海南省海南中学高一数学下学期期末考试

海南中学2013—2014学年第二学期期末考试

高一数学试题（试题卷）

总分：150分； 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）

1、若直线x=3的倾斜角为α，则α=（ ）

A.0o

B.45o

C.90o

D.不存在

2、已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）

1

1

D.2 3、圆台上底面半径为1，下底面半径为3，高为3，则该圆台的体积为（ ） A.3π B.9π C.10π D.13π 4、已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )

A ．x ＋y ＋1＝0

B ．x －y ＝0 C.x －y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0 5、过点M （1，1）且倾斜角是直线20x y +=的倾斜角的2倍的直线方程为（ ） A.0x y -= B.20x y +-= C.3470x y +-= D.4370x y +-= 6、长方体1111

ABCD A B C D -中，1AB =，1B C 、1C D

与底面ABCD 所成的角分别为45o

、60o

，则长

方体

1111

ABCD A B C D -的外接球的体积为（ ）

A.

B.

C.

D.

7、用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）

A.正三角形

B.正方形

C.正五边形

D.正六边形 8、设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线，则（ ）

①若m α?，n α?，l m ⊥，l n ⊥则l α⊥； ②若//l m ，//m n ，l α⊥则n α⊥ ③若//l m ，m α⊥，n α⊥则//l n ； ④若m α?，n α⊥，l n ⊥则//l m ； 则上述命题中正确的是 （ ）

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

9、如图所示，四边形OABC 是上底为1，下底为3，底角为o

45的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图'''

'

O A B C ，在直观图中的梯形的高为（ ）

A.24

B.23

C.2

2 D.2

10、如图，动点P 在正方体1111

ABCD-A B C D 的对角线

1

BD 上，过点P 作垂直于平

面

11

BB DD 的直线，与正方体表面相交于M ，N ，设BP=x ，MN=y ，则函数()y f x =的

图象大致是（ ）

11、已知0b >，直线2

(1)20b x ay ＋＋＋＝与直线

210x b y －－＝互相垂直，则ab 的最小值等于( )． A ．1 B ．2 C ．22 D ．23

12、正数,,x y z 满足：534z x y z x -≤≤-，ln ln z y x z z ?≥+?，则y

x 的最大值为（ ）．

A.7

B.8

C.9

D.10

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上） 13.已知直线:3210l x y --=，与l 平行且到l 距离为2的直线方程是 ____________________________；

14、不等式组

202020x y x ax y +-??

-??-+?

≥≤≥ 表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为_________；

15、已知三条直线

1:10l ax y ++=，2

:10l x ay ++=，

3:0

l x y a ++=能够围成一个三角形,则实数a 的取值范围是_____________；

16、如图所示，正方体'''

'

ABCD-A BC D 的棱长为1, ,E F 分别是棱'

AA ，

'CC 的中点，过直线,E F 的平面分别与棱'BB 、'DD 交于,M N ，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四

个命题：

（1）平面MENF ⊥平面''

BDD B ；

（2）当且仅当

1

2x =

时，四边形MENF 的面积最小；

（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈，则

1

()

2y f x =+是偶函数； （4）四棱锥'

C MENF -的体积()V h x =为常函数；

以上命题中真命题的序号为_____________.

三、解答题（本大题共6道小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题10分）已知直线:210l x y ++=，点(1,3)A . (1)求过点A 且平行于l 的直线1l

的方程； (2)求过点A 且垂直于l 的直线2l

的方程.

18、（本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB. (1)求证：平面PAB ⊥平面PCB ； (2)求证：PD ∥平面EAC. 19、（本小题12分）已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图 (不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 20、（本小题12分）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组

0222x y x y ?≤≤?

≤??

≤?给定．若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1).

(1）求z OM OA =?u u u u r u u u r 的最大值；

（2）求

22w x =

-的最小值.

21、（本小题12分）已知直线:(2)(12)430m a x a y a ++-+-=.

(1)求证直线m 过定点M;

(2)过点M 作直线n 使直线与两负半轴围成的三角形AOB 的面积等于4,求直线n 的方程.

22、（本小题12分）如图，三棱柱'''ABC A B C -中，点'A 在平面

ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=o ，1BC =，'2AC CC ==.

证明：''AC A B ⊥； 设直线

1

AA 与平面

11

BCC B

求二面角'A AB C --的正切值.

海南中学2013—2014学年第二学期期末考试

高一数学答案

总分：150分； 时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题

CBDCD ACBAB BA 二、填空题

13.

3210x y -+=

或3210x y --=；

14. 1

2；

15. (,2)(2,1)(1,1)(1,)-∞----+∞U U U ； 16.（1）（2）（3）（4）

三、解答题 17、（本小题10分）

解：（1）由已知直线l 的斜率为12-

，1l l P ，故1l

的斜率为1

2-，

1

l 的方程为：1

3(1)2y x -=--，即270x y +-=；（5分） （2）由已知直线l 的斜率为1

2-

，1l l ⊥ ，故2l

的斜率为2，

1

l 的方程为：32(1)y x -=-，即210x y -+=.（10分）

18、（本小题12分）

解 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BC ，

又AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB.(3分) 又BC ?平面PCB ，

∴平面PAB ⊥平面PCB.(6分)

(2)∵PA ⊥底面ABCD ，又AD ?平面ABCD ， ∴PA ⊥AD.

又∵PC ⊥AD ，又PC ∩PA ＝P ，∴AD ⊥平面PAC ，又AC ?平面PAC ，

∴AC ⊥AD.

在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝45o ，

∴∠DCA ＝∠BAC ＝45o

.又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形．(8分) ∴DC ＝2AC ＝2AB=2

易知，ABM CDM ??∽,故2

DM CD

BM AB ==, 在△BPD 中, 2DM PE

BM EB ==

∴PD ∥EM

又PD ?平面EAC ，EM ?平面EAC ，

∴PD ∥平面EAC.(12分)

19. （本小题12分）

解: (1) 这个几何体的直观图如图所示．（4分）

(2) 这个几何体可看成是正方体1111

ABCD A B C D -及直三棱柱

1111

PA D QB C -的组合体．

由

112PA PD ==,112A D AD ==，可得11PA PD ⊥.

故所求几何体的表面积2221

522222(2)2242()

2S cm =?+??+??=+；（8分）

所求几何体的体积3231

2(2)210()

2V cm =+??=.（12分）

20. （本小题12分） 解：区域D 如右图所示，（2分） (1)

(,)(2,1)2z OM OA x y x y

=?=?=+u u u u r u u u r

，

2y x z =-+，这是一族斜率为2-，截距为z 的平

行直线。由图可知，当直线2y x z =-+经过可行域上的点B 时，截距最大， 此时2224z =

?+=，故z 的最大值为4.（7分）

（2）

22w x =

-表示M(x,y)与P (22,3)两点所确

定直线的斜率，由图可知，当点M 为（0,2）时，斜率

MP

k 最小，此时

2

4022

MP k =

=

-，故w 的最小值为2

4.（12分）

21、（本小题12分）

(1) 方程:(2)(12)430m a x a y a ++-+-=可化为(23)(24)0a x y x y --+++=,要使a 有无穷多个

解,必须有240230x y x y ++=??--=?,得1

2x y =-??=-?

.

无论a 取何值, (1,2)--都满足方程,故直线m 过定点M (1,2)--.（6分）

(2)设直线n: 1x y

a b +=,

则12

1142a b ab --?+=????=??，解得24a b =-??=-?，故直线n ：124x y +=--，

所以当直线n 为240x y ++=时，三角形的面积为4.（12分） 22、（本小题12分）

解：（1）因为'A D ABC ⊥平面，'''A D AA C C ?平面,故平

面''AA C C ABC ⊥平面.

又BC AC ⊥，所以''BC AA C C ⊥平面,

连接'A C ,因为侧面''AA C C 为菱形，故''AC A C ⊥, 故''AC A B ⊥.（4分）

（2）''BC AA C C ⊥平面，''BC BCC B ?平面,故

''''AA C C BCC B ⊥平面平面.

作''AE CC ⊥,E 为垂足，则'''A E BCC B ⊥平面.

又直线'''AA BCC B P 平面,因而'A E 为直线'AA 与平面''BCC B

的距离，'A E 因为'A C 为'ACC ∠

的平分线，故''A D A E =.

作DF AB ⊥,F 为垂足，连接'A F .由三垂线定理得'A F AB ⊥, 故'A FD ∠为二面角'A AB C --的平面角.

由1AD =

=得D 为AC 中点，

12AC BC DF AB ?=?=

,'tan 'A D A FD DF ∠==所以二面角'A AB C --

（12分）

B'