第二讲 常数项级数的敛散性判别法
第二讲 常数项级数的敛散性
复习上讲教学内容
1．无穷级数的定义 2．级数收敛和发散的定义 3．基本性质
4．级数收敛的必要条件
本讲教学内容
1．正项级数及其审敛法； 2．交错级数判别方法； 3.绝对收敛与条件收敛. 【教学目的与要求】
1．掌握正项级数的比较判别法； 2．熟悉比值判别法，了解根值判别法； 3．掌握交错级数判别方法；
4. 理解级数的绝对收敛与条件收敛.
【教学重点与难点】
判别方法的灵活运用
§8.2 数项级数的敛散性判别法
一、正项级数收敛的充要条件
若数项级数的各项n u 均非负，则称 ∑∞
=1
n n u 为正项级数．由于0≥n u ，
,3,2,1=n ，因此，
n n n n s u s s ≥+=++11，
所以正项级数的部分和数列{}n s 是单调增加数列．即
≤≤≤≤n s s s 21
若{}n s 有上界，则由“单调有界数列必有极限”知，该正项级数必收敛．反之，若正项级数收敛于s ，即 s s n n =+∞
→lim ，则数列{}n s 必有上界，从而得到如下
重要结论：
定理1 正项级数∑∞
=1
n n u 收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有上界．
二、正项级数及其敛散性判别法
1. 比较判别法
定理2（比较判别法） 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数，且),2,1( =≤n v u n n
（1）若级数∑∞
=1
n n v 收敛，则级数∑∞
=1
n n u 也收敛；
（2）若级数∑∞
=1
n n u 发散，则级数∑∞
=1
n n v 也发散．
证 （1）若级数∑∞
=1
n n v 收敛，其部分和数列有上界，于是有0>M ，使
,01
M v
n
n n
≤≤
∑=
又n n v u ≤，故 M
v
u
n
n n
n n n
≤≤
≤
∑∑==1
1
0．即∑∞
=1
n n u 的部分和数列有上界．根据定理1
知，级数 ∑∞
=1
n n u 收敛．
（2）若∑∞
=1
n n u 发散，则级数∑∞
=1
n n v 必发散，因为若级数∑∞
=1
n n v 收敛，由（1）
知，级数∑∞
=1
n n u 也收敛，与假设矛盾，故级数∑∞
=1
n n v 发散．
由于级数每项乘以非零数，以及去掉级数的有限项，所得级数的敛散性与原级数相同，可得如下推论：
推论 设∑∞
=1
n n u ，∑∞
=1
n n v 均为正项级数，
且从级数的某项起恒有)0(>≤k kv u n n ，则
（1）若∑∞
=1
n n v 收敛；则∑∞
=1
n n u 也收敛；
（2）若∑∞
=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 也发散．
例1 试证调和级数 ∑∞
==
++
+++1
1
131211n n n
发散．
证 显然x ln 在]1,[+n n 上满足拉格郎日中值定理条件，所以至少存在一个实数ξ
)10(<<ξ；使得
n
n n n n n 11]
)1[(ln )1ln(<
+-+=-+ξ
，
于是，级数∑∞=-+1
)ln )1(ln(n n n 与级数∑
∞
=1
1n n
的所有对应项便有
n
n n 1ln )1ln(0<
-+<，
由于)1ln()ln )1(ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n s n ，
所以 ∞=+=∞
→∞
→)1(ln lim lim n s n n n ．因此，级数∑∞
=-+1
)ln )1(ln(n n n 发散；由正项级数
比较判别法可知，调和级数是发散的．
例2 讨论p —级数
++
++
+
+p
p
p
p
n
14
13
1211的敛散性．
解 当1≤p 时，有n
n
p
11≥
．由于调和级数发散，所以由比较判别法可知，
当1≤p 时，p —级数∑
∞
=11n p
n
也是发散的．
当1>p 时，
++
++++++++=∑
∞
=)15
18
1()7
16
15
14
1()3
121(
111
p
p
p
p
p
p
p
n p
p
n
+++++++++
+≤)8
18
1()4
14
14
14
1()2
12
1(1p
p
p
p
p
p
p
p
++++
=---3
1
2
1
1
)2
1()2
1(
2
11p p p
n
n p )2
1
(0
1
∑∞
=-=
．
又级数∑∞
=-0
1
)2
1(
n n
p 是等比级数，且其公比,12
11
<=
-p q 故收敛，于是当1>p 时，
根据比较判别法的推论可知，级数∑
∞
=1
1n p
n
也收敛．
综上所述，当1>p 时，p —级数收敛；当1≤p 时，p —级数发散． 应用比较判别法的关键，是把新给的级数与一个敛散性已知的正项级数作比较，常用作比较的正项级数有调和级数、等比级数与p —级数．
例3 判别级数∑
∞
=+1
)
1(1n n n 的敛散性．
解 因为 2
1)
1(10n
n n <
+<
，又2=p 时的p 一级数是收敛的，所以，原级数
收敛．
例4 证明级数
++
+++!1!31!211n
收敛．
证 n
n u n ⨯⨯⨯⨯=
=
3211
!1满足1
2
1!
10-<
<
n n ，而11
)2
1
(-∞
=∑n n 是等比级数
)12
1(<=
q ，由比较判别法可知，级数∑
∞
=1
!
1n n 收敛．
例5 判定级数
++++
+
=∑
∞
=n
n n
n
n
13
12
1113
2
1
的敛散性．
解 因
1
2
11-≤
n n
n
，而级数∑
∞=-1
1
2
1n n 收敛，所以级数∑
∞
=1
1n n
n
收敛．
为使用方便，下面给出比较判别法的极限形式：
定理3 设级数∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 都是正项级数，且),0(,
lim
+∞<<=a a v u n
n 则
它们有相同的敛散性．
证 取,0>ε使ε满足a <<ε0．依极限定义，存在正整数N ，当N n >时，
有
ε<-a v u n
n ，
即 εε+<<
-a v u a n
n ，得 n n n v a u v a )()(εε+<<-．
由比较判别法可知级数∑∞=1
n n u ，∑∞
=1
n n v 具有相同的敛散性．
例6 判断级数∑∞
=1
31tan
n n
的收敛性．
解 一般项031tan
>=n
u n ，且13131tan
lim
=+∞
→n
n
n ，而级数
∑∑∞
=∞
==
1
1
13
1
31
n n n
n
发散，故级数∑∞
=1
31tan
n n
也发散．
由比较判别法可推出另一个常用的判别法．
2. 比值判别法
定理4 （比值判别法） 设∑∞
=1
n n u 是正项级数，若l u u n
n n =++∞
→1lim
，则
（1）当1
→n
n n u u 1lim
）时，级数发散；
（3）当1=l 时，级数可能收敛也可能发散．
例7 判断级数∑
∞
=+1
)!
12(1n n 的收敛性．
解 因为 0)
22)(32(1
lim
)!
12(1)!
32(1
lim
lim
1=++=++=+∞
→+∞
→++∞
→n n n n u u n n n
n n ，
所以该级数收敛．
例8 判断正项级数∑∞
=1
3
1sin
n n
n 的敛散性．
解 因为 )3
131
1(
lim 3
1sin
3
1sin
)1(lim
lim
1
1
1n
n n n n n n
n n n
n n n u u ++∞
→++∞
→++∞
→⋅+=+=
13
11lim
3
1<=
+=+∞
→n
n n ，所以该级数收敛．
例9 判别级数∑
∞
=110
!n n
n 的敛散性．
解 因为 ∞=+=+=+∞
→++∞
→++∞
→10
1lim
10
!10)!
1(lim
lim
1
1n n n u u n n
n n n
n n ，所以该级数发散．
注 当1lim
1=++∞
→n
n n u u 时，无法判别级数的敛散性．例如，级数∑
∞
=1
1n n
有
11
lim
lim
1=+=+∞
→++∞
→n n u u n n
n n ，
它是发散的，但级数∑
∞
=1
2
1n n
也有
,1)
1(lim
lim
2
2
1=+=+∞
→++∞→n n
u u n n
n n
却是收敛的．
3. 根值判别法
定理5 (根值判别法) 对于正项级数的一般项n u ，若l
u n
n n =+∞
→lim
；则
（1）当1
（3）当1=l 时，级数可能收敛也可能发散．
例10 判断级数∑
∞
=+1
121n n
的敛散性．
解 因为n
n
2
11
210<
+<
，而
12
12
1<=
n
n
，所以∑
∞
=1
2
1n n
收敛．再根据比较判
别法，原级数∑
∞
=+1
1
21n n
收敛．
例11 设0>n a ，且a a n n =+∞
→lim ，试判断级数)0()
(
1
>∑∞
=x a x n
n n
的敛散性．
解 因为n
n
n
n
n
n
a x a x a x =
<)(
,
)(
0，而a
x a x a x n
n n
n =
=+∞
→+∞
→1lim
lim
；所以，根据
根值判别法有
（1）当a x <时，级数收敛； （2）当a x >时，级数发散；
（3）当a x =时，级数可能收敛也可能发散．
三、交错级数及其敛散性判别法
称级数n n n u u u u u ∑∞
=--=+-+-1
1
4321)
1( 为交错级数，
其中n u ),,2,1( =n 皆为非负数．
定理6 （莱布尼兹判别法） 若交错级数n n n u ∑∞
=--1
1)1(满足：
（1）),2,1(1
=≥+n u u n n ；
（2）0lim =+∞
→n n u ．
则交错级数收敛，且其和1u s ≤，其余项的绝对值1+≤n n u r ．
交错级数是一类特殊的级数，定理6表明，若交错级数收敛，其和1u s ≤，即不超过首项；若用部分和n s 作为s 的近似值，所产生的误差1+≤n n u r ，即不超过第1+n 项．
例12 交错级数
+-++-
+
--n
n 1)
1(4
13
12
111
满足条件
（1）11
11+=+>
=
n n u n n
u ),2,1( =n ； （2）0
1lim
lim ==+∞
→+∞
→n u n n n ．
所以它是收敛的，且其和1
s n n 1)
1(3
12111
--+++-= 作
为s 的近似值，即产生的误差11
1+=+≤
n n u n r ．
例13 判断级数
+-+-+--!
1)
1(!
31!2111
n n 的敛散性，并估计用6s 代替其
和s 时所产生的误差．
解 因为（1）1)!
1(1!1+=+>
=
n n u n n u ),2,1( =n ；
（2）0!
1lim
lim ==+∞
→+∞
→n u n n n ．
所以它是收敛的．
又因为 1+≤n n u r ，所以0002
.0!
7176≈=≤u r ．也就是说，用6s 代替s 可
使误差小于310-．
四、绝对收敛与条件收敛
对于一般项级数,21 ++++n u u u 其各项为任意实数，若级数∑∞
=1
n n u 各项
的绝对值所构成的正项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则称级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛；若级数∑∞
=1
n n
u 收敛，而级数∑∞
=1
n n u 发散，则称级数∑∞
=1
n n u 条件收敛．易知2
1
1
1)1(n
n n ∑∞
=--是绝对收
敛级数，而n
n n 1)1(1
1
∑∞
=--是条件收敛级数．
定理7 若∑∞
=1
n n u 收敛，则∑∞
=1
n n u 必收敛．
例14 判断级数∑
∞
=1
2
sin n n
nx 的敛散性．
解 因为
2
2
1sin n
n
nx ≤
． 而级数∑
∞
=1
2
1n n
收敛．由比较判别法知，级数
∑
∞
=1
2
sin n n
nx 收敛，所以级数∑
∞=1
2
sin n n
nx 绝对收敛．
例15 证明 级数
+--++-
+
-
=-----∞
=-∑1
1
1
1
1
2
12)
1(8
74
52
312
12)1(n n n n n n n
绝对收敛．
证 因为 12
12
1221
2lim lim
1
1<=-+=-+∞→++∞
→n n n n
n n n n u u ，根据比值判别法，级数
∑
∑
∞
=-∞
=-=
1
1
1
2
12n n n n n u 收敛，从而，此交错级数绝对收敛．
例16 为了治病需要，医生希望某药物在人体内的长期效用水平达200mg ，
同时还知道每天人体排放25%的药物．试问医生确定每天的用药量是多少？
解 因为是连续等量服药，留存体内的药物水平是前一天药物量的
%75%)
251(-=q 加上当日的服用量)(mg a ，可见第n 天人体内该药物含量
q
q
a
q
q q a aq aq
aq a n
n n --=++++=++++--11)1(1
21
2
．由于是长期服药，也
考虑到会产生抗药性等复杂情况，为简化计算，服药期间可算作趋于无穷大．因此体内该药物最终存留量
200)(mg 不妨理解为等比级数∑∑
∞
=-∞
=-=1
1
1
1
75
.0)75
.0(n n n n a a 的和
75
.01-a ，即
200
75
.01=-a ．
由此，有
)(5025.0200mg a =⨯=．所以，为使该药物在体内的长期效用水平达到200mg ，在已知条件下，医生确定的每天用药量应为50mg ．
小结
1．正项级数及其审敛法； 2．交错级数判别方法； 3. 绝对收敛与条件收敛.
作业
作业: p222 习题 8.2: 第1—6题的奇数题.
P231—233 第八章（自测题）:1（2）—（5），2（2），（4），3（2）（3）.
预习：第八章8.3 p223—227.
7-2数项级数的审敛法
·复习 1 级数的概念。2 级数的敛散性。3 级数的性质。 ·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。我们先来考察正项级数的敛散性。 ·讲解新课 7-2 常数项级数的审敛法（一） 一 正项级数及其审敛法 定义 如果级数∑∞ =1 n n u 的每一项都是非负数，即0n u ≥， (1,2)n = ，那么称级数∑∞ =1 n n u 为正项级数． 如果级数∑∞ =1 n n u 是一个正项级数，那么它的部分和数列{}n S 是一个 单调增加数列：12......n S S S ≤≤≤≤，如果数列{}n S 有界，即n S 总不大于某一个常数M ，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数 ∑ ∞ =1 n n u 必收敛于和S ，且n S S M ≤≤；反之，如果正项级数∑∞ =1 n n u 收敛 于和S ，即lim n x S S →∞ =，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知： ∑ ∞ =1 n n u 有界，因此可得如下结论：
定理 正项级数∑∞ =1 n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单 调有界。 由此定理可知：如果正项级数∑∞ =1 n n u 发散，则当n →∞时，它的部 分和数列n S →∞，即：1 n n u ∞ ==+∞∑ 1 比较审敛法 设有两个正项级数1 n n u ∞ =∑和1 n n v ∞ =∑， 如果n u ≤n v ),3,2,1( =n 成立，那么 （1）若级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数∑∞ =1 n n u 也收敛. （2）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散． 用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p －级数。 定义 当0p >时 ，1 111112 3 L L p p p p n n n ∞ ==+ + ++ +∑ . 称为 p －级数 特别地：当1p =时，p －级数是调和级数1 1n n ∞ =∑ 。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结 摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。 关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点 无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念 给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。 注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。 借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。 当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。 例2：判别级数的敛散性。 解：因为 由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法
(整理)(习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定.
习题 9-2 1.判断下列级数的敛散性. （1）1121n n ∞ =-∑； （2）2111n n ∞=+∑； （3）11 ln(1)n n ∞ =+∑； （4 ）1n ∞=∑ （5）2111n n n ∞ =++∑； （6）11 1n n p ∞ =+∑（0p >）． 解：（1）1 1 21n n ∞ =-∑ ； 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为 111 1111212 222 n n n n =>=-- ，而调和级数11n n ∞=∑发散，从而1111122n n n n ∞∞ ===∑∑也发散；由正项级数的比较判别法，得级数1 1 21n n ∞ =-∑ 发散。 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为1 121lim lim 1212n n n n n n →∞→∞-==-，而调和级数11n n ∞ =∑发散， 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1 1 21n n ∞ =-∑发散。 （2）2 11 1 n n ∞ =+∑ ； 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为22111n n <+，而级数21 1 n n ∞ =∑收敛（p -级数的结论）； 由正项级数的比较判别法，得级数2 1 1 1n n ∞ =+∑ 收敛。 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为22221 1lim lim 111n n n n n n →∞→∞+==+，而级数21 1n n ∞=∑收敛（p -级数的结论） ，
则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数2 11 1 n n ∞ =+∑收敛。 （3）1 1 ln(1)n n ∞ =+∑ ； 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 因为11ln(1)n n >+（1n ≥） ，且调和级数11 n n ∞ =∑发散； 则由正项级数的比较判别法，得级数1 1 ln(1)n n ∞ =+∑ 发散。 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式） 因为1 ln(1) lim lim 1 ln(1)n n n n n n →∞→∞+=+，而 1 lim lim lim (1)1 ln(1)1 x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=+=+∞++洛必达法则， 所以lim ln(1)n n n →∞=+∞+，即1 ln(1) lim 1n n n →∞+=+∞，又调和级数11n n ∞ =∑发散， 则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数11 ln(1) n n ∞ =+∑发散。 （4 ）1n ∞ =∑ ； 方法一：（利用正项级数的比较判别法） 3 2 1n < =，而级数312 1n n ∞ =∑ 收敛（p -级数的结论）， 由正项级数的比较判别法，得级数1n ∞ =∑ 收敛。 方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）
(完整版)关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1 )(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.
无穷级数总结
无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分和 数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ； 若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散； 若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和． 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ； 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立． 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若0n u ≥，则∑∞ =1n n u 称为正项级数. ② 审敛法： （i ） 充要条件：正项级数∑∞ =1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.
高数辅导之专题十九：正项级数的敛散性判别法
专题十九 基础知识 常数项级数 ++++=∑∞ =n n n u u u u 211 的部分和数列}{n s ，n n u u u s +++= 21。 定义1 若s s n n =∞ →lim ，常数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且 s u n n =∑∞ =1； 若n n s ∞ →lim 不存在，常数项级 数 ∑∞ =1 n n u 发散。（常数项级数 ∑∞ =1 n n u 是否收敛取决于 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 是否存在极限） 常数项级数的基本性质： 性质1若级数 ∑∞ =1 n n u 、 ∑∞ =1n n v 收敛，其和分别为u 、v ，k 、l 是常数，则级数 ) (1 n n n lv ku ±∑∞ =亦收敛，且其和为lv ku ±，亦即 lv ku v l u k lv ku n n n n n n n ±=±=±∑∑∑∞ =∞=∞ =1 11 )( 推论1若级数 ∑∞ =1n n u 收敛， ∑∞ =1n n v 发散，则 )(1 n n n lv ku ±∑∞ =发散，其中l 是不为零的常数。 思考：若级数 ∑∞ =1 n n u 、 ∑∞ =1 n n v 发散，级数 )(1n n n v u +∑∞ =是否一定发散？ 性质2（级数收敛的必要条件）级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u 推论2若n n u ∞ →lim 不存在或0lim ≠∞ →n n u ，级数 ∑∞ =1 n n u 发散。（常用此推论证明级数发散） 常数项级数 ++++=∑∞ =n n n u u u u 211 实际上是由数列}{n u 逐项相加得到的。数列 }{n u 的极限是否存在与数列}{n u 的前几项没有任何关系，只与数列}{n u 的后面无穷多项有关。常数项级数 ∑∞ =1 n n u 的和是否存在同样与数列}{n u 的前几项没有任何关系，只与数列} {n u
第二讲 常数项级数的敛散性判别法
第二讲 常数项级数的敛散性 复习上讲教学内容 1．无穷级数的定义 2．级数收敛和发散的定义 3．基本性质 4．级数收敛的必要条件 本讲教学内容 1．正项级数及其审敛法； 2．交错级数判别方法； 3.绝对收敛与条件收敛. 【教学目的与要求】 1．掌握正项级数的比较判别法； 2．熟悉比值判别法，了解根值判别法； 3．掌握交错级数判别方法； 4. 理解级数的绝对收敛与条件收敛. 【教学重点与难点】 判别方法的灵活运用 §8.2 数项级数的敛散性判别法 一、正项级数收敛的充要条件 若数项级数的各项n u 均非负，则称 ∑∞ =1 n n u 为正项级数．由于0≥n u ， ,3,2,1=n ，因此， n n n n s u s s ≥+=++11， 所以正项级数的部分和数列{}n s 是单调增加数列．即 ≤≤≤≤n s s s 21 若{}n s 有上界，则由“单调有界数列必有极限”知，该正项级数必收敛．反之，若正项级数收敛于s ，即 s s n n =+∞ →lim ，则数列{}n s 必有上界，从而得到如下 重要结论：
定理1 正项级数∑∞ =1 n n u 收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有上界． 二、正项级数及其敛散性判别法 1. 比较判别法 定理2（比较判别法） 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数，且),2,1( =≤n v u n n （1）若级数∑∞ =1 n n v 收敛，则级数∑∞ =1 n n u 也收敛； （2）若级数∑∞ =1 n n u 发散，则级数∑∞ =1 n n v 也发散． 证 （1）若级数∑∞ =1 n n v 收敛，其部分和数列有上界，于是有0>M ，使 ,01 M v n n n ≤≤ ∑= 又n n v u ≤，故 M v u n n n n n n ≤≤ ≤ ∑∑==1 1 0．即∑∞ =1 n n u 的部分和数列有上界．根据定理1 知，级数 ∑∞ =1 n n u 收敛． （2）若∑∞ =1 n n u 发散，则级数∑∞ =1 n n v 必发散，因为若级数∑∞ =1 n n v 收敛，由（1） 知，级数∑∞ =1 n n u 也收敛，与假设矛盾，故级数∑∞ =1 n n v 发散． 由于级数每项乘以非零数，以及去掉级数的有限项，所得级数的敛散性与原级数相同，可得如下推论： 推论 设∑∞ =1 n n u ，∑∞ =1 n n v 均为正项级数， 且从级数的某项起恒有)0(>≤k kv u n n ，则 （1）若∑∞ =1 n n v 收敛；则∑∞ =1 n n u 也收敛； （2）若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 也发散．
数项级数敛散性判别法。(总结)
数项级数敛散性判别法。(总结) 数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。 以下是数项级数敛散性判别法的总结： 1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。 2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。 3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数 $q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有 $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|
5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分 $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。如果积分发散，那么数项级数也发散。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。对于数项级数 a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。以下是判别数项 级数敛散性的常用方法和技巧： 1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是 它的部分和序列收敛。即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数 项级数也收敛。这个方法常用于证明一些级数的发散。 2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判 别级数的敛散性。 -比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。 -比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。 比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较 正项级数等。 3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的 级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则： -若极限存在且大于1，则级数发散； -若极限存在且小于1，则级数绝对收敛； -若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。 极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。即，级数与积分的敛散性相同。 积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。 5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。 序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。 以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
常见级数的敛散性总结
常见级数的敛散性总结 在数学领域中，级数是一种无穷求和的表示方法，由无穷个数相加而得。在研究级数时，一个常见的问题是判断级数的敛散性，即确定级数是否会收敛（和有限）或发散（和无穷）。本文将对几种常见级数的敛散性进行总结。 一、等差级数 等差级数是最简单的一种级数形式，也是最容易判断敛散性的一种。等差级数的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。等差级数的前n项和Sn可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)计算得出。 对于等差级数，当公差d等于0时，级数的每一项都相等，故等差级数收敛。当公差d不等于0时，可以通过求通项an的极限来判断级数的敛散性。若极限存在且有限，则级数收敛，否则级数发散。 二、调和级数 调和级数是最基本的一个级数，通项公式为an = 1/n。调和级数的前n项和Sn可以表示为Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。 调和级数是一个经典的发散级数，即和无限大。这可以通过取Sn 的极限来证明。当n趋于无穷大时，Sn趋近于无穷大，因此调和级数发散。 三、几何级数
几何级数是一种特殊的等比级数，通项公式为an = a * r^(n-1)，其中a为首项，r为公比。几何级数的前n项和可以通过公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)来计算得出。 对于几何级数，当公比r的绝对值小于1时，级数收敛。当 |r|≥1时，级数发散。这可以通过计算Sn的极限来验证。当|r|<1时，Sn有极限存在且有限；当|r|≥1时，Sn趋于无穷大，因此几何级数敛散性与公比的绝对值大小有关。 四、幂级数 幂级数是一种特殊的级数形式，通项公式为an = cn * (x - a)^n，其中cn为系数，a为常数，x为变量。幂级数可以用于描述一 些基本函数，如多项式、指数函数、三角函数等。 对于幂级数，其敛散性与变量x的取值范围有关，故需要对每个 x值进行研究。根据幂级数的收敛域来判断。收敛域为幂级数收敛的x 的取值范围，可以通过比值判别法、根值判别法等方法进行求解。 五、级数收敛的性质 除了具体的级数形式之外，还有一些级数的敛散性性质可以用来 简化判断。 首先是级数的线性性质，即两个收敛级数之和仍然是收敛的，而 两个发散级数之和仍然是发散的。 其次是级数的比较性质，即如果一个级数的每一项都小于另一个 级数的对应项，且另一个级数收敛，则较小的级数也收敛。类似地， 如果一个级数的每一项都大于另一个级数的对应项，且另一个级数发散，则较大的级数也发散。
常数项级数与幂级数的敛散性判定
常数项级数与幂级数的敛散性判定常数项级数和幂级数是数学分析中常见的两种级数形式。在研究级数的性质和求解级数问题时，判定其敛散性是一个关键的问题。本文将介绍常数项级数和幂级数的敛散性判定方法。 一、常数项级数的敛散性判定 常数项级数的一般形式为： \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] 其中，\( a_n \)表示级数的通项。 常数项级数的敛散性主要通过判别级数的通项\( a_n \)是否满足某些条件来进行。 1. 正项级数判别法 若级数的通项\( a_n \)皆大于等于零，并且\( a_{n+1} \geq a_n \) （\( n \)为正整数），则称该级数为正项级数。 正项级数的敛散性可以直接通过判断级数的通项\( a_n \)是否收敛于零来决定。即若\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)，则正项级数收敛；若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \)，则正项级数发散。 2. 比较判别法
若存在一个收敛的正项级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)，使得对于 所有\( n \)，有\( a_n \leq b_n \)，则称级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 与级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)相比较。 根据比较判别法，如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)收敛，则级 数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)也收敛；如果级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)发散，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)也发散。 3. 极限判别法 对于级数的通项\( a_n \)，若存在\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L \)，其中\( L \)是常数，则称级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)满足极限判别法。 极限判别法有以下结论： - 若\( 0 \leq L < 1 \)，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)收敛； - 若\( L > 1 \)，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)发散； - 若\( L = 1 \)，极限判别法不能确定级数的敛散性。 二、幂级数的敛散性判定 幂级数是一种特殊的级数形式，其一般形式为： \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] 其中，\( a_n \)表示幂级数的系数，\( x \)表示幂级数的变量。 幂级数的敛散性主要通过判别系数\( a_n \)是否满足某些条件来进行。
常数项级数敛散性判断(二)
常数项级数敛散性判断（二） 万学教育 海文考研 考研教学与研究中心 江国才 常数项级数敛散性判断（一）对处理常数项级数敛散性判断的步骤作了概述。我们接着来说下对常数项级数收敛的定义和性质。很多同学做不好常数项级数敛散性判断的题有绝大部分的原因是对性质到题目中的体现不能做出判断，换句话说，对性质的本质一些东西抓不住，被题目中的一些表象给迷惑，看不到问题背后的知识点，故就没有头绪。先对常数项级数收敛的定义及性质进行解释，尤其对性质本身的一些特征进行突出强调，因为这些特征往往是我们解题的依据或突破口。以帮助考生对定义及性质增加理解与运用。 定义 设常数项级数1 n n u ∞=∑的前n 项和为1n n k k S u == ∑，若由n S 构成的数列{}n S 的极限 lim n n S →∞存在，则称级数1 n n u ∞=∑是收敛的，称极限值lim n n S →∞为此级数的和，即 11lim lim n n n i n n n i u S u S ∞→∞→∞=====∑∑；若lim n n S →∞不存在，则称级数1 n n u ∞ =∑是发散的。 注：从定义可以看出，判断级数1n n u ∞ =∑收敛本质就是判断部分和n S 构成的数列{}n S 的 极限lim n n S →∞ 是否存在。所以用定义判断级数的敛散性就可以转化为部分和n S 构成的数列{}n S 数列极限的存在问题。故定义适用于n S 形式可以求出的级数。 性质1 级数收敛的必要条件，设级数1n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞=。 注：这个性质告诉我们要判断一个级数，首先他的通项n u 必须是lim 0n n u →∞ =；否则这个级数一定是发散的。故我们判断级数的敛散性第一关注的是否有lim 0n n u →∞ =成立。 性质2 如果级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑是收敛的，则1()n n n ku lv ∞ =+∑是收敛的,其中,k l 为常 数。 注：（1）这个性质可以回到级数收敛的定义上面去理解，这个性质可用数列极限的四则运算法则来理解。设级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的前n 项和分别为1n n i i S u ='=∑，1n n i i S v =''=∑，则 极限lim n n S →∞'，lim n n S →∞''均存在，级数1 ()n n n ku lv ∞=+∑的前n 项和为 111()n n n n i i i i n n i i i S ku lv k u l v kS lS ==='''=+=+=+∑∑∑，
数项级数敛散性判别方法(20210312140148)
华北水利水电 大学 课题: 数项级数敛散性判别方法（总结） 专业班级:水利港航39 班 成员组成: 丁哲祥1 联系方式: 数项级数敛 散性判别法（总结） 摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重
analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterion has many scattered metho d, this paper folding a series of logarithm scatter ed discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving method. Key words : Several series; Gathered scattered sex; I 要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方 法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。 我们这学期学习过的 数项级数敛散性判别法有许多， 本文对数项级数敛散性的判别方法进 行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。 关键词 ：数项级数 敛散性 判别方法 总结 Abstract the mathematical dentifying method; analysis summary of the Several series gathered criterion scattered method (summary) The sequence series is one of the main contents in
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳LT
而当n>x N 时，n x n sin )1(- =n x sin >0，n x n x n sin lim ∞→=1 又∑∞ =1n n x 发散，由比较判别法知∑∞ =1 sin n n x 也发散。 所以0≠∀x ，级数)0(sin )1(1≠∀-∑∞ =x n x n 都是条件收敛的。 例 3. 证明级数)]!1 !21!111([1 n e n ++++-∑∞ = 收敛 证： 0< n a = )!1!21!111(n e +++- < ! 1 n n ⋅= n b . n n n b b 1lim +∞→= ! 1)! 1()1(1 lim n n n n n ⋅+⋅+∞→= 2)1(lim +∞→n n n =0 由比值判别法知∑n b 收敛，再由比较判别法知∑n a 收敛，即有： 级数)]!1 !21!111([1 n e n ++++-∑∞ = 收敛。 根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。 2 柯西判别法（根式判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式n n u ≤l ＜1，则级数∑n u 收敛。（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式1≥n n u 则级数∑n u 发散。 例 1 . 判别级数∑n n 2 2 的敛散性。 解：因为 =∞→n n n u lim 2lim 2n n n ∞→=12 1 < 所以由根式判别法知级数∑n n 2 2 收敛。
3 达朗贝尔判别法（比值判别法） 设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （0＜q ＜1）. （i ）若对一切n ＞0N ，成立不等式 ≤+n n u u 1 q ，则级数∑n u 收敛。（ii ）若对一切n ＞0N ，成立不等式 11 ≥+n n u u 则级数∑n u 发散。 例 1 .判别级数∑⋅n n n n ! 3的敛散性。 解：因为 =+∞→n n n u u 1lim !3)1()!1(3lim 11n n n n n n n n n ⋅++++∞→= n n n )11(3 lim +∞→= e 3>1 所以由比式判别法知级数∑⋅n n n n ! 3发散。 4积分判别法 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。 设f 为[1，+ ∞)上非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分dx x f ⎰∞ 1)(同时收敛或同时发散。 例 1 .判别级数∑∞ =3 )ln (ln )(ln 1 n q p n n n 的敛散性。 解：设f(x)= q p n n n ) ln (ln )(ln 1 ,则f(x)在[3，+ )∞上非负递减。 若1=p ，这时有⎰ +∞ 3 )ln (ln )(ln q p x x x dx = ⎰+∞ 3ln ln q u du = ⎪⎩ ⎪⎨⎧≤∞+>--)1()1() 3ln (ln 111 1 q q q q 当小q ＞1时级数收敛；当小q ≤1时级数发散； 若1≠p ,这时有⎰+∞3 )ln (ln )(ln q p x x x dx =⎰+∞-3ln ln )1(q u p u e du 对任意的q ，当01>-p 时，取t>1,有
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定 摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项 级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。 关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言： 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。 1.预备知识： 1.1级数的定义及性质 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ......21++++n u u u 称为数项级数。其中n u 称为该数项级数的通项。 数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==n k n k n u u u u S 121...。称为数项级数第n 个 部分和。 定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级 数收敛。 若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。即：n n S ∞ →lim 不存在或为∞。 性质： （1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件： 0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)
《高等数学(下册)》教案 第2课 常数项级数的审敛法
课题常数项级数的审敛法课时2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握正项级数的定义及其审敛法 （2）掌握交错级数的定义及其审敛法 （3）掌握绝对收敛与条件收敛的定义及其判定方法 思政育人目标： 通过学习常数项级数的敛散性，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点教学重点：正项级数的定义及其审敛法、交错级数的定义及其审敛法教学难点：绝对收敛与条件收敛的判定 教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程主要教学内容及步骤设计意图 第一节课 考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤 ⏹【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组 织纪律性，掌握学 生的出勤情况 知识讲解（33 min） ⏹【教师】讲解正项级数的定义及其审敛法，并通过例题介绍其 应用 定义1如果级数 1 n n u ∞ = ∑的每一项0(12) n u n=，，，则该 级数称为正项级数．显然，正项级数的部分和数列{}n S是递 增数列，即 12n S S S． 如果数列{}n S有上界，根据数列的单调有界准则可知部分和 数列{}n S有极限，从而级数 1 n n u ∞ = ∑收敛．反之，若级数 1 n n u ∞ = ∑ 学习正项级数 的定义及其审敛 法。边做边讲，及 时巩固练习，实现 教学做一体化
关于级数敛散性的判别
专题七关于级数敛散性的判别 无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助. 在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分．除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如和e,以及对数函数和三角函数值.无穷级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用无穷级数所取得的成功变得越来越多．级数是一门非常活跃的学科, 这方面的研究工作近年来显得十分活跃,全世界出现的文献数量越来越多,各种国际会议文集更是不少.21世纪的级数将发展成什么样子?这是难以预测和估计的问题:猜想今后二三十年里,级数将会紧紧地伴随着计算机数学同时迅速地向前发展.将会扮演各种“解题机”的重要组成部分.另一方面,级数的理论进展将会深深地受益于别的数学分支,猜想代数学的一些分支、拓扑学的一些方法、概率论方法以及非标准分析方法等都会给级数研究提供有效的新工具,同时也会与级数结合起来,创造出对其他学科有用的新方法,级数的发展还会受到各门应用学科的需要而形成种种带有实际色彩的新方向. 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。级数的收敛问题是级数理论的基本问题,是当今“数学分析”的重要内容.判别数值级数的收敛或发散,是无穷级数的重点． 人们已经创造了很多判别级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋于零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法或者其他的判别法．这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． 问题1：正项级数的判敛法常见的包括哪些？ 答：正项级数的三种常见的判别法： 无穷级数包括数项级数和函数项级数,而正项级数又是常数项级数的一种.关于正项级数敛散性的判断,各类教材通常讲的方法大体一致,不外乎是比较判别法及其推论,达朗贝尔判别法和柯西判别法. 定理1(比较判别法) 两个正项级数 1n n u和 1 n n v,且 n n u v,则