2010——2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)
2010年考研数学三真题与解析
一.选择题
1.若1])1(1[lim =--→x
o
x e a x
x 则a =
A0 B1 C2 D3
2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使
21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则
A 21,21==
μλ B 21
,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3
2,32==μλ
3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是
A 0)(<'a f
B 0)(>'a f
C 0)(<''a f
D 0)(>''a f 4设10
10)(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x) 5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02 =+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于 A ??????? ??0111 B ??????? ??-0111 C ??????? ??--0111 D ???? ? ? ? ??---0111 7.设随机变量X 的分布函数?????≥-<≤<=-1 ,110,21 ,0)(x e x x x F x ，则P （X=1)= A0 B 2 1 C 121--e D 1 1--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若 ???<>≥≤=)0,0(0),(0 ),()(2 1b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足： A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题 9.设可导函数y=y(x),由方程?? =+-x y x t dt t x dt e 0 20 sin 2 确定，则 ____________0 ==x dx dy 10.设位于曲线)() ln 1(12 +∞<≤+= x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________ 11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为3 1p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线12 3+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31 =+==-B A B A ，则_________1=+-B A 14.设 _ __________ET , 1T )0)(,(N ,,1 2 2 321==>?∑=则计量的简单随机样本。记统是来自总体n i i X n X X X σσμ 三.解答题 15.求极限x x x x ln 11 ) 1(lim -+∞ → 16.计算二重积分 ?? +D dxdy y x 3 )(，其中D 由曲线21y x +=与直线围成及0202=-=+y x y x 。 17.求函数u=xy+2yz 在约束条件102 2 2 =++z y x 下的最大值和最小值。 18. （1）比较 []?? ?=+1 1 ),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n 与的大小，说明理由。 （2）记[]? ?=+=1 ),2,1()1ln(ln n dt t t u n n ,求极限.lim n n u ∞ → 19.设 f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 )3()2()()0(22 f f dx x f f +==? （1）证明：存在);0()(),2,0(f f =∈ηη使 （2）证明：存在0)(),3,0(=''∈ξξf 使 20 .的通解。 求方程组、）求（个不同的解。 存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==??? ?? ??=????? ??-=)2(.12.11,1101011λλλλ 21.设???? ? ??--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第一列为 T )1,2,1(6 1 ，求a 、Q. 22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为+∞ <<-∞+∞<<-∞=-+-y x Ae y x f y xy x ,,),(2 2 22求常数A 及条件概率密度).(x y f X Y 23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。 （1）求随机变量（X,Y ）的概率分布； （2）求Cov （X,Y ）. 2010年考研数学三之答案与解析 答案：CABC ADCA 9.-1 10.4 2 π 11 ) 1(3 13 -p pe 12.3 13.3 14.22μσ+ 三解答题 15.解： 1 ln 11ln 2ln ln ) 1(lim 1 ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim ,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(lim ln ln -+∞ →+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-?=-→+∞→-?-=-e x x x x x x x e x e x x x x x e xe x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x 故而当 16.解: 15 14 )(3)321(2 1)3(2)3()33(1 1210104 242232332232= -+-+= +=+=+++=?? ??????+y y D D dy y y dy y y dx xy x dy dxdy xy x dxdy y y x xy x 原式 17. 解 ： 5 5-550,55-,;55,).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(,0 1002202202)10(2),,,(min max 222222=====--------?? ????? =-++='=+='=++='=+='-++++=u u u F E u C B u D A F E D C B A z y x F z y F y z x F x y F z y x yz xy z y x F z y x ，所以。两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点 令设λλλλλλ 18. lim ,0ln lim )1(111ln ln . ln )]1[ln(ln 0)1()2(. ln )]1[ln(ln , ln )]1[ln(ln ,)1ln(,10)1(1 102 10101 1 1 1 ==∴+=+=-=≤+=≤≤+≤+∴≤+≤≤∞ →∞→????????n n n n n n n n n n n n n n u dt t t n dt t n tdt t dt t t dt t t dt t t u dt t t dt t t t t t t t t t 从而知由因此，当解： 19. )(),3,0(),,0)(,0)(0,30),()()0(). 0()(),0(2 ) 3()2(. 2 ) 3()2()(],3,2[]3,2[)(2 ) 3()2() 2(). 0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20). 0()2()(),20()()()1(2121212 2 2 =''?∈='='∈∈≤<<====++=∈+===='=-∈-=≤≤=????ξξξξξξζηξηξζηζηζζζηηηηηf f f f f f f f f f f f f f x f f f f f f dx x f f dx x f f F F F F F dx x f x dt t f x F x 使得（从而存在），使，（），，（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证：20.解： 为任意常数。 其中的通解为所以时， 当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设k k x b Ax B a a b Ax B a a b A b Ax b Ax b A r A r A Ax b Ax ,10101321,021230000101012,1)2(.2221 2300001010111111020111),1-,),,()(11-1,0)1()1(0-2,)1(22121????? ??+????? ??-==????? ? ? ? ??--=-=-=-=∴==????? ? ? ? ??+--→????? ? ?---====≠====+-===λλλλλλληηηη 21 为所求矩阵。 故则有令） ，，（的一个单位特征向量为属于特征值），，（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是 为），，解：由题设，（Q AQ Q Q A A E A a a a A A T T T ,452,21316 103162213161 1012 14; 11-1315. 4,5,2),4)(5)(2(.2,1,121121043141012112111T ????? ??-=? ???????? ??--=---+--=-=-=??? ? ? ??=????? ??????? ??--=????? ??λλλλλλ 22. . ,1 1 11 )(),()(),(.1 ,)(1, ,),()(2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2)(222)() (22+∞<<-∞= = = =+∞-∞∈= ===+∞<<-∞=====---+---+-∞ +∞ --∞ +∞ --∞ +∞ ----+∞ ∞ ----+∞ ∞ --+-+∞∞ -??? ???y e e e e x f y x f x y f x A A dx e A dx x f x e A dy e Ae dy e A dy e A dy y x f x f y x y xy x x y xy x X X Y x X x x y x x x y y xy x X π π π π π πππ时，当从而所以解：因 23.解： （1）随机变量（X ，Y ）的概率分布为： X Y 0 1 2 0 1/5 2/5 1/15 1 1/5 2/15 (2) . 45 4 3231152)(),(. 15 2 )(.3215121581520, 15 1 }2{,158}1{,52}0{31 311320,31}1{,32}0{-=?-=?-===?+?+?========?+?=====EY EX XY E Y X Cov XY E EY Y P Y P Y P EX X P X P 所以又所以，因为。 所以因为 2011年考研数学三试题及解析 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上．) (1) 已知当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。是等价无穷小，则( ) (A) 错误！嵌入对象无效。. (B) 错误！嵌入对象无效。. (C) 错误！嵌入对象无效。. (D) 错误！嵌入对象无效。. (2) 已知函数错误！嵌入对象无效。在错误！嵌入对象无效。处可导，且错误！嵌入对象无效。 ，则错误！嵌入对象无效。 =( ) (A) 错误！嵌入对象无效。2 错误！嵌入对象无效。 . (B) 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。. (C) 错误！嵌入对象无效。 . (D) 错误！嵌入对象无效。. (3) 设错误！嵌入对象无效。 是数列，则下列命题正确的是( ) (A) 若 错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。收敛. (B) 若 错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。 收敛. (C) 若 错误！嵌入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。收敛. (D) 若 错误！嵌 入对象无效。收敛，则错误！嵌入对象无效。 收敛. (4) 设 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 ，则错误！ 嵌入对象无效。的大小关系是( ) (A) 错误！嵌入对象无效。． (B) 错误！嵌入对象无效。． (C) 错误！嵌入对象无效。． (D) 错误！嵌入对象无效。． (5) 设错误！嵌入对象无效。为3阶矩阵，将错误！嵌入对象无效。的第2列加到第1列得矩阵错误！嵌入对象无效。，再交换错误！嵌入对象无效。的第2行与第3行得单位矩 阵，记错误！嵌入对象无效。， 错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。( ) (A) 错误！嵌入对象无效。． (B) 错误！嵌入对象无效。． (C) 错 误！嵌入对象无效。． (D) 错误！嵌入对象无效。 ． (6) 设错误！嵌入对象无效。为错误！嵌入对象无效。矩阵，错误！嵌入对象无效。是 非齐次线性方程组错误！嵌入对象无效。的错误！嵌入对象无效。个线性无关的解， 错误！嵌入对象无效。 为任意常数，则错误！嵌入对象无效。的通解为( ) (A) 错误！嵌入对象无效。． (B) 错误！嵌入对象无效。． (C) 错误！嵌入对象无效。 ． (D) 错误！嵌入对象无效。 ． (7) 设 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 为两个分布函数，其相应的概率 密度错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 是连续函数，则必为概率密度的是( ) (A) 错误！嵌入对象无效。． (B) 错误！嵌入对象无效。． (C) 错误！嵌入对象无效。． (D) 错误！嵌入对象无效。 ． (8) 设总体错误！嵌入对象无效。服从参数为错误！嵌入对象无效。的泊松分布，错 误！嵌入对象无效。 为来自总体错误！嵌入对象无效。的简单随机样本，则对应的统计量 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ( ) (A) 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。． (B) 错误！嵌入对象无效。 ， 错误！嵌入对象无效。 ． (C) 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。． (D) 错误！嵌入对象无效。 ， 错误！嵌入对象无效。 ． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 设 错误！嵌入对象无效。 ，则错误！嵌入对象无效。 . (10) 设函数错误！嵌入对象无效。 ，则错误！嵌入对象无效。 . (11) 曲线错误！嵌入对象无效。 在点错误！嵌入对象无效。 处的切线方程为 . (12) 曲线 错误！嵌入对象无效。 ，直线错误！嵌入对象无效。及错误！嵌入对象无效。 轴所围成的平面图形绕错误！嵌入对象无效。轴旋转所成的旋转体的体积为 . (13) 设二次型 错误！嵌入对象无效。 的秩为1，错误！嵌入对象无效。的各行元素之 和为3，则错误！嵌入对象无效。在正交变换错误！嵌入对象无效。下的标准形为 ． (14) 设二维随机变量 错误！嵌入对象无效。 服从正态分布 错误！嵌入对象无效。 ，则 错误！嵌入对象无效。 = ． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 求极限错误！嵌入对象无效。． (16) (本题满分10分) 已知函数 错误！嵌入对象无效。 具有连续的二阶偏导数， 错误！嵌入对象无效。 是错 误！嵌入对象无效。的极值，错误！嵌入对象无效。 ，求 错误！嵌入对象无效。 . (17) (本题满分10分) 求 错误！嵌入对象无效。 . (18) (本题满分10分) 证明错误！嵌入对象无效。恰有2实根. (19) (本题满分10分) 设函数错误！嵌入对象无效。在 错误！嵌入对象无效。 有连续导数，错误！嵌入对象无 效。，且错误！嵌入对象无效。, 错误！嵌入对象无效。，求错误！嵌入对象无效。 的表达式. (20) (本题满分11分) 设向量组 错误！嵌入对象无效。，不能由向量组错误！嵌入对象无效。， 错误！嵌入对 象无效。，错误！嵌入对象无效。 线性表示． (I) 求错误！嵌入对象无效。的值； (II) 将 错误！嵌入对象无效。由错误！嵌入对象无效。 线性表示． (21) (本题满分11分) 错误！嵌入对象无效。为三阶实对称矩阵，错误！嵌入对象无效。的秩为2，即错误！嵌入对象无效。 ，且 错误！嵌入对象无效。 ． (I) 求错误！嵌入对象无效。的特征值与特征向量； (II) 求矩阵错误！嵌入对象无效。． (22) (本题满分11分) 设随机变量错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。的概率分布分别为 错 误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 1 无效。错误 ！嵌入对象无效。 错 误！ 嵌入 对象 无 效。 错 误！ 嵌入 对象 无 效。 错 误！ 嵌入 对象 无 效。 且 错误！嵌入对象无效。 ． (Ｉ)求二维随机变量错误！嵌入对象无效。的概率分布； (II)求错误！嵌入对象无效。的概率分布； (III)求错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。的相关系数 错误！嵌入对象无效。 ． (23) (本题满分11分) 设二维随机变量错误！嵌入对象无效。服从区域错误！嵌入对象无效。上的均匀分布，其中错误！嵌入对象无效。是由错误！嵌入对象无效。与错误！嵌入对象无效。所围成的区域． (I)求边缘概率密度 错误！嵌入对象无效。 ； (II)求条件密度函数 错误！嵌入对象无效。 ． 2011年考研数学三试题答案 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ． 所以错误！嵌入对象无效。，故答案选(C). (2)【答案】(B)． 【解析】 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ． 故答案选(B). (3)【答案】(A). 【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确. 方法2：排除法，举反例． 选项(B)取 错误！嵌入对象无效。 ，这时 错误！嵌入对象无效。 收敛，但 错误！嵌入对 象无效。 发散，故选项(B)错误； 选项(C)取 错误！嵌入对象无效。，这时错误！嵌入对象无效。收敛，但 错误！嵌入对 象无效。 发散，故选项(C)错误； 选项(D)取 错误！嵌入对象无效。 ，这时 错误！嵌入对象无效。 收敛，但 错误！嵌入对 象无效。 发散，故选项(D)错误．故正确答案为(A). (4)【答案】(B)． 【解析】因为 错误！嵌入对象无效。 时， 错误！嵌入对象无效。， 又因错误！嵌入对象无效。是单调递增的函数，所以错误！嵌入对象无效。． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)． 【解析】由于将错误！嵌入对象无效。的第2列加到第1列得矩阵错误！嵌入对象无效。 ，故 错误！嵌入对象无效。 ， 即错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 ． 由于交换错误！嵌入对象无效。的第2行和第3行得单位矩阵，故 错误！嵌入对象无效。 ， 即 错误！嵌入对象无效。故错误！嵌入对象无效。．因此，错误！嵌入对象无效。 ，故选 (D)． (6)【答案】(C)． 【解析】由于错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。 的3个线性无关的解， 所以 错误！嵌入对象无效。 是错误！嵌入对象无效。的两个线性无关的解，即错误！嵌入 对象无效。的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项． 又因为 错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。 是错误！嵌入对象无效。的 解，不是错误！嵌入对象无效。的解，故排除(D)选项，因此选(C)． 事实上，由于错误！嵌入对象无效。 是错误！嵌入对象无效。的三个线性无关的解， 所以 错误！嵌入对象无效。 是错误！嵌入对象无效。的两个线性无关的解，即错误！嵌入 对象无效。的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即错误！嵌入对象无效。 ，故错误！嵌入对象无效。 ．由于错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。．这样，错误！嵌入对象无效。的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。 的一个基础解系． 因为错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的解，所以错误！嵌入对象无效。， 因此错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。是错误！嵌入对象无效。的一个特解． 由非齐次线性方程组解的结构，可知错误！嵌入对象无效。的通解为 错误！嵌入对象无效。 ． (7)【答案】(D)． 【解析】选项(D) 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌 入对象无效。 ． 所以错误！嵌入对象无效。为概率密度. (8)【答案】(D)． 【解析】因为 错误！嵌入对象无效。， 所以 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 ，从而有 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。． 因为错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。． 又因为 错误！嵌入对象无效。 ． 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ． 由于当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。 ，所以错误！嵌入对象无效。． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9)【答案】错误！嵌入对象无效。. 【解析】因为错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ， 所以， 错误！嵌入对象无效。 . (10)【答案】错误！嵌入对象无效。 . 【解析】 错误！嵌入对象无效。 , 错误！嵌入对象无效。, 错误！嵌入对象无效。 ， 所以，错误！嵌入对象无效。， 错误！嵌入对象无效。， 从而 错误！嵌入对象无效。或错误！嵌入对象无效。 . (11)【答案】错误！嵌入对象无效。. 【解析】方程 错误！嵌入对象无效。 的两端对错误！嵌入对象无效。求导，有 错误！嵌入对象无效。 ， 将错误！嵌入对象无效。代入上式，有 错误！嵌入对象无效。 ，解得 错误！嵌入对象无效。 ， 故切线方程为：错误！嵌入对象无效。. (12) 【答案】 错误！嵌入对象无效。 . 【解析】如图２所示： 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ． 图２ (13)【答案】 错误！嵌入对象无效。 ． 【解析】因为错误！嵌入对象无效。的各行元素之和为3，所以 错误！嵌入对象无效。 ， 故3为矩阵错误！嵌入对象无效。的特征值． 由错误！嵌入对象无效。知矩阵错误！嵌入对象无效。有两个特征值为零，从而错误！ 嵌入对象无效。 ． 由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为 错误！嵌入对象无效。 ． (14)【答案】 错误！嵌入对象无效。 ． 【解析】根据题意，二维随机变量 错误！嵌入对象无效。服从错误！嵌入对象无效。 ．因 为错误！嵌入对象无效。 ，所以由二维正态分布的性质知随机变量错误！嵌入对象无效。独 立，所以错误！嵌入对象无效。．从而有 x 2 y 1 错误！嵌入 对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 【解析】错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 (16) (本题满分10分) 【解析】 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 由于错误！嵌入对象无效。为错误！嵌入对象无效。的极值，故错误！嵌入对象无效。， 所以，错误！嵌入对象无效。 (17) (本题满分10分) 【解析】令错误！嵌入对象无效。，则错误！嵌入对象无效。,错误！嵌入对象无效。，所以 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 (18) (本题满分10分) 【解析】设错误！嵌入对象无效。， 则 错误！嵌入对象无效。 ， 令错误！嵌入对象无效。，解得驻点错误！嵌入对象无效。 . 所以，当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。单调递减；当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。单调递增；当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。单调递减. 又当错误！嵌入对象无效。时错误！嵌入对象无效。，且错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。时只有一个零点； 又 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 ，由零点定理可知，存在 错误！嵌入对象无效。，使错误！嵌入对象无效。 ； 所以，方程错误！嵌入对象无效。恰有两实根. (19) (本题满分10分) 【解析】 错误！嵌入对象无效。 ， 错误！嵌入对象无效。 由题设有 错误！嵌入对象无效。 ， 上式两端求导，整理得 错误！嵌入对象无效。 ， 为变量可分离微分方程，解得 错误！嵌入对象无效。 ， 带入错误！嵌入对象无效。，得错误！嵌入对象无效。. 所以， 错误！嵌入对象无效。 . (20) (本题满分11分) 【解析】(I)由于 错误！嵌入对象无效。不能由错误！嵌入对象无效。线性表示，对 错 误！嵌入对象无效。 进行初等行变换： 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 ． 当错误！嵌入对象无效。时，错误！嵌入对象无效。，此时，错误！嵌入对象无效。不能由 错误！嵌入对象无效。线性表示，故错误！嵌入对象无效。不能由错误！嵌入对象无效。线 性表示． (II)对 错误！嵌入对象无效。 进行初等行变换： 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ， 故 错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 ． (21) (本题满分11分) 【解析】(I)由于 错误！嵌入对象无效。 ，设 错误！嵌入对象无效。 ，则 错误！嵌入对象无效。，即错误！嵌入对象无效。，而错误！嵌入对象无效。，知 错误！嵌入对象无效。的特征值为错误！嵌入对象无效。，对应的特征向量分别为错误！嵌入对象无效。，错误！嵌入对象无效。 ． 由于错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。． 由于错误！嵌入对象无效。是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设错误！嵌入对象无效。对应的特征向量为错误！嵌入对象无效。 ，则 错误！嵌入对象无效。即 错误！嵌入对象无效。 解此方程组，得错误！嵌入对象无效。，故错误！嵌入对象无效。对应的特征向量为 错误！嵌入对象无效。 ． (II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化： 错误！嵌入对象无效。 ． 令错误！嵌入对象无效。 ，则错误！嵌入对象无效。 ， 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。 ． (22) (本题满分11分) 【解析】(I)因为错误！嵌入对象无效。，所以错误！嵌入对象无效。 ． 即 错误！嵌入对象无效。 ． 利用边缘概率和联合概率的关系得到 错误！嵌入对象无效。； 错误！嵌入对象无效。； 错误！嵌入对象无效。． 即 错误！嵌入对象无效。 的概率分布为 (II)错误！嵌入对象无效。的所有可能取值为错误！嵌入对象无效。． 错误！嵌入对象无效。． 错误！嵌入对象无效。． 错误！嵌入对象无效。 ． 错误！嵌入对象无效。的概率分布为 Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 错误！嵌入对象无效。 错-1 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1/3 全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 答案速查： 一、选择题 二、填空题 三、解答题 （17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18） 1 1)3 + （19）略 （20）11011(1)()()(1),(1,3)532 n n n n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑ （21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]T x k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]T x =- （22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数） （Ⅱ）011101110B -?? ? = ? ?-?? （23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2 (2),01, ()(2),12,0,Z z z z f z z z -< ln(1:故选B.. （2）【答案】 (D) 【解析】方法1:论证法，由0() lim x f x x →存在及()f x 在0x =处连续，所以 00() (0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x →→===（A ）正确； 由于00()(0)() lim lim 0x x f x f f x x x →→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处 连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）. 方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有 00()() lim lim 00x x x x f x f x x x →→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ） 【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而 323 2 2 3(3)()()(),2 8 8 (2)(), 2 F f t dt f t dt f t dt F f t dt π π π π ==+= - = == ???? 所以(3)F - 3 (2)4 F = ，选择C （4）【答案】（B ） 【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y 1 1sin 0 sin 2 (,)(,)x arc y dx f x y dy dy f x y dx ππ ππ-=?? ?? ， 所以选择(B). （5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P P P P Q P P P -= ==--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D) （6）【答案】（D ） 【解析】0 01lim lim ln(1),x x x y e x →→?? =++=∞ ??? 所以0x =是一条垂直渐近线； 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > ()s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 （6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2100200 01B ????=??????100020002C ????=??????，则（ ） (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 2007年研究生入学考试数学三试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→ 等价的无穷小量是 （A ）1- （B ）ln （C 1 （D ）1- [ ] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： （A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()() lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f = . （B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)0f '=. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d x F x f t t =?，则下列结论正确 的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5 (3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4 F F = （D ）5 (3)(2)4F F =-- [ ] （4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1 sin 2 d (,)d x x f x y y ππ?? 等于 （A ）10arcsin d (,)d y y f x y x π π+?? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? （C ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +?? （D ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? （5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1 ln 1e x y x =++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （8）设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则A 与B 2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1.函数x x y --=5) 1ln(的定义域为为 （ ） A. 1>x B.5 A. 1 B. -1 C. 21 D. 2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B. 21- C. 41 D. 4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 所以 dy dx ) 1() 1(x y y x --= ,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！ ='?='''?='='', ?ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B. 9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11 )(2 --=x x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2 1 (内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的 解: 在)1,21 (内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函 数)(x f 在)1,2 1 (内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 2004年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(2 1σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛. 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><> 2017年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解 】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 （A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】 22,,2f f f xy x z x y z ???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以 22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 ()01 4,1,0(1,2,2)23f gradf n n ?=?=?=?应该选（D ） ４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t > 【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线 2006年全国硕士研究生入学考试数学（三） 一 填空 (1)()11lim _________n n n n -→∞ +?? = ??? (2)设函数()x 2f x =在 的 某领域内可导,且()() (),21f x f x e f '==,则 ()2_________f '''= (3)设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz = (4)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B = (5)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则 (){}max ,1_________P X Y ≤= (6)设总体X 的概率密度为()()121,,, (2) x n f x e x x x x -= -∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2 S ,则E 2 S =__________ 二 选择题 (7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 ( ) (A)0dy v < 2005年考研数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线1 22 +=x x y の斜渐近线方程为 _____________. （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1)1(-=y の解为. ____________. （3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3 1= n ρ，则) 3,2,1(n u ??=.________. （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界 の外侧，则 ??∑ =++zdxdy ydzdx xdydz ____________. （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .. （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =____________. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前の字母填在题后の括号内） （7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ?表示“M の充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数? +-+-++=y x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导 数，则必有 (A) 2222y u x u ??-=??. （B ） 2222y u x u ??=??. (C) 222y u y x u ??=???. (D) 222x u y x u ??=???. [ ] ２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】 令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 2017年考研数学三真题及解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ） (1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ???????? --=---+=++ ? ? ? ? ????? ???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时， 级数的一般项是关于1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）． 2007 年考研数学二真题 一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】 B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2) 函数在上的第一类间断点是 (A)0(B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】 A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是 , (A) (B) (C) (D) -3-2-10123 【答案】 C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义 确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除 (B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4) 设函数在处连续，下列命题错误的是 ．． (A) 若存在，则 (B) 若存在，则 (C)若存在，则存在 (D) 若存在，则存在 【答案】 D。 【解析】 (A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确； (B) ：若 (C),则 存在，则， 故 (B) 正确。存 在，知，则 则存在，故 (C) 正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5) 曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3 2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国3理）试题精析详解 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知α为第三象限角，则2 α所在的象限是 （ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性. 【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以(2,2)()2 k k k Z π απππ∈--∈， 所以 (,)()2 24k k k Z α π πππ∈- -∈，即2 α 所在的象限是第二或第四象限.选D 解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D 解法(3)用特值法令 0135α=-和0225α=,也可以得到答案D 【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如 n α (1)先写出α范围(2)再求出除以n 的范围(3)再分成n 类情况讨论可完成. 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10 【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系. 【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有422 m m -=-+，得8m =-. 选B. 解法(2)可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案B. 【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．28 【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用. 【正确解答】8 8 8 (1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+，5x 的系数为45 8814C C -=. 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 1 lim 2x b a + →==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则 2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 21 2∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是 2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题 一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1.若tgα= 21,则tg(α+4 π )= . 2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 . 3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= . 4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－ 21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=3 8 ,则a 1= . 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 . 6.已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 . 7.在极坐标系中,点M(4,3 π )到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= . 8.圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 . 9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示) 10.若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 . 11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和. 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13.在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ?β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. 14.三角方程2sin( 2π -x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+3 π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π ,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±3 π ,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15.若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到,则 f(x)=( ) (A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x . 16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 (A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业. 2007年数学一 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0x + →等价的无穷小量是 (A) 1- (B) (C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x + →时，有1(1)~-=--1~ ； 211 1~ .22 x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1 ln(1)x y e x = ++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0 1lim[ln(1)]x x e x →++=∞，所以0x =为垂直渐近线； 又 1lim[ln(1)]0x x e x →-∞ ++=，所以y=0为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11x x x e e →+∞=+， 1 lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞ →+∞ -?=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞ +- =lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞ →+∞ +-=+=， 于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D). (3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0 ()().x F x f t dt = ? 则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =- -. (B) 5 (3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4 5 )3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的 关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1 (2)2 F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ= ?-?==3 (2)4 F ， ?? ---==-0 3 3 )()()3(dx x f dx x f F )3()(3 F dx x f ==? 因此应选(C).2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
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