(完整版)基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

1．ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤?

????a ＋b 22

(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .

3．算术平均数与几何平均数

(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab .

(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2

4； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .

选择题：

设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )

A ．80

B ．77

C ．81

D ．82

解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y

2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81

若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54

解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2

若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )

A ．[0,2]

B ．[－2,0]

C ．[－2，＋∞)

D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤1

4，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2

若实数x ，y 满足xy >0，则

x x ＋y ＋2y

x ＋2y

的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析

x x ＋y

＋

2y x ＋2y

＝

x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )

＝

x 2＋4xy ＋2y 2

x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2

＝1＋

1

x y ＋3＋2y x

≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2y

x ，即x 2＝2y 2时取等号

若函数()f x ＝x ＋

1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋

1x －2

＋2≥2

(x －2)×

1x －2

＋2＝4，当且仅当x －2＝

1x －2

(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3

已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m

y (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4

解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥1

3(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴1

3(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4

已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1

c 的最小值是( )

A ．9

B ．8

C ．4

D ．2

解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋b

c ≥2

4c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．

由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1

c 取得最小值9

已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4

n 的最小值为( )

A.32

B.53

C.94

D.256

解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)

a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32

当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于3

2

在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36

解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9

若实数a ，b 满足1a ＋2

b ＝ab ，则ab 的最小值为( )

A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2

b ≥2

2ab ＝22ab

，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．

∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2

已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1

b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1

b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4

若a ，b 都是正数，则? ?

???1＋b a ·

? ??

??1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴? ?

???1＋b a ? ????1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2

b a ·4a

b ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号

已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m

a ＋3

b 恒成立，则m 的最大值为( )

A ．9

B ．12

C ．18

D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a

b ＋6

又9b a ＋a

b ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12

已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2

b 的最小值为( )

A ．4

B ．22

C ．8

D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2

b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，

b 2时等号成立

已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4

b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.9

2 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥1

2(5＋2

b a ·4a b )＝9

2，

当且仅当?????

a ＋

b ＝2，

b a ＝4a

b ，

a >0，

b >0，

即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9

2

若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )

A ．6＋2 3

B ．7＋2 3

C ．6＋4 3

D ．7＋4 3

解析

由题意得????

?

ab >0，ab ≥0，

3a ＋4b >0，

∴???

a >0，

b >0.

又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3

b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b

a ≥7＋23a

b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号

若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9

b －1的最小值是( )

A ．1

B ．6

C ．9

D ．16

解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1

a －1＋

9a a －1

－1

＝

1a －1

＋9(a －1)≥2

1a －1

·9(a －1)＝6，当且仅当

1a －1

＝9(a －1)，即a ＝4

3时等号成立，

∴最小值为6

设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ?

????

a ＋

b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b

2＞ab ，

又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ?

??

??

a ＋

b 2＞f (ab )，即q ＞p .

又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )1

2＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q

已知函数()f x ＝x ＋

p

x －1

(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.7

4 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋

p

x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝9

4

填空题：

已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________

解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4

xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝1

2，即?????

x ＝12y ＝1

8

时，(xy )max ＝1

16

已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1

n 的最大值为________

解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )? ????1m ＋1n ＝－? ????2＋n m ＋m n ≤－2－2

n m ·m

n

＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1

n 取得最大值－4

已知x <54，则()f x ＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为________

解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1

5－4x )＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋1

4x －5的最大值为1

函数y ＝x 2＋2

x －1

(x >1)的最小值为________

解析 y ＝

x 2＋2x －1

＝

(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3

x －1

＝

(x －1)2＋2(x －1)＋3

x －1

＝(x －1)＋

3x －1

＋2≥23＋2

当且仅当(x －1)＝3

(x －1)

，即x ＝3＋1时，等号成立

函数y ＝x －1

x ＋3＋x －1的最大值为________

解析 令t ＝

x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝t

t 2＋t ＋4

当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1

t ＋4t ＋1

， ∵t ＋4

t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1

≤15，即y 的最大值为1

5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．

若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________

解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋12

5＝5

已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y

1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，

∴x ＋3y ＝

9－3y 1＋y ＋3y ＝

3y 2＋91＋y

＝

3(1＋y )2－6(1＋y )＋12

1＋y

＝121＋y

＋(3y ＋3)－6≥2

12

1＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当12

1＋y

＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6

已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11

x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______

解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即

x 2＋ax ＋11x ＋1

≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8

x )＋3

设g(x)＝x＋8

x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝

17

3

∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝17

3，∴－(x＋

8

x)＋3≤－

8

3，∴a≥－

8

3，故a的取值范围是[－

8

3，＋∞)

已知x>0，y>0，且1

x＋

2

y＝1，则x＋y的最小值是________

解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1

x＋

2

y)＝3＋

y

x＋

2x

y≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，

∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2

函数y＝1－2x－3

x(x<0)的最小值为________

解析∵x<0，∴y＝1－2x－3

x＝1＋(－2x)＋(－

3

x)≥1＋2(－2x)·

3

－x

＝1＋26，当且仅当x＝－

6

2时

取等号，故y的最小值为1＋2 6

若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________

解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋4

3x≥4，得a≤－8

设a＋b＝2，b>0，则1

2|a|＋|a|

b取最小值时，a的值为________

解析∵a＋b＝2，∴

1

2|a|＋

|a|

b＝

2

4|a|＋

|a|

b＝

a＋b

4|a|＋

|a|

b＝

a

4|a|＋

b

4|a|＋

|a|

b≥

a

4|a|＋2

b

4|a|×

|a|

b＝

a

4|a|＋1，

当且仅当

b

4|a|＝

|a|

b时等号成立

又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，

1

2|a|＋

|a|

b取得最小值

若当x>－3时，不等式a≤x＋

2

x＋3

恒成立，则a的取值范围是________

解析设f(x)＝x＋

2

x＋3

＝(x＋3)＋

2

x＋3

－3，

∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×

2

x＋3

－3＝22－3，

当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]

若对于任意x ＞0，x

x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________

解析 x

x 2＋3x ＋1＝1

3＋x ＋1

x ，∵x ＞0，∴x ＋1

x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，

则

1

3＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.

解答题：

已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1

y 的最小值．

解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，

当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有????? 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得?????

x ＝5，

y ＝2，此时xy 有最大值10.

∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝? ????1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120? ?

???7＋5y x ＋2x y ≥120?

??

??7＋2

5y x ·2x y ＝

7＋210

20， 当且仅当5y x ＝2x

y 时，等号成立．由???

2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x

y ，

解得???

x ＝1010－20

3

，

y ＝20－410

3.

∴1x ＋1

y 的最小值为7＋21020

专项能力提升

设x ，y 均为正实数，且

32＋x ＋32＋y

＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16

解析 由

3

2＋x ＋32＋y

＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16

设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2

z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.9

4 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy

z ＝

xy

x 2－3xy ＋4y

2＝1x y ＋4y x －3

≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2

，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－? ??

??1y －12

＋1≤1

已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1

m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )

A ．[0，2a 1]

B ．[0，2a 2]

C ．[0，4a 1]

D ．[0，4

a 2]

解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1

m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴?????

0≤x ≤4

a 1，

0≤x ≤4

a 2，即0≤x ≤4a 1

，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4

a 1

]

已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 2

2， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．

又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12

设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1

b 的最小值为________ 解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝? ????1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a

b ≥2＋2

b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立

点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________

解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0

正数a ，b 满足1a ＋9

b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________

解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )? ????

1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥

－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.