高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析

三角函数

一、三角恒等变换（3题）

1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）

（A ） （B （C ）12- （D ）12

【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1

2

，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

2.（2016年3卷）（5）若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34

sin ,cos 55αα=-=-，所以

2161264

cos 2sin 24252525

αα+=+?=，故选A ．

考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

3.（2016年2卷9）若π3

cos 45α??-= ???，则sin 2α=

（A ）

7

25

（B ）15

（C ）1

5

-

（D ）725

-

【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ

7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ?????

，故选D ．

二、三角函数性质（5题）

4.（2017年3卷6）设函数π

()cos()3

f x x =+，则下列结论错误的是（）

A ．()f x 的一个周期为2π-

B ．()y f x =的图像关于直线8π

3

x =对称

C ．()f x π+的一个零点为π6x =

D ．()f x 在π

(,π)2

单调递减

【解析】函数()πcos 3f x x ?

?=+ ??

?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，

如图可知，()f x 在π,π2??

???

上先递减后递增，D 选项错误，故选D.

π

5.（2017年2卷14）函数()23

sin 4

f x x x =-（0,2x π??

∈????

）的最大值是

．

【解析】()2231

1cos cos 44

f x x x

x x =--

=-++ 2

cos 12x ?=--+ ??

，0,2x π??

∈

????，则[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）

（A ）13

(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13

(2,2),44k k k Z ππ-+∈

（C ）13

(,),44k k k Z -+∈

（D ）13

(2,2),44

k k k Z -+∈

【解析】由五点作图知，1

+42

53+42

πω?π

ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，

令22,4

k x k k Z π

ππππ<+<+∈，解得124k -

＜x ＜3

24

k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -

，3

24

k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质

7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P

到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为

的运动过程可以看出，轨迹关于直线2

x π=对称，且()()42

f f ππ

>，且轨迹非线型，故选

B ．

8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),2

4

f x x+x π

π

ω?ω?=>≤=-

， 为()f x 的零

点,4

x π

=

为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ??

??

?，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5

考点：三角函数的性质

三、三角函数图像变换（3题）

9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

12

个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =

-∈ （D ）()ππ212

Z k x k =+∈ 【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ??=+ ???，令ππ2π+122x k ?

?+= ??

?，得对称轴方程：

()ππ

26

Z k x k =

+∈，故选B ．

10.（2016年3卷14）函数sin y x x =错误！未找到引用源。的图像可由函数

sin y x x =+错误！未找到引用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度

得到．

考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．

11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的

12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的

12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。 先变周期：

2cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ????????

??==+?=+?=+

=++ ? ? ? ? ??????

??

???

先变相位：

22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ???????

?==+?=++=+?=+ ? ? ? ????????

?

选D 。【考点】：三角函数的变换。

解三角形（8题，3小5大）

一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）

1.（2016年2卷13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =

，5

cos 13

C =，1a =，则b = ．

【解析】∵4cos 5A =

，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13

C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=

，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得21

13

b =．

2. （2017年2卷17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

()2

sin 8sin 2

B

A C +=． (1)求cos

B ;

(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b

解析 （1）依题得2

1cos sin 8sin

84(1cos )22

B B B B -==?=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17

B =

. （2）由⑴可知8sin 17B =

，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ?=，即18

2217

ac ?=，得172ac =.

因为15cos 17B =，所以

22215

217

a c

b a

c +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．

3.（2016年1卷17）ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知

2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ；

（II ）若c ABC =

?,求ABC 的周长．

【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC, 2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C ∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0, 所以2cosC=1,cosC=12.因为C ∈(0,π),所以C=π3

.

(2)由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab·cosC,7=a 2+b 2-2ab·1

2

,(a+b)2-3ab=7,

S=1

2

ab·,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,

所以△ABC 的周长为.

4. （2017年1卷17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的

面积为2

3sin a A

.

（1）求sin sin B C 的值；

（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.

解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以

21

sin 3sin 2

a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223

sin sin sin sin 2

A B C A =，由sin 0A ≠，得

2

sin sin 3

B C =.

（2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1

cos cos 6

B C =，因为πA B C ++=，

所以()()1

cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=.

又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =1cos 2A =.

由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①

由正弦定理得sin sin a b B A =

?，sin sin a c C A =?，所以2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为3

5. （2015年1卷16）在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范

围 .

【解析1】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与

D 重合与

E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sin sin BC BE E C =∠∠，即o o

2sin 30sin 75

BE

=，

解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o

2

sin 30sin 75

BF =，

解得所以AB 的取值范围为-. 考点：正余弦定理；数形结合思想

二、分割两个三角形的解三角形问题 6.（2016年3卷8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A =（ ）

（A （B （C ）- （D ）-

【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC =

=，

AB =．由余弦定理，知

222222cos

210AB AC BC A AB AC +-===?，故选C ．考点：余弦定理．

7.（2017年3卷17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

已知sin 0A A +=，

a =2

b =．

（1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．

解析 （1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ?

?+= ??

?，即()ππ3A k k +=∈Z ，

又()0,πA ∈，所以π

π3

A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-?.

又因为12,cos 2

a b A ===-代入并整理得()2

125c +=，解得4c =.

（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=

因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =?，得CD .

从而点D 为BC 的中点，111

sin 222

ABD ABC S S AB AC A =

=????=△

8.（2015年2卷17）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求

sin sin B

C

∠∠

(Ⅱ) 若12

AD DC ==，，求BD 和AC 的长

【解析】(1)S △ABD =

21错误！未找到引用源。AB·ADsin ∠BAD,S △ADC =2

1错误！未找到引用源。AC·ADsin ∠CAD,因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得错

误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC,所以BD=错误！未找到引用源。.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知,

AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos ∠ADB,AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos ∠ADC, 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.