基本不等式及应用

基本不等式及应用

一、考纲要求：

1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式

基本不等式 不等式成立的条件

等号成立的条件

ab ≤a ＋b 2

a>0，b>0

a ＝b

三、常用的几个重要不等式

(1)a 2＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)

(3)a 2

＋b 2

2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)

上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的

算术平均数不小于它们的几何平均数．

四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号.

五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．

(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14

S 2

.

强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在.

2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）

想一想:错在哪里？

++≤≤22

2

2

a b

a b ≤

+2ab

ab a b １．已知函数，求函数的

最小值和此时x 的取值．x x x f 1)(+=11

:()22

112.

f x x x x x x x x =+≥?===±解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值．

)2(23)(>-+=x x x x f 33()2222

3326f x x x x x x x x x =+≥?-->??

=?=?-?解：当且仅当即时，函数的最小值是。

23x =+大家把代入看一看，会有

什么发现？用什么方法求该函数的

最小值？

3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1

y

)的最小值为________．

解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1

y )≥4，所以z 的最小值是4.

解二：z ＝2＋x 2y 2

－2xy xy ＝(2

xy

＋xy)－2≥2

2

xy

·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2

－2xy xy ＝2

xy

＋xy －2，

令t ＝xy ，则0

2

t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值25

4

.

误区警示：

(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3

x (x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋

2 6.

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错． 课堂纠错补练：

若0

sinx

的最小值为________．

解析：令sinx ＝t,0

t 在(0,1]单调递减，∴t ＝1时y min ＝5.

答案：5

考点1 利用基本不等式证明不等式

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．

2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．

例1：（1）已知c b a ,,均为正数，求证：)(2

2

2

2

2

2

c b a abc a c c b b a ++≥++

（2）已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++

（3）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1

b

≥4.

【证明】 (1)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2

b a ·a b ＝4(当且仅当a ＝b ＝1

2

时等号成立)． ∴1a ＋1

b

≥4.∴原不等式成立． 练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1

c

－1)≥8.

证明：∵a 、b 、c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1

c －1) ＝1－a 1－b

1－c abc

＝

b ＋c

a ＋c a ＋b

abc

≥2bc ·2ac ·2ab abc

＝8.

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3

时取等号．

考点2 利用基本不等式求最值

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

例4： (1)设0

的最大值．

【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件

【解】 (1)∵00，

∴y ＝x

4－2x ＝2·x 2－x

≤2·x ＋2－x

2

＝2，

当且仅当x ＝2－x 即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x

4－2x 的最大值是 2.

(2) x>0，求f(x)＝12

x

＋3x 的最小值；

（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy 的最大值.

（4）已知=

y 4

a －2

＋a ，求y 的取值范围． 显然a ≠2，当a>2时，a －2>0，∴4a －2＋a ＝4

a －2

＋(a －2)＋2≥2

4a －2

a －2＋2＝6，

当且仅当4

a －2＝a －2，即a ＝4时取等号，

当a<2时，a －2<0， ∴

4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2＝－[42－a

＋(2－a)]＋2 ≤－2

4

2－a

2－a ＋2＝－2，

当且仅当4

2－a ＝2－a ，即a ＝0时取等号，

∴4

a －2

＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

(5)已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4

y 的最小值．

∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4

y )(x ＋y) ＝7＋3y x ＋4x

y

≥7＋2

3y x ·4x

y

＝7＋43， 当且仅当3y x ＝4x

y ，即2x ＝3y 时等号成立，

∴3x ＋4

y 的最小值为7＋4 3.

练习：

求下列各题的最值．

(1)已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5

y 的最小值；

解：(1)由x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，可得xy ＝10.

则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2.∴z min ＝2.当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立． (2)x 0，求f(x)＝12

x ＋3x 的最大值；

∵x>0，∴f(x)＝12

x ＋3x ≥2

12x ·3x ＝12，等号成立的条件是12

x

＝3x ，即x ＝2， ∴f(x)的最小值是12.

(3)x<3，求f(x)＝4

x －3

＋x 的最大值．

∵x<3，∴x －3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝4x －3＋x ＝4

x －3＋(x －3)＋3

＝－[4

3－x

＋(3－x)]＋3≤－2

43－x

3－x ＋3＝－1，

当且仅当4

3－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.

（4）14,0,0=+>>b a b a ，求ab 的最大值。

考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧

1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．

例3：（1）已知+

∈R b a ,,ab b a =++3，求ab 的最小值。

（2）已知)10(122<<-=x x x y ，求y 的最大值。

（3）已知+

∈R b a ,，12

2

2

=+b a ，求21b a +的最大值。

（4）求函数x x y 2512-+-=的最大值。

（5）设a>b>c>0，求2a 2

＋

1ab ＋1a a －b

－10ac ＋25c 2

的最小值。 A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5

【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．

【解析】 原式＝(a 2－10ac ＋25c 2)＋1ab ＋ab ＋1a a －b

＋a(a －b)＋a 2

－ab －a(a －b)

＝(a －5c)2

＋1ab ＋ab ＋

1

a a －b

＋a(a －b) ≥0＋2

1

ab

·ab ＋21

a

a －b

·a a －b ＝4， 当且仅当????

?

ab ＝1a a －b

1

a ＝5c

，即a ＝2，b ＝

22，c ＝2

5

时，等号成立．【答案】 B 练习：

（1）(2011年浙江)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．

解析：4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴4x 2＋4xy ＋y 2

－3xy ＝1

∴(2x ＋y)2

－1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32·(2x ＋y 2)2

∵(2x ＋y)2－1≤38(2x ＋y)2 ∴(2x ＋y)2

≤85

即－2105≤2x ＋y ≤2105当且仅当2x ＝y 时取等号，∴(2x ＋y)最大值＝2510.

（2）已知45

4124-+-=x x y 的最大值。

（3）已知0>>y x ，1=xy ，求y

x y x -+2

2的最小值及相应的y x ,的值。

考点4 基本不等式的实际应用

应用基本不等式解决实际问题的步骤是： (1)仔细阅读题目，透彻理解题意；

(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数； (3)应用基本不等式求出函数的最值； (4)还原实际问题，作出解答．

例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；

(2)试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【分析】 (1)首先明确总费用y ＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y 与x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．

【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m.

则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.

由已知xa ＝360，得a ＝360

x ，

所以y ＝225x ＋360

2

x －360(x>2)．

(2)∵x>2，

∴225x ＋3602

x

≥2225×3602

＝10800.

∴y ＝225x ＋3602

x －360≥10440.当且仅当225x ＝360

2

x

时，等号成立．

即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

方法归纳：

(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．

(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

练习：

1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)

与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d ＝kv 2

l ＋12l(k 为正常数)，假定车身长都为4 m ，当车速为60 km/h

时，车距为2.66个车身长．

(1)写出车距d 关于车速v 的函数关系式；

(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

解：(1)∵当v ＝60 km/h 时，d ＝2.66l ，∴k ＝2.66l －1

2l

602

l ＝2.16

602＝0.0006， ∴d ＝0.0024v 2

＋2.

(2)设每小时通过的车辆为Q ，则Q ＝1000v d ＋4，即Q ＝1000v 0.0024v 2

＋6＝1000

0.0024v ＋

6

v . ∵0.0024v ＋6

v

≥2

0.0024v ·6v ＝0.24，∴Q ≤10000.24＝12500

3

.

当且仅当0.0024v ＝6v ，即v ＝50时，Q 取最大值12500

3.

答：当v ＝50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多．

2、设计一幅宣传画，要求画面面积为48402

cm ，画面的宽与高的比为)10(<<λλ，画面的上下各留8cm 的空白，左右各留5cm 空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？如果要求]4

3,32[∈λ，那么λ为何值时使宣传画所用纸张面积最小？

归纳提升：

1．创设应用基本不等式的条件：

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；

(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．

(1)a ＋1

a ≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．

(2)b a ＋a

b

≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立． (3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y ＝ax ＋b

x ，当a>0，b>0

时函数在[－

b

a

，0)，(0, b

a

]上是减函数，在(－∞，－b

a

)，( b

a

，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y ＝－[(－ax)＋(－b

x )]来解决最值问题．