平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

一、考试内容要求：

(一)、平面向量：

（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示.

（2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.

（3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

（4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

（5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量

语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

二、知识要点归纳：

(一)、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、既有大小又有方向

的量叫做向量.

§2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向

量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与

任意向量平行.

§2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、b a +≤b a +.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.

2、三角形减法法则和

平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，

它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,

⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、平面向量共线定理：向量()

0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

a b λ=.

§2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这

一平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵

()2121,y y x x b a --=-，

⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x =?.

2、设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x --=.

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则

⑴线段AB 中点坐标为()2

y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()333

,y y y x x x ++++. §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

1、 θb a =?.

2、在θ.

3、 2

=. 4、=. 5、 0=??⊥b a b a . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则：

⑴2121y y x x +=? 2121y x +=

⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-=

2、设()()2211,,,y x B y x A ()()212212y y x x -+-=.

3、

两向量的夹角公式

cos a b a b

x θ?=

4、点的平移公式

平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.

x x h

y y k '=+??

'=+?

函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=- §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.

高考试题(2010―2014) 一、选择题（共 39 题）

1、（2010全国2）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，

2b =，则CD =

（A ）1

233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355

a b + 答案：B 2．（2011全国）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12

-，,a c b c --=060，则c 最大值等于

A ．2

B ．3

C ．2

D ．1 答案：A

3．（2011全国新课标）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3

P a b π

θ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??

+>?∈

???

3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??

->?∈ ???

其中的真命题是

A ．14,P P

B ．13,P P

C ．23,P P

D ．24,P P 答案：A

4、（2012全国）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，

||2b =，则AD =

（A ）1

133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455

a b - 答案：D 5．（2012全国新课标）已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ （A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 答案：B ． 6.（2014全国）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（）

A ．2 B

C ．1 D

．

答案：B ． 7、（2014全国新课标2）设向量a,b 满足|a+b

|a-b

a ?

b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 答案：A

8、（2010安徽）设向量)2

1,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（A ）||||b a = （B ）2

?b a （C ）b b a 与-垂直（D ）b a // 答案： C 9、（2012安徽）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34

后，得向量OQ 则点Q 的坐标是（）

()

A (- ()B

(- ()C

(2)-- ()

D (2)- 答案：A 10、（2013安徽）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足

2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλ

μ==++≤∈所表示的区域的

面积是

（A ）

（B ）

（C ）（D ）答案：D

11.（2010福建）若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2

221

x y a

-=（a>0）的中心

和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op

fp 的取值范围为

A. [3- +∞）

B. [3+ +∞）

C. [74

-, +∞） D. [74

, +∞）答案：B ．

12．（2011福建）已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域2

2x y x y +≥??

≤??≤?

上的一个动点，则OA OM ?的取值范围是( )

A ．[－1，0]

B ．[0，1]

C ．[0，2]

D ．[－1，2] 答案： C 13．（2010湖北）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC --→--→--→

+=+.若存在实数m 使得

AB AC AM m --→

--→

+=成立，则m=

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 答案：B ． 14．（2011湖北）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等

式1x y +≤，则z 的取值范围为

A ．[-2，2]

B ．[-2，3]

C ．[-3，2]

D ．[-3，3] 答案：D 15、（2013湖北）已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）

C. D. 答案：A

16．（2010湖南在Rt ABC ?中，90C ∠=，4AC =，则AB AC 等于

A ．16-

B ．8-

C ．8

D ．16 答案：D

17.（2012湖南）在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =.

C. 答案：A 18. （2013湖南）已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足

1,c a b c --=则的取值范围是

A ．??

B ．??

C ．1????

D ．1???? 答案：A

19．（2011辽宁）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的最大值为 A ．

12-

B ．1

C ．2

D ．2 答案：B ．

20、（2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为

（A ）345

5?? ???

，- （B ）435

5?? ???

，- （C ）3455??- ???

，（D ）4355??

- ???

，答案：A

21、（2014辽宁）设,,a b c 是非零向量，学科网已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）

A ．p q ∨

B ．p q ∧

C ．()()p q ?∧?

D ．()p q ∨? 答案： C

22、（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的

)(),,(q p b v m a ?==。令a ⊙ .np mq b -=下面说法错误的是

（A ）若a 与b 共线，则a ⊙0=b （B ）a ⊙b b =⊙a （C ）对任意的)(,a R λλ有∈⊙a b (λ=⊙)b （D ）a (⊙222||||)()b a b a b =?+2 答案：B ． 23．（2011山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若

1312A A A A λ= （λ∈R ）

，1412A A A A μ=（μ∈R ），且1

2λ

=,则称3A ，4A 调和分

割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是（A ）．C 可能是线段AB 的中点（B ）．D 可能是线段AB 的中点（C ）．C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）．C ，D 不可能同时在线段AB 的

延长线上答案：D

24．（2011陕西）设,a b 是向量，命题“若a b =-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是 A ．若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ B ．若a b =-，则∣a ∣≠∣b ∣ C ．若∣a ∣≠∣b ∣，则a b ≠- D ．若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b 答案：D 25.（2013陕西）设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

（） A 0 B 1 C 5 D 10 答案：B ． 27．（2013上海）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别

为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++?++的最小值、最大值，其中

{,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足（）.

(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M << 答案：D ． 28、（2010四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，

16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=

（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1 答案：C 29、（2011四川）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=

30、(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D 30 （2012四川）、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||

a b

a b =

成立的充分条件是（）

A 、a b =-

B 、//a b

C 、2a b =

D 、//a b 且||||a b = 答案：C 31．（2014四川）平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2 答案：D

32、（2012天津）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，

=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3

BQ CP ?-

，则=λ

（A ）12 （Ｃ）12± （Ｄ）32-± 答案：A

33、（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE

BC ，DF

DC .若1AE AF ，2

CE CF

，则（）

（A ）1

（B ）23

（C ）56 （D ）

答案：C 34．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量．

A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b

B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb

D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 答案：C

35．（2013浙江）设0,P ABC ?是边AB 上一定点，满足AB B P 4

0=，且对于边AB 上任

一点P ，恒有C P B P 00?≥?。则

A. 090=∠ABC

B. 090=∠BAC

C. AC AB =

D.BC AC = 答案：D 36、（2010重庆）已知向量b a ,满足2||,1||,0===?b a b a ，则=-|2|b a （） A 、0 B 、22 C 、4 D 、8 答案：B ．

37、（2012重庆）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，则a b +=

（A （B （C ）（D ）10 答案：B ． 38、（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12

OP <，则OA 的取值范围是（）

A 、

B 、 22? ??

C 、 2

? ? D 、2? ? 答案：D 39、（2014重庆）.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=

.2A -

.0B C.3 D. 15

答案：B ．

二、填空题（共题）

1、（2012全国新课标）已知向量,a b 夹角为45? ，且1,210a a b =-=；则_____b =答案：

2、（2013全国新课标1）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，b a c )1(t t -+=.若

c b ?=0，则 t =____________.答案：2

3、（2013全国新课标2）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则

AE BD ?=_______。答案：2

4、（2014全国新课标1）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO AB AC =+，

则AB 与AC 的夹角为答案.2

5、（2011安徽）已知向量a,b 满足(a+2b )·(a-b)=-6，且|a |=1,|b |=2，则a 与b 的夹角为答案：3

6、（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成.记S=x 1`y 1+x 2`y 2+x 3`y 3+x 4`y 4+x 5`y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.

①S 有5个不同的值 ②若a ⊥b ，则S min 与a 无关 ③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则Smin>0 ⑤若a b 2=，Smin=2

8a ，则a 与b 的夹角为4

π 答案；②④

7．（2011北京）已知向量a =（3，1），b =（0，-1），c =（k ，3）。若a -2b 与

c 共线，则k=___________________。答案：1

8．（2012北京）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为______。答案：1，1

9、（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ

答案：4

10、（2014北京）已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则

λ=________.答案：5

11．（2011福建）设V 是全体平面向量构成的集合．若映射f ：V →R 满足：

对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有f (λa ＋(1－λ)b )＝λf (a )＋(1－λ)f (b )，则称映射f 具有性质P .

现给出如下映射：

①f 1：V →R ，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R ，f 2(m )＝x 2＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R ，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .

其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号答案：①③

12.（2014湖北）设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________. 答案：±3

13、（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则

________AD BE ?=。答案：1

14．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点

A(1,0),-C(3 0)动点D

满足 1CD =，则 OA OB OD ++的最大值是__________。答案：15.（2010江西）已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，则a b -= 答案：

16．（2011江西）已知2a b ==,(2)a b +·a b -（）=-2，则a 与b 的夹角为

答案：

17、（2013江西）.设1e ，2e 为单位向量。且1e ，2e 的夹角为3

π，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的射影为答案：5／2

18、（2014江西）.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1

cos 3

α=，向量1232a e e =-与

123b e e =-的夹角为β，则cos β=

19、（2013山东）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,AB AC ==若

,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ的值为答案：

20、（2014山东）在ABC ?中，已知tan AB AC A ?=，当6

A π

=时，ABC ?的面积为 .

答案：1／6

21.（2010陕西）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c ，则答案： m=-1 22。（2010上海）如图所示，直线x=2与双曲线2

4y λΓ-=

的渐近线交于1E ,2E 两点，记1122,OE e OE e ==，任取双曲线Γ上的点P ，若12,()OP ae be a b R =+∈、，则a 、b 满足的一个等式是答案： 4ab=1

23．（2012上海）若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。 24．（2012上海）在平行四边形ABCD 中，3

=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，

若M 、N 分别是边BC 、CD =?的取值范围

是（2，5）。

25、（2013四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________。答案：2

26、（2010天津）如图，在ABC 中，

AD AB ⊥,3BC BD =,

1AD =,则AC AD = .3

27、（2013天津）在平行四边形ABCD 中, AD = 1,

60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若

·1AD BE =,

则AB 的长为答案：1／2

28、（2010浙江）已知平面向量),0(,ββ≠≠a a a 满足a a -=ββ与且,1的夹角为120°

则a 的取值范围是。答案：23 29．（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边

的平行四边形的面积为1

，则α与β的夹角θ的取值范围是。答案：

5[,]66

ππ 30．（2013浙江）设21,e e 为单位向量，非零向量R y x e y e x ∈+=,,21，若21,e e 的夹角

为6

的最大值等于________。答案：2

31．（2011重庆）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________ 答

32、（2011江苏）已知→

→

21,e e 是夹角为π3

2的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=?→→b a ，则k

的值为答案：5／4 33．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，

2AB BC ==，点E 为BC 的中点，

点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是

▲ ．答案：

34、（2014江苏）如图，在平行四边形ABCD 中， 35、已知8=AB ，5=AD ，3=，2=?，

36、则AD AB ?的值是 ▲ . 答案：22

三、解答题

1、（2010江苏）（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

2．（201江苏本小题满分14分）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．

（第12题）

平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法

平面向量历年高考题汇编难度高

数学平面向量平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于（） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B

五：平面向量与空间向量十年高考题(含答案)

第五章平面向量与空间向量 ●考点阐释 1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题. 向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法. 坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题. 2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编一、选择题 1.（2002春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ） 2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（） A.3x +2y －11=0 B.（x －1）2+（y －2）2=5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0 3.（2001、、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（） A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4） 4.（2001、、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 ?等于（） A. 4 3 B.－ 4 3 C.3 D.－3 5.（2001）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A 1=c .则下列向量中与 M B 1相等的向量是（） A.－ 21a +2 1 b + c B. 21a +21b +c C. 21a －2 1 b + c D.－ 21a －2 1b +c 6.（2001、、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（）

平面向量基础知识

b a B A O a -b 平面向量基础知识 1．向量的概念 (1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量． (2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |．注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量． (3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念． ①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立． 2．向量运算 (1)加法运算 ①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC ．这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则．由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a 与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． ②运算性质： a + b =b +a (交换律)； (a +b )+ c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ． (2)减法运算 ①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量．记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．) ②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )．求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB 如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减法的三角形法则． (3)实数与向量的积： ①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|?|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|?|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0． ②运算律： B A C a +b a b B A C a +b a b D a b

2021高考数学教材知识点归纳《平面向量》

高中数学第五章-平面向量考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式． §05. 平面向量知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O . 单位向量a O为单位向量｜a O｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） (6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则 2.三角形法则 AB ? ? ? ? ? = = ? 2 1 2 1 y y x x ?? 1212 (,) a b x x y y +=++ a b b a +=+ ()() a b c a b c ++=++

平面向量与空间向量知识点对比

平面向量与空间向量知识点对比内容平面向量空间向量定义既有大小，又有方向既有大小，又有方向表示方法（1）用有向线段AB 表示；（2）用c b a ,,或a,b,c 表示模向量的长度，用|AB |或|a |表示零向量长度为0的向量，记为a 单位向量模为1的向量叫做单位向量相等向量长度相等，方向相同的向量叫做相等向量相反向量长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA 夹角范围 0≤θ≤π 0≤θ≤π 数乘平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 共线向量定理向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量() 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量共线（共面）向量( ) 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使 b y a x p += 点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线 OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四点共面数量积 θcos b a b a ?=? θcos b a b a ?=?

运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律向量的运算线性运算坐标运算线性运算坐标运算加法三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB= + 平行四边形法则：同起点，对角线 () 2 1 2 1 ,y y x x b a+ + = + 三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a+ + + = + 减法三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：CB AC AB= + () 2 1 2 1 ,y y x x b a- - = - 三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如： CB AC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a- - - = - 数乘倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 数量积模夹角平行 1221 //0 a b a b x y x y λ ?=?-= 2 1 2 1 2 1 , , //z z y y x x b a b aλ λ λ λ= = = ? = ? cos a b a bθ ?=cos a b a bθ ?= 1212 a b x x y y ?=+ 121212 a b x x y y z z ?=++ 1122 (,)(,), a x y b x y == 若，则有 111222 (,,)(,,) a x y z b x y z == 若，，则有 a a a =?22 11 a x y =+a a a =?222 111 a x y z =++ cos a b a b θ ? =1212 2222 1122 cos x x y y x y x y θ + = ++ cos a b a b θ ? =121212 222222 111222 cos x x y y z z x y z x y z θ ++ = ++++ (0) a b b λ =≠111222 222 x y z x y z x y z ==≠ （） (0) a b b λ =≠ 11 22 22 x y x y x y =≠ （）

平面向量基础知识复习+练习(含答案)

平面向量 1. 基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算： (1)A] A2 A2A3 A n i A n A1A n . ⑵若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则 a b= ( X i x?, y i y ). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB = a、AD = b为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量 AC = a + b, BD=b —a,DB = a —b 且有丨a I —I b I <| a b I <| a I + I b I . 向量加法有如下规律： a + b = b + a (交换律)；a+(b+c)=(a+ b)+c (结合律)；—F- —F —k —V- a + 0= a a + (—a )=0. 3 .实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。 (1) I a I = I I?I a I ; (2) 当 >0时，a与a的方向相同；当v 0时，a与a的方向相反；当=0时， —t a = 0. (3) 若a= ( X i, y i)，则a= ( X i, y i). 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= a . ―b- —te- (2) 若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则a // b x』2 x? y i 0 . 平面向量基本定理：若e i、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 —*■ 一对实数i, 2，使得a = i e i+ 2 e2.

平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2 ；解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10）设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。二、向量的线性运算 1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

历年平面向量高考试题汇集学习资料

历年平面向量高考试题汇集

高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ，则锐角α为（） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+ x )－ 2 D.y=sin(3 21π -x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为（）

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则：） AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 ) （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

平面向量及其应用高考真题复习doc

一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=， 2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（） A ．//P B CQ B ．2133 BP BA BC = + C ．0PA PC ?< D ．2S = 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（） A ．1122AE A B A C → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB → →→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 6．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（）

高三一轮复习平面向量知识点整理

平面向量知识点整理 1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．（2）单位向量：长度等于1个单位的向量．（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有零向量) ④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a （6）向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 2 2 222||,||a x y a a x y = +==+。）（8）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 13； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律： ()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B

(完整版)平面向量高考真题精选(一)

平面向量高考真题精选（一）一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、

BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N

高考平面向量知识点总结

咼考平面向量知识点总结设、两点的坐标分别为 x 1,y 1 , x 2,y 2 ,贝U uuur X i X 2,y i y - 19、向量数乘运算： ⑴实数与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a . ① I 剳丨ii a ； ② 当o 时，a 的方向与a 的方向相同；当 o 时，a 的方向与a 的方向相反；当 r r 0 时，a 0 . ⑵运算律：① a a :② aaa :③a b a b . ⑶坐标运算：设a x, y ，贝U a x, y x, y . 16、向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 单位向量：长度等于 1个单位的向量. 零向量：长度为 0的向量. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点：共起点. ⑶三角形不等式： a HI ⑷运算性质：①交换律：abba ； ②结合律：a b c a b c :③a 0 0 a a . r r ⑸坐标运算：设a x 1, y-! ,b x 2, y 2，贝U a b x 1 x 2,y 1 y 2 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. ⑵坐标运算：设a rb % X1 X 2,y 2 r [ ，贝U a b x 1 x 2, y 1 y 2 D

20、向量共线定理：向量a a o 与b 共线，当且仅当有唯—个实数，使b a . 设a N ，y i ，b X 2，y 2 ，其中b 0，则当且仅当x 』2 X 2y i 0时，向量a 、 b b 0共线. 21、平面向量基本定理：如果 e 、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意 r r u uu ur uu 向量a ，有且只有一对实数 1、 2，使 a 1e i 2e 2 ?（不共线的向量 e 1、作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点是线段1 2上的一点， 1、 2的坐标分别是 X 1,% ， X 2,y 2，当 uuu mir x x y y ， 1 2时，点的坐标是- 1 x 2,!! y2 ?（当 1时，就为中点公式。） 1 2 1 1 23、平面向量的数量积: ⑶运算律：①a b b a :② r r 设a 、b 都是非零向量，a x 1, y 1 , b y2 y1 卷 X1 r b r a y2 X2, % X1, y2 y1 X1> r a 设 2 y ⑷坐标运算：设两个非零向量a 若 a x, y ，贝y a 2 x 2 y 2，或 a o y1 X2 X1 r cos a b X 1X 2 yy 180 ?零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质：设a 和b 都是非零向量, ；当a 与b 反向则① r r a b 0 .②当a 与b 同向时, a 2或a 、、訂.③ r i r a b a x 2,y 2 , 是a 与b 的夹角，贝U s co r b ra ra a

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