优化设计的数学模型及基本要素

第2章 优化设计的数学模型及基本要素

Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization

2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling)

建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。数学模型建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。

建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的数学表达式。如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机械设备等专业知识来建立数学模型的。

当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。数学模型建的过于复杂，涉及的因素太多，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不接近实际情况，解出来也无多大意义。因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简化。Principle ：The problem is simplified as much as possible.

由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同，数学模型建的可能也不一样。建立数学模型不可能遵循一个不变的规则，本课也不准备把大量的时间花在数学模型的建立上。仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程，使学生从中得到一些启发。

Exp. 2-1

例2-1 用宽度为cm 24，长度cm 100的薄

铁皮做成cm 100长的梯形槽，确定折边的尺寸

x 和折角θ（如图 2-1所示）

，使槽的容积最大。 解: 由于槽的长度就是板的长度，槽的梯形

截面积最大就意味着其容积最大。因此，该问题

就由，求体积最大变成求截面积最大。槽的梯形

截面积为： 图 2-1

?=

2

1S 高 ?（上底边+下底边） 其中，上底边=x 224-；下底边=θcos 2224x x +-；高=θsin x 定义：该优化设计问题的目标函数是槽的梯形截面积S ，设计变量为θ,x 。问题可以简单地归结为：选择适当的设计变量θ,x ，在一定的限制条件下，使目标函数S 达到最大，限制条件为: 120,20<<<

θ

Exp. 2-2

例2-2 如图 2-2所示是一根简化了的机床主轴。在设计这根轴时，有二个重要因素需要考虑，主轴的重量和外伸端的扰度。对于加工精度要求不高的普通机车而言，以选取主轴重量最轻为优化设计的目标，外伸端的扰度可以作为限制条件来考虑。

图 2-2

解： 当主轴的材料选定后，其重量仅与四个量有关。轴的内经d ，外经D ，支撑间的跨距l 及外伸端a 。由于机床主轴的内孔是用来通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不能选作设计变量。因此，该问题的设计变量取 a D l ,,；目标函数，即主轴的重量为 ))((4

122d D a l f -+=πρ ；主轴的限制条件，取它的刚度条件，即外伸端的扰度小于某一规定值 }[y y c ≤及尺寸。 在外力F 作用下，外伸端的扰度为EJ

a l Fa y c 3}(2+= 其中，)(644

4d D J -=π。因此，主轴的刚度约束为][3}(2y EJ a l Fa ≤+。它的尺寸约束为101010,,a a a D D D l l l ≤≤≤≤≤≤。

Exp. 2-3 (p8)

例2-3 如图 2-3所示，钢梁C 的一端与刚性支撑B 焊接在一起,另一端承受作用力6000N 。最优的设计钢梁尺寸，使梁的重量最轻。

图 2-3

解： 钢梁包括梁本身及焊缝，选择独立的设计变量为尺寸,,h l t 和b ，并给定长度 1.4L m =。

用{}{}1234T T

X x x x x h l t b ==表示设计变量。

钢梁的总重量，即目标函数为 c w V V V =+

其中，C V -- 梁C 的体积，立方英寸；W V -- 焊缝的体积，立方英寸。

从图上看，它们的体积分别是

()C V tb L l =+ 2212()2W V h l h l ==

所以，总重量为 2()V tb L l h l =++ → 234212()()f X x x L x x x =++

对于焊接钢梁的限制条件有

（1）焊接应力 ()X τ

焊接应力由二部分组成，()'''X τττ=+

，其中，'''MR J ττ= M --F 产生的扭矩，2[(/2)]M F L x =+；J -- 极惯性矩，222311220.707[()122x x x J x x ??+=+????

； 122

2231[]42x x x R ??+=+????

（2）弯曲应力()X σ

最大的弯曲应力为 243

6()FL X x x σ= （3）失稳临界载荷 ()C P X

当 34/t b x x = 值变大，即梁变薄时，会出现失稳的趋势。对于矩形梁，失稳临界载荷

近似地表示成

()C P X 其中，E -- 杨氏模量；334112I x x =

；33413

Gx x α=，G -- 剪切模量 （4）梁的变形()X δ

假定钢梁是长L 的简支梁，其变形是 33344()FL X Ex x δ=

上面四种约束，加上尺寸约束表示如下 1234142536718()()0

()()0

()0

()0

()0

()()0

()0.1250

()0.25()0

d d c g X X g X X g X x x g X x g X x g X P X F g X x g X X ττσσδ=-≥=-≥=-≥=≥=≥=-≥=-≥=-≥

Exp. 2-4

例2-4 某工厂生产B A ,二种产品。产品A 每件需用材料kg 9，3个工时和h kw .4电，产值为60元；产品B 每件需用材料kg 4，10个工时和h kw .5电，产值为120元；若每天可提供材料kg 300，300个工时和h kw .200电，问每天生产B A ,产品各多少件，获得的总产值才能最大？

解： 这是一个生产计划的优化问题。假设每天生产A 产品1x 件，B 产品2x 件，在材料、工时和电力供应量的限制下，求21,x x 的值，使总产值最大。

该优化问题的设计变量为 1x 和2x ；

目标函数为 m a x 1206021→+=x x f

满足限制条件 材料 3604921≤+x x

工时 30010321≤+x x

电力 2005421≤+x x

2-2 数学模型的三要素及一般形式

无论什么样的优化设计问题，尽管其物理概念不同，但数学模型一般均由设计变量、目标函数和约束条件组成，称其为三要素。

2-2-1 设计变量 （Design Variable ）

1) 设计变量

在机械设计中，一个零件、部件或是一台设备的设计方案，通常是由一组基本参数来 确定和表示的。在设计中，选择哪些参数表示一个设计方案，需要根据各种设计问题的性质来定。有的可以用几何参数，如零件的外形尺寸、截面尺寸、机构的运动学尺寸等；有的可用某些物理量，如构件的重量、惯性距、频率、力和力矩等；还有的可用一些代表工作性能的导出量，如应力、扰度、冲击系数等。总之，这些基本参数是对设计指标性能好坏有直接影响的量。

在设计中，有些基本参数可以根据设计要求事先给定，称为设计常数，如弹模、许用应力等材料特性等。而有些则需要通过在设计过程中进行调整、优选来定，如尺寸等。对于需要优选的参数，在设计过程中均把它们看作是变化的量，称为设计变量。应注意，设计变量一定是独立参数（Variables must be independent ），任何导出量不能作为设计变量（如式2

1z z i =中只能取三个量中的二个作为设计变量）。设计变量有连续变量和离散变量二种形式（Continuous & Dispersive Variable ）。大多数机械优化设计中的设计变量都是连续变量，可以用常规的优化算法来求解。而对于像齿轮的齿数、模数、钢板的厚度等只能在一定的数集里取值的离散变量的优化设计问题，则需用特殊的优化算法。

2) 设计变量的表示

对于一个优化问题，设计变量的个数则称为该问题的维数（Dimension ），用一数组X 或向量表示：（n-dimensional vectors ）

{}T n n x x x x x x X 2121=???

???????????=

以n 个设计变量为坐标轴张成的实空间称为设计空间 （Design Space ），用n

R 表示。设计空间中的每一个点都对应着一个设计方案。二个设计变量（2=n ）对应的设计空间是一个平面（plan ），三个设计变量（3=n ）对应的设计空间是一个三维立体空间（space ）（如图 2-4所示），

图 2-4

当维数大于三时（3>n ），设计空间就无法用图来表示，称为超越空间（transcend space ）。

3) 设计变量的选取

设计空间的维数表示设计的自由度数。设计变量越多，设计自由度就越大，可供选择 的方案就越多，容易得到比较理性的结果。但随着设计变量数目的增多，必然会使问题复杂化，给寻优带来更大的困难。因此，在满足基本设计要求的前提下，应尽量减少设计变量的个数，把对目标函数影响较大的那些参数选作设计变量。但也应注意实用性，如为了选择一种最合适的材料，将材料的某些性能取为设计变量，但这样求得的最优值，从材料供应方面往往难以实现（The variables are chosen as a few as possible ）。

2-2-2 目标函数 （Objective Function ）

1）目标函数的表示

在优化设计中用于评价设计方案好坏的衡量标准（Criterion ），称为目标函数或评价函数。它是设计变量的函数，记作 )()(21n x x x f X f =。

在工程实际中，优化设计问题的目标函数有二种形式，目标函数的极小化或极大化，即 （Maximization & Minimization ）

min )(→X f 或 m a x )(→X f

其实，目标函数)(X f 的极大化就等价于)(X f -的极小化，为了统一优化算法和程序，以后最优化均指目标函数的极小化。

建立目标函数是整个优化设计中的重要环节。在机械设计中，目标函数主要根据设计准则来建立的。对于机构的优化设计，这个准则可以是运动学或动力学的特性，如运动误差、振动特性等；对于另部件的设计，这个准则可以是重量、体积、效率等；对于产品设计，也可以将成本、价格、寿命等作为设计追求的目标。

2）单目标和多目标优化问题 （Single- or Multi- Objective Function ）

在优化设计中，数学模型中仅包含一项设计准则，即目标函数的称为单目标优化问题。同时包含若干个设计准则的就是多目标优化问题。一般来说，目标函数越多，对设计的评价就越周全，设计的综合效果就应该越好，但对问题的求解就会越复杂。本课主要解决单目标优化问题，在最后介绍一些多目标问题的求解方法。

3） 目标函数等值线（Level Curves, Isoline ）

目标函数)(X f 是设计变量x 的函数。一组设计变量{}T

n x x x 21就代表一个设计方 案，在设计空间就确定了一个设计点k x ，就有确定的目标函数)(k x f 与之对应。但反过来，一定值的目标函数C X f =)(，却有无穷多个设计点与之对应。这无穷多个目标函数相同的

设计点的集合，就称为目标函数的等值线，二维函数是等值线，三维函数是等值面，三维以上是等值超曲面。

2-2-3 约束条件 （Constraint ）

如前所述，设计空间是所有设计方案的集合，但从工程实用角度上来说，不是所有的设计方案都能接受，如负面积等。为了得到可以接受的（可行的）设计方案（feasible project ），必须根据实际情况和要求，对设计变量的取值加以限制，这种限制就称为约束条件。

1) 约束种类

?等式约束和不等式 （Equality & Inequality ）

12()()0(1,2,)u u n g X g x x x u m =≤=

),2,1(0)()(21n p v x x x h X h n v v <===

其中，p m ,分别表示不等式和等式约束的数目，注意p 必须小于n ，即n p <。因为，从理论上讲，一个等式可以消去一个变量，若n p =，则可由n 个等式约束中求出唯一的一组设计变量{}T

n x x x 21，就没有优化的余地了。 ? 边界约束和性能约束（ Boundary& Performance ）

边界约束是用于考虑设计变量允许的变化范围的，如一个尺寸应满足 max min l l l ≤≤时可建立不等式约束方程为

1min 2max ()0

()0g X l l g X l l =-≤=-≤

性能约束是由某种设计性能或指标推导出来的一种约束条件，如曲柄摇杆机构中曲柄存在的条件等

Exp.2-4

例2-4 如图2-5所示，曲柄摇杆机构，构件的长度分别为，曲柄1l ，连杆2l ，摇杆3l ，机架4l 。设计曲柄摇杆机构必须满足曲柄存在条件，即曲柄为最短杆，最短杆与最长杆之和必须小于其余二杆之和。于是，其性能约束条件为

1143412

52413

62314()(1,2,3)

()()()i i g X l l i g X l l l l g X l l l l g X l l l l +=>==+≥+=+≥+=+≥+

图 2-5

应注意在本书中，不等式约束都写成0)(≥X g u 的形式，对于0)(≤X g u 的约束，可以写成0)(≥-X g u 的形式。

2) 可行域与非可行域（ Feasible Set ）

由于引入约束以后，设计点在n 维设计空间内被分成二部分。满足约束条件的设计点 称为可行设计点，可行设计点的集合称为可行域，位于可行域边界上的设计点亦是可行点 （Feasible Point ），过该点的约束为起作用约束（Active Constraint ），否则，为不起作用约束（Inactive Constraint ）；不满足约束条件的设计点的集合为非可行域。下面以二维问题为例说明之。

四个不等式约束，一个等式约束，可行、非可行点，起作用、不起作用约束（如图2-6所示）。

图 2-6

2-2-4 数学模型的一般形式（ General Form ）

由设计变量、目标函数和约束条件组成的数学模型实际上就是优化问题的数学抽象。用文字可以表述为：在满足一定的约束条件下，寻找一组设计变量 {}12T n X x x x =，使目标函数

)(X f 达到最优值。其数学表达式为

n n R X x x x f X f ∈=)()(min 21

..t s 12()()0(1,2,)u u n g X g x x x u m =≤=

),2,1(0)()(21n p v x x x h X h n v v <===

在数学模型中，如果目标函数和约束函数)(),(),(X h X g X f v u 都是设计变量X 的线 性函数，则称线性规划问题 (Linear Programming)；否则为非线性规划问题 (Nonlinear Programming)。当0==p m 时，则称为无约束优化问题 (Unconstrained Optimization)，当p m ,中有一个不为零，即为约束优化问题(Constrained Optimization)。在工程实际中，不加任何限制的设计问题是很少遇到的，研究它仅有理论意义。而绝大多数的工程优化问题都属于非线性约束优化问题。

The n -dimensional vectors {}1

2T

n X x x x =, whose values are restricted to

satisfy a number equations ()0v h X =and a set of inequalities ()0u g X ≥, are searched to get the minimum of a function ()f X .

Review 2

Mathematical Modeling

● General Form

12

1212min ()()..()()01()()0

1n n

u u n v v n f X f x x x x R s t g x g x x x u m

h x h x x x v p n =∈=≤====<

The n-dimensional vector {}12

T n X x x x =, whose components are subjected to a set of constraints, is searched to get the minimum of a function ()f X

● Three factors

Variable: must be independent

is continuous. Expression {}1212T

n n x x X x x x x ??????=???????? vector Design space

Choose: The variables are chosen as a few as possible. Objective function:

minimize fun. ()min f X →

single objective fun.

Level curve

Constraint:

Sort -- equality and inequality , boundary and performance Feasible set – feasible point

Active constraint (inactive constraint) ()0k g X =

● Linear programming & Unlinear programming