导数与定积分分类练习(无答案)

导数与微积分综合题

【基本公式】

1、平均变化率：

2、瞬时变化率：

3、导数的定义

导数的几何意义： 导数的物理意义： 4．常用的导数公式：

（1）若f (x )=c , 则f ′(x )= ;（2）若*)()(Q x x f ∈=αα,则f ′(x )= ; （3）若f (x )=sin x ,则f ′(x )= ;（4）若f (x )=cos x,则f ′(x )= ;

（5）若x a x f =)(,则f ′(x )= (a >0);（6）若x e x f =)(,则f ′(x )= ;

（7）若x x f a log )(=,则f ′(x )= (a >0,a ≠1);（8）若x x f ln )(=,则f ′(x )= 5．导数运算的法则：

（1）)]()([x g x f ±′= （2）)]()([x g x f ′= （3）?

?

????)()(x g x f ′= （g(x)≠0）（4）)]([x cf ′=

6．定积分的定义： 定积分的性质：（1）?

?

=b

a

b

a

dx

x f c

dx x cf )()(（c 为常数）

（2）)(),(x g x f 可积，则[]?

?

?+

=

+b

a

b

a

b

a

dx

x g dx x f dx

x g x f )()()()( （3）?

?

?+

=

b

a

c

a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(

7．常见函数的原函数：

?=dx ___________?=cdx ___________?=dx x n

_____________?=xdx sin ________

?=xdx cos _________?

=dx x

1________?=xdx ln ___________?=dx a x

___________

8、微积分基本定理：牛顿一莱布尼茨公式：若函数f 在[]b a ,上连续，存在原函数F ，即

()()[]b a x x f x F ,,∈='，则

f 在[]b a ,上可积，则_____________________

9、连续曲线()x f y =在

[]b a ,上形成的曲边梯形面积为_____________________

10、连续曲线()x f y =与()x g y =在[]b a ,上围成图形面积为___________（a ，b 为交点的横坐标）

【练习】

一、恒成立问题 1. 已知函数3

2

1()23

f x x bx x a

=

-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3

f x a ->恒成立，求a 的取值范围．

2. 已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.

3.(重庆理 20)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值–3–c ，其中a,b,c 为常数。（1）试确定a,b 的值；(6分)（2）讨论函数f(x)的单调区间；(4分)（3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。(3分)

4、设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程

a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.（Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒

成立，求实数k 的取值范围.

二、单调性、极值、最值、交点个数问题

5. 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．(Ⅰ)求导数f '(x )；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f (x )在[－2，2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围

6. 已知：函数c bx ax x x f ++-=23)(（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式；（II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.

7. （07四川文20）设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 为奇函数，其图象在点))1(,1(f 处的切线与直线076=--y x 垂直，导函数)('x f 的最小值为-12．（Ⅰ）求c b a ,,的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间，并求函数)(x f 在[-1,3]上的最大值和最小值．

三、切线方程

8. 已知32()4f x x ax x =--（a 为常数）在2x =时取得一个极值， （1）确定实数t 的取值范围，使函数()f x 在区间[,2]t 上是单调函数； （2）若经过点A （2，c ）（8c ≠-）可作曲线()y f x =的三条切线，求c 的取值范围．

9、已知函数2

3)(a

x x f =

图象上斜率为3的两条切线间的距离为5

102

，函数3

3)()(2

+-

=

a

bx x f x g ．若

函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

四、面积和积分

10.若()()02≠++=a c bx ax x f ，且在))1(,1(f 处的切线方程是03=+-y x ，()6

1310

=?

dx x f 。求()x f

11．（1）求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．（2）求曲线2,2=+=y x y x 所围 成的面积。（3）直线x

y 6=与直线x y x y 3,2==所围成的平面图形的面积

12．求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

13、计算由抛物线2

2

1x y =和()2

13--=x y 所围成的平面图形的面积S