可分为“牛证”和“熊证”，顾名思义，投资“牛证”的投资者看好后市，这和认购期权类似；而看淡后市的投资者则可投资“熊证”，这和认沽期权类似。牛熊证大约在2001年面世，在欧洲和澳洲发展迅速，于德国法兰克福和斯图加特上市的牛熊证逾5500张。另外，以伦敦市场为例，牛熊证广受市场欢迎，牛熊证的成交呈占伦敦市场成交的四成。

和其他衍生工具相似，牛熊证的收益会随正股价格改变而变动，当投资者“看错市”时，会损失所有投资金额。和普通窝轮不同的是，牛熊证有收回机制，设有收回价，一旦正股价触及收回价，牛熊证便会作废（俗称“突然死亡”），这和特种权证中的到价回收轮（Knock-Out Warrant）相类似。

由于牛熊证产品结构简单，定价透明度高，价格不涉及引伸波幅，时间值对价格的影响亦较微，因而受到市场青睐，交投活跃。经过2008年井喷式的增长，如今香港市场牛熊证的交易量已经超越窝轮。

2、牛熊证的定价公式

因为有收回价这个独特的机制，在定价方面，牛熊证和窝轮完全不同。因为牛熊证的持有者所享有的权利是“不完全的”，时刻有被收回的风险。实际上牛熊证的杠杆性和定价机制与借贷资金（香港俗称“孖展”即“Margin”）类似，牛熊证的价格按以下公式定价：

牛熊证价格＝牛熊证内在值＋牛熊证财务费用 牛证内在值＝（正股价－行使价）／兑换比率 熊证内在值＝（行使价－正股价）／兑换比率

牛证财务费用＝行使价×年息×（距离到期日天数／365）／兑换比率 熊证财务费用＝正股价×年息×（距离到期日天数／365）／兑换比率

用数学公式表示，即为：

()E r T X X S c ??+?=)( （4.1） ()E r T S S X p ??+?=)( （4.2）

其中p c 、分别为牛证和熊证的价格，E r T X S 、、、、分别为正股股

价、行使价、剩余期限、年息和兑换比率。

需要注意的是，此年息r 为各发行商考虑自身资产状况、财务成本、对冲成本及各项风险后自行厘定，不同的发行商选取的年息率亦不同。此年息率实际上是投资者买入牛熊证时，向发行商借入资金以放大投资杠杆的借贷成本。

3、 牛熊证定价例子

举例来说，假设某正股现价为$10，它的某牛证收回价为$8.5，行使价为$8，有效期限为6个月，兑换比率为10。因此

牛证内在值＝（10－8）／10＝0.2

牛证财务费用＝8×8%×0.5／10＝0.032 牛证价格＝0.2＋0.032＝0.232 如下图所示：

4、 牛熊证价格的影响因素

从牛熊证的定价公式可以看到，牛熊证的价格由5个参数

E r T X S 、、、、，即正股股价、行使价、剩余期限、年息和兑换比率

决定。实际上，在市场波动中，行使价、年息和兑换比率3个参数基本上都是固定不变，因此真正的自变量只有正股股价和剩余期限。 正股股价的涨跌毋庸置疑地影响牛熊证价格的涨跌，起决定性作用；剩余期限由于总是单向递减，每一天时间的消逝，反映在牛熊证的