平面向量和空间向量的类比学习方法

1、向量在高中教材的分布

向量（既有大小又有方向的量）能够简化三角、平面几何、立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节的内容。必修的数学 4 的第二章以平面向量为内容，具体包括“向量的概念与表示”、“向量的线性运算”、“向量的坐标表示”、“向量的数量积”和“向量的应用”等知识点。“空间向量”则是选修课程系列2-1 的第三章的主要组成部分，以空间向量及其在立体几何中的应用为主要内容，具体包括“空间向量及其运算”和“立体几何中的向量方法”两个知识点。

2、“平面向量”和“空间向量”的基本概念

向量把代数和几何的知识点有机地联系起来，可以帮助学习者从整体上理解数学知识之间的内部联系。向量的运算法则是以运算律的形式表现的，受这种形式影响，容易将向量与代数知识画上等号。实际上，向量不仅属于代数范畴，也属于几何的范畴。平面向量和空间向量是向量研究的两个维度，向量的本身所具有的代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，使向量体现出数学中的数形结合思想。

2.1 平面向量

在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。

如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且

只有一对实数λ1、λ2，使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

2.2 空间向量

在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。

空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a +y b +z c ,其中{ a、b、c}叫做空间的一个基底，a、

b、c都叫做基向量。

2.3 平面向量与空间向量的关系

平面向量与空间向量研究的范围不同，平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量。空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容，是平面向量及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学习者的认知结构，为他们提供了新的学习视角、观点和方法，为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定基础。

3、探究性学习过程描述与分析

数学探究性教学本质上是数学知识和规律的再建构和再创造的过程。通过研究相关理论知识，增强理论素养。问题是数学学习的心脏，是探究性教学的核心要素。

3.1 发现并提出问题

对于一个新概念，通常我们是通过现有知识与新知识的联系建立认知途径。面对向量、平面向量和空间向量这样三个基本概念，我们通常会产生这样几个疑问：

（1）对于向量这样一个同样作为量的数学概念，与数量之间具有什么样的关系？

（2）平面向量和空间向量有什么联系和区别？

（3）计算中，平面向量和空间向量在方法上有何不同？

3.2 对问题做出假设

以上述三个问题为例，我们发现，面对自己提出的问题，多数同学通常会急于通过借助翻阅教材或向老师提问等方式来为自己的好奇心找到答案。探究性学习方法与传统方法不同，在提出问题之后，并不是直接进入分析问题和解决问题的程序，而是通过思考，借助原有的知识储备和知识运用能力对问题可能的结果提出可能的假设。当面对向量和数量的关系问题时，我头脑中第一反应是它们都带有“量”字，应该都有表示大小多少的属性。向量有可能是一个有方向的数量。对于平面向量和空间向量的联系与区别，我试图通过平面与空间本身的关系来理解平面向量和空间向量的关系，平面是二维的，空间是三维的，空间的组成离不开平面，平面向量和空间向量一定有很多相似之处。

3.3 分析问题

要分析第一个问题，前提条件是明确数量本身的概念。数量是表示事物的量的一个概念。而向量是表示有大小有方向的量的概念。因此，我发现向量和数量有相同之处，都是可以表示大小多少的概念，但向量又不同于数量，它是一种新的量，数量的代数运算规则在向量范围内无效。以此类推，对于第二和第三个问题，可以通过研读教材，从平面向量和空间向量本身的定义、表示方法（图形表示、符合表示、坐标表示）、相关概念、运算、重要定理等角度逐个进行类比，最后以表格等形式将类比点和结论呈现出来。

3.4 解决问题

在对问题进行分析获得了大量数据的基础上，将一组组的类比数据、概念、定理等进行比较，挖掘空间向量与平面向量之间内在的联系，将在平面向量中学到的思想和方法推广到空间

向量中去，这样就将知识点之间建立起联系，而不是以孤立的方式学习各个知识点。向量数与形的双重身份使它成为中学数学知识的交汇点，通过对问题的分析，帮助学习者建立代数与几何的联系，构造其知识的网络。同时，这种学习方法，还可也为学习者从中学数学向高等数学的过渡奠定一个直观的数学学习方法论基础。

4、数学中进行探究性学习的意义

探究性学习给学习者提供了更多的参与机会，在参与过程中，学习的兴趣更高，劲头更足在对知识的探究学习中，其思维更加活跃，在动脑、动手、动眼过程中感受和理解新的知识，并且因为问题的解决而获得满足感，激发出数学学习的兴趣。学习者积极参与问题的探究，这不仅可以亲身体验新知识产生的过程，同时还可以提高其归纳和总结能力。

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ，则锐角α为（） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为（） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时跟踪训练北师大版选修21

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时跟踪训练北师大版选修21 [A 组基础巩固] 1．下列说法正确的是( ) A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C ．向量的大小与方向有关 D ．向量的模可以比较大小解析：任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个非负实数，故可以比较大小．答案：D 2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知，只有②正确，故选B. 答案：B 3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD → |，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定解析：若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC →|＝|BD → |，

五：平面向量与空间向量十年高考题(含答案)

第五章平面向量与空间向量 ●考点阐释 1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题. 向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法. 坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题. 2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编一、选择题 1.（2002春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ） 2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（） A.3x +2y －11=0 B.（x －1）2+（y －2）2=5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0 3.（2001、、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（） A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4） 4.（2001、、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 ?等于（） A. 4 3 B.－ 4 3 C.3 D.－3 5.（2001）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A 1=c .则下列向量中与 M B 1相等的向量是（） A.－ 21a +2 1 b + c B. 21a +21b +c C. 21a －2 1 b + c D.－ 21a －2 1b +c 6.（2001、、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（）

平面向量与空间向量知识点对比

平面向量与空间向量知识点对比内容平面向量空间向量定义既有大小，又有方向既有大小，又有方向表示方法（1）用有向线段AB 表示；（2）用c b a ,,或a,b,c 表示模向量的长度，用|AB |或|a |表示零向量长度为0的向量，记为a 单位向量模为1的向量叫做单位向量相等向量长度相等，方向相同的向量叫做相等向量相反向量长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA 夹角范围 0≤θ≤π 0≤θ≤π 数乘平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 共线向量定理向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量() 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量共线（共面）向量( ) 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使 b y a x p += 点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线 OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四点共面数量积 θcos b a b a ?=? θcos b a b a ?=?

运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律向量的运算线性运算坐标运算线性运算坐标运算加法三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB= + 平行四边形法则：同起点，对角线 () 2 1 2 1 ,y y x x b a+ + = + 三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a+ + + = + 减法三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：CB AC AB= + () 2 1 2 1 ,y y x x b a- - = - 三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如： CB AC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a- - - = - 数乘倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 数量积模夹角平行 1221 //0 a b a b x y x y λ ?=?-= 2 1 2 1 2 1 , , //z z y y x x b a b aλ λ λ λ= = = ? = ? cos a b a bθ ?=cos a b a bθ ?= 1212 a b x x y y ?=+ 121212 a b x x y y z z ?=++ 1122 (,)(,), a x y b x y == 若，则有 111222 (,,)(,,) a x y z b x y z == 若，，则有 a a a =?22 11 a x y =+a a a =?222 111 a x y z =++ cos a b a b θ ? =1212 2222 1122 cos x x y y x y x y θ + = ++ cos a b a b θ ? =121212 222222 111222 cos x x y y z z x y z x y z θ ++ = ++++ (0) a b b λ =≠111222 222 x y z x y z x y z ==≠ （） (0) a b b λ =≠ 11 22 22 x y x y x y =≠ （）

北师大版数学高二从平面向量到空间向量参考导学案北师大版选修2-1

高中数学从平面向量到空间向量参考导学案北师大版选修2-1 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质

2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(2 1 OB OA OP += ,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是：；（向量表示） ⑵ 若),(),,(221 1y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥的充要条件是：；（坐标表示）（三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→ ?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的

平面向量与空间向量有关内容的比较

空间向量及其运算（一）

例1 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式: ⑴AB BC + ； ⑵AB AD AA '++ ； ⑶12 AB AD CC '++ . 练习 1.已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式：（1）AB BC CD ++ ；（2）1()2AB BD BC ++ ；（3）1()2 AG AB AC -+ ．例2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DC 的中点. (1)求AE 与D 1F 所成的角； (2)证明AE ⊥平面A 1D 1F . B C D M G A

练习2.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 课后练习一、基础夯实 1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B. OC OB OA OM 2 13151++= C.0=++MC MB MA D.0=+++OC OB OA OM 2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( ) A.?? ? ??135,1312 B.?? ? ??-- 135,13 12 C.??? ??--??? ??135 ,1312135, 1312 或 D.?? ? ??±± 135,13 12 3.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( ) A.a B.b C. c D.2a 4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( ) A.(0， 2 π) B.［0， 2 π］ C.(0，π) D.［0，π］ 5.若a 与b 是垂直的，则a 2b 的值是( ) A.大于0 B.等于零 C.小于0 D.不能确定 6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A.0 B. 2 5 C. 2 21 D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A.0 B.6 C.-6 D.±6 10. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a +b 对应的点为( ) A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2) 11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( ) A.arc cos 85 854 B.85 69arcsin C.85 854 arccos -π D.90° 12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则 2 12121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( ) A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???，故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：

期末复习专题空间向量与立体几何

【同步教育信息】一. 本周教学内容：期末复习专题：空间向量与立体几何二. 知识分析：知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??，故实质上应有： cos cos ,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。（）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。（9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题一、考试内容要求： (一)、平面向量：（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. (二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量

语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。二、知识要点归纳： (一)、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

从平面向量到空间向量教学设计

从平面向量到空间向量(教学设计) 淮北实验高级中学李德锋【教学目标】 1．知识与技能 (1)理解空间向量的概念． (2)掌握空间向量的两种表示法． (3)掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念． 2．过程与方法通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力． 3．情感、态度与价值观学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物．【教学重难点】重点：理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念．难点：准确找出已知平面的法向量．【教学过程】一、自主学习（一）、向量概念观看微课《平面向量的故事》，回顾平面向量的有关概念。完成下面问题问题1：如何求空间向量的夹角？问题2：类比写出空间向量的下列概念：单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量。（二）、向量、直线、平面阅读课本26页，理解空间直线的方向向量，平面的法向量概念。完成下面问题问题3：如何找出空间直线的方向向量，平面的法向量？问题4：过一定点A 且方向向量为a 的空间直线确定吗？过一定点A ，且法向量为a 的平面确定吗？二、课堂探究探究一:空间向量的有关概念例1下列命题不正确的是_______． ①单位向量都相等. ②任一向量与它的相反向量不相等． ③若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ∥b ④若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ⑤若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4 . ⑥共线的向量，若起点不同，则终点可能相同．

探究二:直线的方向向量与平面的法向量例2如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D ，平面AB 1C 的一个法向量．探究三:求空间向量的夹角例3、如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求下面向量的夹角 (1)〈BA 1→，CC 1→〉(2)〈BA 1→，B 1C 1→〉；(3)〈BA 1→，AD 1→ 〉． (4)〈BA 1→，D 1C →〉；(5)〈BA 1→，D 1A →〉；(6)〈BA 1→，DA → 〉．三、课堂检测 1.判断命题的真假 (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． (4)向量BA →与向量AB → 的长相等 2．习题2-1A 组2、3、4 四、小结 1、你有哪些知识方面的收获？ 2、你有哪些数学思想方法上的收获？五、课后思考试用类比的思想探究空间向量有哪些运算

第八章平面向量与空间向量

第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算一、知识导学 1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点，作=a ，=，则向量叫做与b 的和。记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则向量叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面

【精品】高三数学专题——平面向量与空间向量

平面向量与空间向量平面向量及其运算一、知识导学1.模(长度）：向量AB 的大小,记作|AB ｜.长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2。平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作—a 。 5。向量的加法：求两个向量和的运算. 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，=，则向量叫做与b 的和.记作a +b 。 6.向量的减法:求两个向量差的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点O,作=a ，=b ，则向量叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ，并规定：

①λa 的长度｜λa |=｜λ｜·｜a |； ②当λ＞0时,λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时,λa =0 （2)实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数,则 ①λ(μa )=（λμ）a ②（λ+μ)a =λa +μa ③λ（a +）=λa +λ 8.向量共线的充分条件:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数

λ，使得b ＝λa 。另外，设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a //b ?x 1y 2－x 2y 1=0 9。平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 10.定比分点设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比.若点P 1、P 、P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x ，y)， (x2，y2),则有特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有?? ?? ? +=+=222 1 21y y y x x x 11.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ｜｜b |cosθ叫做a 与b 的数量积（或内积),记作a ·b ，即a ·b ＝|a ｜|b ｜cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积是0。（2）几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度｜a ｜与b 在a 的方向上的投影｜b ｜cosθ 的乘积。 (3）性质:设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则e ·a ＝a ·e ＝｜a ｜cosθ ，a ⊥b ?a ·b ＝0 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ｜|b ｜当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ｜｜b ｜特别地，a ·a ＝｜a ｜2或|a |＝a a ?cosθ＝b a b a ??｜a · b |≤｜a ｜|b | （4）运算律：a ·b ＝b ·a (交换律)(λa )·b ＝λ(b ·a ）＝a ·(λb ）（a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c

平面向量知识点归纳

第一章平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当 0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 2.2平面向量的基本定理及坐标表示 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作

高二数学 3.1《空间向量》教案(1)(沪教版)

3.1空间向量一、教学内容分析向量是高中数学的基本内容.它是研究解析几何与立体几何重要工具，也是将来研究力学、电学等现代科学技术的有力工具.空间向量的引入，可以实现空间结构的代数化，对于处理立体几何问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量的运算，使得空间位置问题的解决变得可计算化，数形结合，有利于克服空间想象力的障碍，提高学生运用数学知识分析解决问题的能力.本节课是空间向量第一节课，知识技能上的重点是把平面向量的有关概念及运算推广到空间，并理解其意义，掌握空间向量的线性运算和数量积.例1是在正六面体中寻找与已知向量相等、平行的向量，巩固空间向量的概念；例2要求读者根据自己的理解，从平面向量的线性运算率类比得到空间向量的运算率，例3是对上述知识的巩固，引申出空间向量平行的判定法则；例4则是对空间向量的模、夹角、内积等概念、运算的综合考察，要求读者能够根据平面向量的概念自行类比寻找求解方法.本节课在能力上着重培养学生类比和推广的能力，领悟类比的数学思想方法.为后面学习打好基础. 二、教学目标设计 1、理解空间向量的概念; 2、掌握空间向量的线性运算与内积运算. 三、教学重点及难点重点：理解空间向量的概念.

难点：掌握空间向量的运算. 四、教学用具准备三角尺五、教学流程设计六、教学过程设计（一）问题引入 1、复习：平面中向量是如何定义的？ 2、思考：能否把平面向量的概念拓展到空间？如果可以，概念是怎样的. （二）学习新课 1、空间向量的概念表格形式呈现：

例题讲解例1 在正六棱柱中，指出（1）与相等的向量; （2）的负向量; （3）与平行的向量. [说明] 小结空间向量基本概念，启发学生运用类比的思想思考空间向量的加减法运算法则. 2、空间向量的运算例2（教材P39 例题2） [说明]空间向量的加减法则与平面向量一致. 巩固练习：教材P39 例题3 将问题改为：（1）试用向量表示向量；（ 2 ）判断 . 位置关系[说明]将原问题分步，使得每一位学生都能够从容解答，巩固新知. 并类比推导出空间向量平行判定法则. 3、空间向量的内积运算例3（教材P40 例题4） [说明]教师不作任何引导，让学生通过平面的概念自行寻找方法求解. 4、课堂小结空间向量与平面向量概念一脉相承，运算法则相同，我们研究空间向量问题，完全可以借助平面向量中的解题方法来类比解决.