比较审敛法的极限形式
比较审敛法的极限形式是什么?
1、比较审敛法的极限形式是比较审敛法的极限形式是若为低阶无穷小的级数收敛。则一般项为较高阶或同阶无穷小的级数必定也收敛。两个一般项为同阶无穷小（特别是等价无穷小）的级数同敛同散同时收敛或同时发散，即敛散性必定相同。
2、比较审敛法的极限形式的准则
数列极限的柯西准则与级数收敛的柯西审敛原理7.2常数项级数的审敛法7.2.1正项级数比较审敛法的极限形式的无穷小表示7.2.2正项级数的两个审敛定理的证明7.2.3利用收敛级数的必要条件求数列极限。则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：若，则级数发散；若，则级数收敛。如果，则本判别法无法进行判断。根值根值审敛法：对于正项级数，如果从某一个确定的项开始。
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较 摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。 在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。 关键词数学分析正项级数推广比值审敛法 一.预备知识 1.正项级数的定义如果级数 的各项都是非负实数，即 则称此级数为正项级数 2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到 例级数 是正项级数。它的部分和数列的通项
， 所以正项级数 收敛。 在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。 二.常规审敛法： 1.达朗贝尔审敛法 …… …… ，若 ，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。 例 1 考虑级数 则 ；
所以级数收敛 2.拉贝审敛法 …… …… ，若 ，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。 例 2 判断级数 的敛散性 解设 则 ，（达朗贝尔审敛法不可用） 所以级数
三.常规审敛法的比较 由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。 但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数 来说，如果 时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。例如，我们不难证明，当 为n的有历史时，总有 ，也就是说此时比值判定法必定失效。这足以说明比值审敛法的应用范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。其中，比较常用的是下面的拉贝审敛法。 拉贝审敛法：设 是正项级数，如果 那么，当p>1时级数收敛：而当p<1时级数发散。（此证明详见数学分析教材）但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串
高等数学(下)知识点总结归纳
欢迎共阅 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 3） 4） 5） 6） （二） 1、 法向量：n 2、 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =，),,(2222C B A n = ， ⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔ ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A
2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x 3、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ， ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔ 21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 2、 微分法 1） 复合函数求导：链式法则
若 (,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则 z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用 1） 求函数),(y x f z =的极值解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0 y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =， ① 若 AC ② 若AC ③ 若AC 2、 1） 曲线⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧Γ:z y x 2） 曲面 :∑（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积 1、 定义： ∑⎰⎰=→∆=n k k k k D f y x f 1 ),(lim d ),(σηξσλ 2、 计算： 1） 直角坐标 ⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ， 21() () (,)d d d (,)d b x a x D f x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰ ⎰
考研数学假期作业第七章无穷级数(数一数三必做的29题,附详解)
考研数学假期作业第七章无穷级数（数一数三必做29题，附答案） 1.判别无穷级数的收敛性. 2. ; 3.求级数的和. 4. 敛散性 5.已知，级数 收敛，证明级数也收敛. 6.判断级数 的敛散性 7.判断下列级数的敛散性 （1） （2）.（3） （4） 8.判定下列级数的收敛性. （1） （2） （3） （4） 9.判别级数 的收敛性. 10.判定下列级数的收敛性. （1） （2） 11. 判定下列级数的收敛性. ) 1(1 4 31321211???+++ ???+?+?+?n n )122( 1 ∑∞ =++-+n n n n ∑∞ =++1)2)(1(1 n n n n ∑∞ =??? ??-1 21cos 1n n n 0lim =∞ →n n nu ))(1(1 1 n n n u u n ∑∞ =+-+∑∞ =1 n n u 1 1 1n n n i n n n +∞ =??+ ?? ? ∑ n ∞ =11(1)(2)n n n ∞=++∑12(1)2n n n ∞=+-∑1 21 (2ln 1)n n n n n n -∞ =++∑ ∑∞ =1 1sin n n ∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n 10! 10321102110132???++???+??+?+n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n
（1）； （2）. 12.判定下列级数的收敛性 （1），（2）. 13. 判断的收敛性. 14.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛. （1） (2) 15.判别级数的收敛性. 16.已知级数 绝对收敛，级数条件收敛，则（） （A ） （B ） （C ） （D ） 17.设幂级数 在处收敛，则此级数在处（ ）. （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定 18. 设幂级数 的收敛半径为3，则幂级数 的收敛区间_____. 19.求幂级数的收敛半径与收敛域. 20.求幂级数的收敛域. 21.求幂级数的收敛半径. 22.求幂级数的收敛域. 1 23 32n n n ∞ =+-∑11 (21)2n n n ∞ =-?∑∑∞ =-+1 2)1(2n n n 121n n n n ∞=?? ?+??∑∑∞ =--1 1 ln )1(n n n n ∑∞ =12 sin n n na 1 1 (1)21 n n n ∞ =--∑∑∞ =+-1 2 )11(21) 1(n n n n n 1 1(1) n n α∞ =-∑21(1)n n n α∞-=-∑102α<≤ 112α<≤312α<≤322α<<1 (1) n n n a x ∞ =-∑1x =-2x =0 n n n a x ∞ =∑1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑∑∞ =--11 ) 1(n n n n x ∑ ∞ =0 !1n n x n ∑∞ =0!n n x n ∑∞ =-12)1(n n n n x
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐
项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，，n u ，，则由这数列构 成 的 表 达式123n u u u u +++ ++ 叫做常数 项无穷级数，简称常数项级数或级 数 ， 记 为 1 n n u ∞ =∑，即
123 1 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑， 其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==++ +=∑，n s 称为级数1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的 数列 11 s u =， 212s u u =+，3123s u u u =++，，
1 n s u =， ． 如果级数 1n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无 穷级数 1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限s 叫做 这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++++或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则 称无穷级数 1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质
无穷级数
第十章 无穷级数 一、本章结构图 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间 和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数 二、基本概念 1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ， ， n u ， ，则由这数列构成的表达式 12n u u u ++ ++ 称为无穷级数，简称级数，记为 1 n n u ∞ =∑，即 121 n n n u u u u ∞ ==++++ ∑ 其中n u 称为级数的一般项（或通项）， 2．级数1 n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1 n n u ∞ =∑的前n 项的和，记作n S 3．级数的和：若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞ =,则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛，S 为级数 1 n n u ∞ =∑的和，记为 121 n n n u u u u S ∞ ==++++ =∑ 如果lim n n S →∞ 不存在，则称级数 1 n n u ∞ =∑发散 4．正项级数：如果级数 1 n n u ∞ =∑的每一项都是非负数，即0(1,2, )n u n ≥=，则称此级 数为正项级数 5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式 1234u u u u -+-+- 或 1234u u u u -+- + 其中1u ，2u ， 都是正数，则称此级数为交错级数
6．绝对收敛：如果级数 1 n n u ∞ =∑各项的绝对值所构成的正项级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则称级数 1 n n u ∞ =∑绝对收敛 7．条件收敛：如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，而级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(), n u x u x u x ， 则称有这个函数列构成的表达式 121 ()()()n n n u u x u x u x ∞ ==++++ ∑ （1） 为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数 9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑，若此常数 项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点 10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域 11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++ ++ 12．幂级数：形如2 012n n a a x a x a x +++++ 的级数称为幂级数，记作 n n n a x ∞ =∑， 其中012,,, ,, n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数 13．幂级数收敛半径：对于幂级数 n n n a x ∞ =∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级 数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可 能发散，这个正数R 称为幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间 ),R R -（称为幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛区间 14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，
比较审敛法判定定理
比较审敛法判定定理 比较审敛法判定定理 一、引言 在数学中，我们常常需要研究数列或函数的收敛性，即它们是否会趋近于某个极限值。比较审敛法是一种非常实用的方法，可以用来判断一个数列或函数是否收敛。本文将详细介绍比较审敛法判定定理。 二、基本概念 在介绍比较审敛法之前，我们先来了解一些基本概念。 1. 数列：由无限个数按照一定规律排列而成的序列。 2. 收敛数列：如果一个数列能够趋近于某个有限值，那么我们称这个数列为收敛数列。 3. 发散数列：如果一个数列不能够趋近于任何有限值，那么我们称这个数列为发散数列。
4. 无穷小量：如果一个函数在某一点处的极限为0，则称该函数在该 点处为无穷小量。 5. 比较级：设a(n)和b(n)是两个正项数列，如果存在正整数N和常数M>0，使得当n>N时有a(n)<=M*b(n)，则称a(n)是b(n)的比较级。 三、比较审敛法 1. 比较审敛法的基本思想 比较审敛法是一种通过比较两个数列或函数的大小关系来判断它们的 收敛性或发散性的方法。当我们需要判断一个数列或函数是否收敛时，我们可以找到一个已知的收敛数列或函数，然后比较它们之间的大小 关系。如果这个已知的数列或函数是收敛的，而且它与待判断的数列 或函数之间存在比较级关系，那么我们就可以推断出待判断的数列或 函数也是收敛的。反之，如果这个已知的数列或函数是发散的，而且 它与待判断的数列或函数之间存在比较级关系，那么我们就可以推断 出待判断的数列或函数也是发散的。 2. 比较审敛法判定定理 根据比较审敛法，我们可以得到以下判定定理：
设a(n)和b(n)是两个正项数列，并且满足以下条件： ① 当n>N时有0<=a(n)<=b(n)，其中N为正整数； ② b(n)为收敛数列。 则a(n)也为收敛数列。 证明： 由于b(n)为收敛数列，则存在极限lim(b(n))=L（L为有限值）。 又因为当n>N时，有0<=a(n)<=b(n)，所以对于任意正数ε，都存在正整数N1，使得当n>N1时，有0<=a(n)-L<ε。 因此，由夹逼定理可知，a(n)也收敛于L。 四、应用举例 1. 应用比较审敛法判断数列的收敛性 例题：判断数列a(n)=n/(n^2+1)的收敛性。
比较审敛法的极限形式定理
比较审敛法的极限形式定理 比较审敛法是一种常用的求极限的方法，它的核心思想是将待求极限与一个已知的极限进行比较，从而确定待求极限的大小和性质。在实际应用中，比较审敛法常常被用来证明一些重要的极限形式定理，这些定理在数学分析、微积分等领域中具有广泛的应用。 比较审敛法的极限形式定理包括三个部分：夹逼定理、单调有界定理和比较定理。其中，夹逼定理是最基本的定理，它的表述如下：设函数序列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn（n∈N*），且lim an=lim cn=L，则lim bn=L。 夹逼定理的证明思路比较简单，主要是利用数列的单调性和有界性来推导出待求极限的存在和唯一性。在实际应用中，夹逼定理常常被用来证明一些复杂的极限，例如： lim (1+1/n)^n=e lim (n!)^(1/n)/n=e lim (sin x)/x=1（x→0） 除了夹逼定理之外，单调有界定理和比较定理也是比较常用的极限形式定理。单调有界定理的表述如下： 设函数序列{an}单调递增（或递减）且有界，则{an}收敛。
比较定理的表述如下： 设函数序列{an}、{bn}满足an≤bn（n∈N*），且lim an=+∞，则lim bn=+∞。 这两个定理的证明思路也比较简单，主要是利用函数的单调性和有界性来推导出待求极限的存在和唯一性。在实际应用中，单调有界定理和比较定理常常被用来证明一些特殊的极限，例如： lim (1+1/n)^n=e lim (n!)^(1/n)/n=e lim (sin x)/x=1（x→0） 比较审敛法的极限形式定理是数学分析、微积分等领域中非常重要的工具，它们不仅可以用来求解一些复杂的极限，还可以用来证明一些重要的数学定理。因此，我们在学习数学的过程中，一定要认真掌握比较审敛法的极限形式定理，以便更好地应用它们解决实际问题。
高等数学教案 无穷级数
1 / 50 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数；
级数收敛的比较判别法与根值判别法
级数收敛的比较判别法与根值判别法在数学中，级数是由一系列的项相加得到的，判断级数的收敛性是数学分析中的一个重要问题。为了判断一个级数是否收敛，数学家们发展了多种方法和判别法，其中比较判别法和根值判别法是较为常用和重要的两种方法。 一、比较判别法 比较判别法是用来判断正项级数收敛与发散的方法之一。该方法可以将一个给定级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较，从而得出所要判断的级数的收敛性。 比较判别法分为比较法和比较审敛法两种情况。 1. 比较法 比较法又分为大于、小于比较法和极限形式比较法。 （1）大于、小于比较法：当一个级数的每一项都大于（或小于）另一个级数的每一项，并且另一个级数是收敛的，则可以得出原级数也是收敛的结论。同样，如果另一个级数发散，那么原级数也是发散的。 （2）极限形式比较法：当一个级数a_n和一个已知的级数b_n满足以下条件时，可以利用极限形式比较法。 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L
其中，L是一个常数且0
级数_基本考点以及解题方法
本章节基本考点以及解题方法 1.基本考点： ● 级数的敛散性； ● 幂级数的收敛半径和收敛区间； ● 函数展开成幂级数； ● 求幂级数的和函数； ● 给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结) 2.解题方法归纳： ● 级数的敛散性 此考点分为3种题型： （1）正项级数 比较审敛法： n n n n )1 2( 1 ∑∞ =+ 比较审敛法的极限形式： )) 10(1( 3 2∑∞ =-+n n n n ∑∞ =+1 )11ln(n n 分析： 比值审敛法： ∑∞ =•1 ! 2n n n n n 分析： （2）交错项级数 莱布——尼兹定理： ∑∞ =+-1 1 1 ) 1(n n n （3）任意项级数 绝对收敛与相对收敛： 分析： 注意：要学会这三种方法的综合运用！ ● 幂级数的收敛半径和收敛区间 此考点分为三种题型： （1）∑∞ =-1)1(n n n n x （2）∑∞ =--1 )21(2)1(n n n n x n （3）∑∞=-11221n n n x
对于（1）有： a. 利用定理2得收敛半径； b. 分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（2）有： a. 令t ； b. 利用定理2得t 的收敛半径； c. 将t 的范围转化为了x 的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（3）有： 只能通过“比值审敛法&绝对收敛”求其收敛区间； ● 函数展开成幂级数； 此考点分为两种题型： （1）展开成x 的幂级数 （1）) 4(1 )(x x f += （2）x e x x f 22)(= （2）展开成)(0x x -幂级数 ● 求幂级数的和函数； 大都是建立在7个常用函数展开式的基础之上进行分析的，通过恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数； 难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之； 以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础： 附：7个常用的函数展开式
比较审敛法口诀
比较审敛法口诀 比较审慎法是由英国法官爱德华瓦森于1842年提出的一种评价方法，口诀为“大项减少、小项限定”。瓦森提倡通过对比把握实质，超越表面，强调细节。 瓦森提出的比较审慎法，被用于法律判决，同时也被用于文学创作、设计等创作活动中。这一方法可以有效地帮助作者在把握实质上更加审慎，尤其是在进行复杂文字分析或设计方面，能够促进更全面、更深入的分析，从无数的条件中把握实质的特征，而不是总结了表象而忽视细节。 以研究《简爱》这本书为例，首先要从文中细致地提炼出大范围的叙述条件，然后在不同的语言层面进行把握，以抓住文章的实质，有效地分析文章。 比如，在这本书中，叙述的是一个社会反抗运动，有许多政治隐喻和宗教隐喻。要把握实质，就要从社会反抗运动的背景出发，比较不同的政治和宗教观点，探究它们之间的关系，从而可以把握作者的意图，形成一个更加深入的实质性分析。 此外，在整个分析过程中，一定要注意保持文章的客观性，通过比较审慎法，可以有效地把握文章的实质而超越表象，避免误读，只有这样才能形成有意义的整体分析。 最后，为了明确比较审慎法的口诀，也就是“大项减少，小项限定”，就要在分析时有意识地把握文章中的实质，在写作前就着重记住大项，特别是小项，特别要仔细观察，把握实质的内容，以此为分
析的基础，在有限的篇幅里，表达出完整的意义。 比较审慎法口诀的基本概念是“大项减少，小项限定”，它是一种实质性分析方法，在文学创作、设计等创作活动中，可以有效地帮助作者把握实质，有效地把握文章的实质而超越表象，以及在写作时记住大项和小项，以此为分析的基础，表达出完整的意义。因此，要有效地利用比较审慎法进行分析，就要坚持口诀的内涵，以实质性的方式思考，尽量超越表象，在文章内容分析时，有意识地把握实质性的内容，抓住重点，不断深入，才能发现作者最想要传达的意思。
第2讲-瑕积分
第2讲 瑕积分的敛散性及审敛法则 讲授内容 一、瑕积分的定义 定义2 f 定义在区间(],b a 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间),(],[b a b u ⊂上有界 且可积．如果存在极限J dx x f b u a u =⎰+→)(lim ，则称此极限为无界函数f 在(],b a 上的反常积分，记作 ⎰= b a dx x f J ,)( 并称反常积分dx x f b a ⎰)(收敛．如果极限J dx x f b u a u =⎰+→)(lim 不存在，这时也说反常积分⎰b a dx x f )(发散． 在定义2中，被积函数f 在点a 近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰b a dx x f )(又称为瑕积分．类似地，可定义瑕点为b 时的瑕积分： .)(lim )(⎰⎰ -→=u a b u b a dx x f dx x f 其中f 在),[b a 有定义， 在点b 的任一左邻域内无界，但在任何),[],[b a u a ⊂上可积. 若f 的瑕点),(b a c ∈，则定义瑕积分 ⎰⎰⎰⎰⎰ +-→→+=+=b v c v u a c u b a c a b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .)(lim )(lim )()()( 其中f 在],(),[b c c a ⋃上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[u a ,]),[c a ⊂和⊂],[b v [b c ,)上都可积．当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的．
又若a 、b 两点都是f 的瑕点，而f 在任何),(],[b a v u ⊂上可积，这时定义瑕积分 ⎰⎰⎰⎰⎰ -+→→+=+=v c b v c u a u c a b c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ,)(lim )(lim )()()( 其中c 为(b a ,)内任一实数．当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的． 例1 瑕积分 ⎰ -1 2 1x dx 的值 解： 被积函数2 11)(x x f -= 在)1,0[上连续，从而在任何)1,0[],0[⊂u 上可积，1=x 为其瑕点．依 定义2求得 .2 arcsin lim 1lim 11 2 1 1 2 π = =-=---→→⎰ ⎰ u x dx x dx u u u 例2 讨论瑕积分 )0(1 >⎰ q x dx q 的收敛性． 解： 被积函数在(1,0)上连续，0=x 为其瑕点．由于 ),10({1),1(11 1,ln 1 1<<=≠--=--⎰ u x dx q u q q u u q q 故当0ε，存在0>δ，只要1u 、 ),(2δ+∈a a u ，总有 .)()()(2 1 2 1 ε<=-⎰ ⎰⎰ u u b u b u dx x f dx x f dx x f 性质1 设函数1f 与2f 的瑕点同为1,k a x =、2k 为常数，则当瑕积分 dx x f b a )(1⎰ 与⎰b a dx x f )(2都收敛时， 瑕积分 dx x f k x f k b a ⎰ +)]()([2211必定收敛，并有⎰⎰⎰+=+b a b a b a dx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211 性质 2 设函数f 的瑕点为a x =，f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积．则当 ⎰ b a dx x f )(收敛时 ⎰ b a dx x f )(也必定收敛，并有 ⎰⎰ ≤b a b a dx x f dx x f )()(． 性质3 设函数f 的瑕点为),(,b a c a x ∈=为任一常数．则瑕积分 ⎰ b a dx x f )(与⎰c a dx x f )(同敛态，并有
正项级数敛散性地判别方法
正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。
高等数学(下)知识点总结
主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++= θ ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
正项级数的审敛法--
1 / 20 第二节 正项级数的审敛法 教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法， 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程: 一、正项级数及其审敛法 1.正项级数：若级数 ∑∞ =1 n n u 的各项0≥n u , 则称级数 ∑∞ =1 n n u 为正项级数. 2.【定理1】(基本定理): 正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛⇔}{n S 有界. 且此时 S S n ≤ 说明：因0≥n u ,于是11--≥+=n n n n S u S S ,可见}{n S 单调递增. 故 ∑∞ =1 n n u 收敛 ⇔}{n S 收敛 ⇔}{n S 有界. 此时显然有S S n ≤. （注意：单调有界数列收敛） 3.【定理2】(比较判别法): 设 ∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 均为正项级数, 且 n n v u ≤, ,2,1=n , 则 (1) ∑∞ =1n n v 收敛⇒ ∑∞ =1 n n u 收敛; (2) ∑∞ =1 n n u 发散⇒ ∑∞ =1 n n v 发散. 证明: 由条件知, n n k k n k k n T v u S =≤= ≤∑∑==1 1 0, 那么 (1) ∑∞ =1n n v 收敛⇒}{n T 有界⇒}{n S 有界⇒∑∞ =1n n u 收敛; (2) ∑∞=1 n n u 发散⇒}{n S 无界⇒}{n T 无界⇒ ∑∞ =1n n v 发散.
2 / 20 另证：若 ∑∞ =1 n n v 收敛，由（1）证明知 ∑∞ =1 n n u 必收敛，此与题设 ∑∞ =1 n n u 发散矛盾，所以假设不成立，即∑∞ =1 n n v 发散. 4.【推论】(1) 若级数 ∑∞ =1 n n v 收敛且存在0N >,.. s t n N >时 恒有: n n cv u ≤, (0>c 为常数),则级数∑∞ =1 n n u 收敛. （2）若级数 ∑∞ =1 n n v 发散且存在0N >, .. s t n N > 时恒有: n n u cv ≥,(0>c 为常数),则级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 讨论-p 级数 ++++++ p p p p n 1 4131211的敛散性.)0(>p 解: ① 若,1≤p 由于n n p 1 1≥ ⇒-p 级数发散. ② 若,1>p 由 11 01p p n x n n x ≤-≤≤⇒≤ 所以 ⎰⎰--≤=n n p n n p p x dx n dx n 111 (2,3,4,)n =, 那么 ⎰⎰⎰-++++≤++++=n n p p p p p p n x dx x dx x dx n S 1322111 31211 11111111111 111--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+≤+=+∞ -∞+⎰⎰p p p x p x dx x dx p p n p ＝＝, 可见}{n S 有界⇒-p 级数收敛. 综上知：-p 级数 ∑∞ =11 n p n 收敛 ⇔ 1>p .（此结论当定理使用） [由-p 级数得结论]： 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数, 那么
数项级的敛散性判别法
第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 （i ） 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ） 若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散． 比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 则 1 n n u ∞ =∑、1 n n v ∞ =∑同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数， （i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数） ， 则 1 n n u ∞ =∑收敛； （ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散． 证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛， 根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛． （ii ） 1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知1 n n u ∞ =∑发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑
收敛；（ii ） 当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散； （iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3)（ α为任何实数，0x >）． 解 (1) 因为1 12 n r == <，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时， 此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α-≤时，即1α ≥-时发散． 例2 判别级数 11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性． 解 由于 不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =⎛⎫ ⎪ +⎝⎭ ∑是否收敛？并说明理由． 解 答案：级数111n n n a ∞ =⎛⎫ ⎪ +⎝⎭ ∑收敛，证明如下： 由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞ 存在．设lim ,n n a a →∞ =则 0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知 1 (1)n n n a ∞ =-∑收敛，这与 1 (1)n n n a ∞ =-∑发散矛盾， 故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取1 11 q a = <+， 根据柯西判别法1知111n n n a ∞ =⎛⎫ ⎪ +⎝⎭ ∑收敛．
微积分第七章无穷级数
第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞ = 1 n n v 分别收敛于和s 、，则级数 ()∑∞ = +1 n n n v u 也收敛，且