(完整)初中数学总复习尺规作图

尺规作图

尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图

五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法：

①作射线AP ；

②在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）作法：

①分别以M、N 为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径

画弧，两弧相交于P，Q ；

②连接PQ 交MN 于O ．

则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ 与ＭＮ有何关系？）

题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠ AOP ＝∠ BOP （即OP 平分∠ AOB ）作法：

①以O 为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA ，OB 于M，N；

②分别以M 、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画

弧，两弧交∠ AOB 内于Ｐ；

③作射线OP。则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角。

（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）

题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.

求作：△ ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：

① 作线段AB = c ；

② 以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心

a 为半径作弧与前弧相交于C；

③连接AC ，BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m ，n, ∠ . 求作：△ABC，使∠A= ∠ ，AB=m ，AC=n. 作法：

① 作∠ A= ∠ ；

② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ；

③连接BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

题目七：已知两角及夹边作三角

形

已知：如图，∠ ，∠ ，线段m .

求作：△ABC，使∠A= ∠，∠ B= ∠,AB=m.

作法：

① 作线段AB=m ；

② 在AB 的同旁作∠ A= ∠ ，作∠ B=

∠

∠A 与∠B 的另一边相交于C

则△ABC 就是所求作的图形（三角形）

一、尺规基本作图归纳

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作角的平分线；

4、作线段的中垂线；

5、已知三边 ,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形 ;

6、已知底边和底边上的高作等腰三角形；

7、过直线上一点作直线的垂线；

8、过直线外一点作直线的垂线 .

例题：

1、如图 ,有一破残的轮片 ,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件 ,请你根据所学的有关知识 ,设计一种方案 ,确定这个圆

形

零件的半径 .

2、 如图:107国道OA 和320国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和D,现要修建一个货站 P,使P 到OA 、 OB 的距离相等且 PC=PD, 用尺规作出货站 P 的位置 （不写作法 ,保留作图痕迹 ,写出结论 ）

3、

要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？

A

公路两两

个加油站，

6、过直线外一点 A 作圆 O

的切线

4、过点 C 作一条线平行于 AB ；

5、过不在同一直线上的三点 A 、 B 、C 作圆 O ；

二、几何画图 ：

1、只利用一把有刻度的直尺 ,用度量的方法 ,按下列要求画图 : 1）画等腰三角形 ABC 的对称轴 : 2）画∠ AOB 的对称轴

2、有一个未知圆心的圆形工件 .现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定

出圆心 .要求在图上保留画图痕迹，写出画法 .

3、某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的 方

案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些） ．

4、某村一块若干亩土地的图形是Δ ABC ，现决定把这块土地平均分给四位 “花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两

种 分法。要求：画出图形，并简要说明分法。

5、如图所示，在正方形网格上有一个三角形 ABC.

① 作△ ABC 关于直线 MN 的对称图形 （不写作法 ）； ② 若网格上的最小正方形的边长为 1.求△ ABC 的面积 .

7题

6、如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” ．如图（一）中

四边形 ABCD 就是一个“格点四边形” ． ① 求图中四边形 ABCD 的面积；

② 在图中方格纸上画一个格点△ EFG ，使△ EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且为轴对称图形．

7、如图，若 A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ ABC ∽△ PQR ，则点 R 应是甲、乙、丙、丁四

点中的 （ ）

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁

P

甲 乙 丙

丁

C C

Q

A B

M

C

C

C

B

5题

N

6题

8、某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛。

（ 1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心 P ； （ 2）若这个等边三角形的边长为 18 米，请计算出花坛的面积。

9、如图，平行四边形纸条 ABCD 中，E 、F 分别是边 AD 、BC 的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形 ABEF

沿 EF 翻折，得到一个 V 字形图案。

（1）请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形 A1B1FE ；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹 ） （2）已知∠ A=63 °，求∠ B1FC 的大小。

求用尺规作图 ,保留作图痕迹 ）

12

、某公园有一个边长为

4 米的正三角形花坛，三角形的顶点 A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个

圆形或平行四边形花坛， 要求三棵古树不能移动， 且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上． 以下设计过程中画图工具

不限．

10、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形， ∠AOB 画在方格纸上， 请用利用格点和直尺 （无刻度 ）作出∠ AOB

的平分线 11、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题 ,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分 ,请你帮助他设计一个合理的等分方案 （要

11题图

1）按圆形设计，利用图 1 画出你所设计的圆形花坛示意图；

2）按平行四边形设计，利用图 2 画出你所设计的平行四边形花坛示意图； 3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由

13、作一个半圆，使圆心在直角三角形 ABC 直角边 AC 上，且与斜边 AB 直角边 BC 都相切 14、问题探究：

1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使 APB 90°的一．个．点 P ，并说明理由． △APB

1）连接 AC ；

2）以 AB 为边作等边 △ABE ；

3）作等边 △ABE 的外接圆 ⊙O ，交 AC 于点 P ；

2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使 APB 3）问题解决：如图③，现在一块矩形钢板

ABCD ， AB

的 △ APB 和 △ CPD 钢板，且 APB CPD

60°的所

．

有．的点 P ，并说明理由．

4， BC 3 ．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大 60°．请你在图③中画出符合要求的点 P 和 P ，并求出

第 14 题图）

题满分 12 分） 解：（1）如图①，

连接 AC 、 BD 交于点 P ，则 APB 90 14．（本

点 P 为所求．

3 分）

（ 2）如图②，画法如下：

1）以 AB 为边在正方形内作等边 △ ABP ；

2）作△ ABP 的外接圆 ⊙O ，分别与 AD 、 BC 交于点 E 、

F ．

Q 在⊙O 中，弦 AB 所对的 ?APB 上的圆周角均为 60°， E ?F 上的所有点均为所求的点 P ． · · · ··（7 分）

3）如图③，画法如下： 的面积 （结果 保留根 号）．

B

4）在 AC 上截取 AP CP ．

则点 P 、P 为所求． · ·· · · · · · ··（9 分） （ 评卷时，作图准确，无画法的不扣分 ） 过点 B 作BG ⊥AC ，交 AC 于点G ．

Q 在 Rt △ ABC 中， AB 4，BC 3．

AC

AB 2

BC 2 5．

ABgBC

BG

12

．

（10 分）

AC

5

在 Rt △ ABG 中，

AB 4，

AG

AB 2

BG

2

16

5

在 Rt △ BPG BPA 60°，

尺规作图

① 能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线 . ② 能利用基本作图作三角形： 已知三边作三角形； 已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形； 已知底边 及底边上的高作等腰三角形 .

③ 能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆 . ④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明） .

〖考点复习〗

［例 1］如图，已知△ ABC ， C ＝90o 。按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹） ；

①作 B 的平分线，与 AC 相交于点 D ； ②在 AB 边上取一点 E ，使 BE ＝BC ；

③ 连结 ED 。

（ 2）根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角。 （不包括 BE ＝BC ， EBD ＝ CBD ）

［例2］如图，∠ AOB 内有两定点 C 、D ，求作：一点 P 使PC=PD ，且P 到∠ AOB 的两边之距相等。要求：用尺规作图，不

PG

BG tan60

12 3 4 3 5 3 5

AP AG PG

16 4 3 55

11

S △APB 2 APgBG 2

16 4 3 55

12 96 24 3 12 分）

5 25

［例3］要在公路旁建一所小学，使A村、B 村到小学的距离之和最小，请作出小学的位置

［例4］如图，在大圆中有一个小圆O。

（1）确定大圆的圆心；

（2）作直线l ，使其将两圆的面积均二等分。

［例5］已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.

（1）将图1中的格点△ ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△ A1B1C1，请你在图1中画出△ A1B1C1. （2）在图2中画出一个与格点△ DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.

〖考题训练〗

1．下列关于作图的语句中正确的是（ ）

A. 画直线 AB ＝10 厘米 .

B. 画射线 OB ＝10 厘米.

C. 已知 A 、B 、C 三点，过这三点画一条直线 .

D. 过直线 AB 外一点画一条直线和直线 AB 平行 .

2．如图，在 5× 5 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为 1. 请在所给网格中按下列要求画 出图形． 1）从点 A 出发的一条线段 AB ，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 2 2 ； 2）以（ 1）中的 AB 为边的一个等腰三角形 ABC ，使点 C 在格点上，且另两边的长都是无理数；

3．小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工 （如图甲所示 ），他想在现有的六块瓷砖余料中 （如图乙所示 ）挑选 2 块或

3 块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案 （ 在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的 编号 ） 。

（ 3）以（ 1）中的 AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且 格点上，各边长都是无理数．

不全等，其顶点都在

初中尺规11作图专题

理由是：

6．如图，已知正方形 ABCD 的面积为 S 。

（ 1）求作：四边形 A 1B 1C 1D 1，使得点 A 1和点 A 关于点 B 对称，点 B 1和点B 关于点 C 对称，点 C 1 I Care Education 10

4．如图，平行四边形纸条 ABCD 中，E ，F 分别是边 AD ，BC 的中点，张老师请同学将纸条的下半部分 得到一个 V 字形图案。

（ 1）请你在原图中画出翻折后的图形 □A B FE ；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）已

知∠ A=63 0，求∠ B ′ FC 的大小。

□ABFE 沿 EF 翻折，

5．如图， 有一木制圆形脸谱工艺品， 在只有一块无刻度单位的直角H 、T 两点为脸谱的耳朵， 打算在工艺品反面两耳连线中点

斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点 D 处打一小孔． 现

D 的位置（画 出图形表示），并且分别说明理由．

和点 C 关于点 D 对称， 中考数学尺规作图

点D1 和点 D 关于点 A 对称（只要画出图形，不要求写出作法）（2）用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；

（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四边形，面积为S2，则

S2 是否相等？为什么？

⌒

B 为AN 中点，MN 为直径，P 为MN 上一动点，在MN 上求作一点，PA＋PB 的距离最短，并求PA＋PB 的最小值。（

A、 1

B、22

C、 2

D、 3 －1

课后作业〗

①．请在图中作出△ ABC 的角平分线BD （要求保留作图痕迹）S1与

例5．如图， A 为半圆上一个三等分点，

②．用尺规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。为保护环境，市政府计划在连结

米的海边修建一座污水处理厂，设计时要求该污水处理厂到A、B 两居民区的距离相等。

（1）若要以1∶50000 的比例尺画设计图，求污水处理厂到公路的图上距离；

（2）在图中画出污水处理厂的位置P。

A 、

B 两居民区的公路北侧1500

③．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中 B 点坐标为（4，4），则该圆

为。

④．如图，有一条小船，

1）若把小船平移，使点 A 平移到点 B ，请你在图中画出平移后的小船；

2）若该小船先从点 A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P 的位置

1、（11·贵港）（本题满分 6 分）按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）

（1）在图（1）中作出∠ ABC 的平分线；（2）在图（2）中作出△ DEF 的外接圆O．

答案】如图，（每画对一个得3分，共6分）

弧所在圆的圆心坐标

2．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A，再以 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB 的值等于________ ．

宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口 A 、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

考点：作图—应用与设计作图。

专题：作图题。

分析：易得M 在AB 的垂直平分线上，且到 C 的距离等于AB 的一半．

解答：解：作AB 的垂直平分线，以点C为圆心，以AB 的一半为半径画弧交AB 的垂直平分线于点M 即可．

点评：考查设计作图；得到点M 是AB 的垂直平分线与以点 C 为圆心，以AB 的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．