数学建模零件参数的优化设计

零件参数的优化设计

摘要

本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件参

数)7

2,1

(

i

x

i 决定，参数

i

x的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏

离y0造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为3.995秒。最终计算出的各个零件的标定值为：

i

x={0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625},

等级为：B

B

C

C

B

B

B

d,

,

,

,

,

,

一台粒子分离器的总费用为：421.7878元

与原结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。

为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。

关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差

一、问题重述

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：

7616

.1242

3

56

.02485

.01235136.0162.2142.174x x x x x x x x x x x Y

y 的目标值（记作y 0）为1.50。当y 偏离y 0+0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离y 0+0.3时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：

现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：

x 1=0.1,x

2

=0.3,x

3

=0.1,x

4

=0.1,x

5

=1.5,x

6

=16,x

7

=0.75;容差均取最便宜的等级。

请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括

标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？

二、模型假设

1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；

2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；

3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；

4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。本题可认为1000各零件都为A等、B等或C等；

5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；

6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。

三、符号说明

i x ：第i 类零件参数的标定值（i=1,2……7）；

i x ：第i 类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,2……7）；

i r ：第i 类零件参数的容差（i=1,2,……7）；

i ：第i 类零件参数的方差（i=1,2,……7）；

i i b a ,：标定值i x 的上、下限；

y ：离子分离器某参数的实际值；

0y ：离子分离器该参数的目标值；

y ：离子分离器某参数的均值；

y ：离子分离器某参数的实际值y 相对平均值y 的偏差；

y ：离子分离器某参数的方差；

1P :一批产品中正品的概率；

2P :一批产品中次品的概率；

3P :一批产品中废品的概率；

W：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；

C：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个。

ij

四、问题分析Array

其线性化

该问题是一定约束条件下的最优化问题，经分析题意，拟建立以总费用为目

标函数的非线性规划模型。总费用由损失费和成本费两部分组成，零件成本由简

单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从),(2

i i x N ，可假设y 也服从正态分布，联想正态分布的性质——当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值

i x 便可知道给类零件的容差i r 。最后，便将问题转化为i x 、i r 关于总目标函数的

最优解的问题上。

在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。 合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：

（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。

（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。 此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。

五、模型建立

为了确定原设计中标定值（

的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失W ，即确定

偏离目标值

所造成的损失和零

件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：

)90001000(1000327

1

P P C W i ij

当然，为了确定总损失W ，必须知道1P 、2P 、3P （即正品、次品及废品的概率）。为此，将经验公式用泰勒公式在)72,1( i x X i 处展开并略去二次以上高次项后来研究y 的概率分布，设y x f )(，则

7

1)()(i i i

i x x f

x f y X f 将标定值)72,1( i x i 带入经验公式即得 )(i x f y 所以 i i i

x x f

y y y

7

1 由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即 ）（2

,0N ~i i x 且i x 相互独立，由正态分布性质可知

),0(~2

y N y ),(~2

y y N y

由误差传递公式得 227

12

7

12

)()()(i i i i i

i i i y

x x x f x f （1）

由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则

3

1

.0,305.0,301.0

i

i

x y 的分布密度函数为

2

2

21)(y y y e

y y

y 偏离1.00 y 的概率，即次品的概率为

8

.16

.14

.12

.12)()()()(y d y y d y P （2）

y 偏离3.00 y 的概率，即废品的概率为

8

.12

.13)()()()(y d y y d y P （3）

由于y 偏离0y 越远，损失越大，所以在y 固定时，调整y 使之等于目标值0y 可降低损失。取0y y y 即0y y ，则 )1

.0(

2y

P )3

.0(

3y

P

)(t 为标准正态分布函数。

综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下： 目标函数

min )90001000(1000327

1P P C W i ij

s.t. )72,1( i a x b i

i i )72,1()(0 i x f y i

六、模型求解

初略分析

对于原给定的设计方案，利用matlab 编程计算（见附录），计算结果如下：

由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。进一步分析发现，参数均值y=1.7256偏离目标值

y=1.5太远，致使损失过大。

尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。

模型的实现过程：

本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。最初，我们设定的fmincon 函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为

y，即1.5。然而，在迭代过程中我们发现，求解

过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。显然这是不合理的。因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff 函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int 函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然

后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。

程序流程图

算 法 等级未计算 结 束

min W W Y

N

程序见附录，求解结果如下：

运行总时间：3.995s

离子分离器参数均值y=1.5

=0.0689

离子分离器参数方差

y

模型检验

对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值

x的计

i

算随机模拟N次后结果如下：

正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.8570 0.1430 0.0000 275 143 418

=0.0689画出y的概率分布图，再对x随机取样画根据最优解的y=1.5，

y

出y的概率分布图（见图6.1），由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。

图6.1概率分布图对比图

通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。

七、误差分析

1、在建模过程中，通过泰勒公式将)(X f y 展开并略去二次及以上项使线

性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。

2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允 范围内，即 i i i i x x 3,3 。现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。

3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每 个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。

八、模型的评价及推广

1.优点

（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。

（2）本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。通过建立一个反映设计要求的数学模型，利用MATLAB 软件，经过编程来实现对设计方案参

数的调整，将总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅达到86.28%，结果还是令人十分满意的。

（3）本模型在程序运算的过程中，做了适当处理，将每次循环本该由计算机求偏导和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大大节约了运算时间，将运行时间由几个小时缩短为3.0995s。

2.缺点

（1）本模型在模型的求解过程中，对一些可接受范围内的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。

（2）本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。在已假定的条件下，本模型的优化结果是好的。

3推广

此模型有较强的应用价值。工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。所以需综合考虑零件成本和质量，以求获得最大的经济效益。

本模型具有广泛的适用性，很容易加以推广。模型中的设计变量可以推广到个的情形，即设计变量，其中设计空间是一个维空间。本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。

参考文献

【1】韩之俊,姚平中,《概率与统计》,国防工业出版社,1985

【2】陈宝林,《最优化理论与算法》,清华大学出版社,1989

【3】裘宗燕,《数学软件系统的应用及程序设计》,北京大学出版社,1994 【4】许波，《Matlab 工程数学应用》，清华大学出版社，2001

附录：matlab代码：

function f=result

%穷举108种容错等级组合求解全局最优解

fval=inf;

tic

%Bmin=[2 3 3 3 3 3 2];

%Xmin

B(1)=2;

B(5)=3;

for i=2:3

B(2)=i;

for j=1:3

B(3)=j;

for t=1:3

B(4)=t;

for g=1:3

B(6)=g;

for m=1:2

B(7)=m;

[fv,x]=getcost(B);

if fv

Xmin=x;

Bmin=B;

fval=fv;

end;

end;

end;

end;

end;

end;

f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)

toc

simulation(Xmin,Bmin);%用随机法和计算的结果进行模拟比较function f=simulation(MU,B)

%用随机法和计算的结果进行模拟比较

for i=1:10000

y(i)=Yfun(getparaX(MU,B));

end;

[f,xi] = ksdensity(y);

plot(xi,f); % 画经验概率密度曲线

hold on;

y0=Yfun(MU);

fc=getfcY(MU,B);

%{

x = normrnd(y0,fc,1,10000);

[f1,xj] = ksdensity(x);

plot(xj,f1,'r');

%}

x0=min(y):0.01:max(y);

y=((2*pi)^0.5*fc)^(-1)*exp(-(x0-y0).^2/2/fc^2);

plot(x0,y,'r');

%{

x=min(y):0.01:max(y);

yg=gaussmf(x,[fc,y0]);

plot(x,yg,'r');

%}

title('对照图');

gtext('注:蓝线为对x随机取样求得的y分布');

gtext('红线为根据模型计算出的y分布');

xlabel('y');

ylabel('y的概率密度');

hold off;

function [f,x]=getcost(B)

%在给定容差等级的情况下求最优的标定值，使得Y的均值为y0的情况下，方差最小

MU=[0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75];%给定初始的标定值

options=optimset('LargeScale','off','Display','off');%,'Tolx',1.0000e-032);

[x,fval]=fmincon('getfcY',MU,[],[],[],[],[],[],'mycon',options,B);

x,B,f=cost(x,B)

function [c,ceq]=mycon(MU,B)

%求最优标定值时的约束条件

%c为不等式约束

%ceq为等式约束

c(1)=MU(1)-0.125;

c(2)=0.075-MU(1);

c(3)=MU(2)-0.375;

c(4)=0.225-MU(2);

c(5)=MU(3)-0.125;

c(6)=0.075-MU(3);

c(7)=MU(4)-0.125;

c(8)=0.075-MU(4);

c(9)=MU(5)-1.875;

c(10)=1.125-MU(5);

c(11)=MU(6)-20;

c(12)=12-MU(6);

c(13)=MU(7)-0.935;

c(14)=0.5625-MU(7);

ceq(1)=Yfun(MU)-1.5;

function f=cost(MU,B)

%当标定值为MU，容差等级为B时，求费用

f=25;

p=getP(MU,B);%求正品、次品、废品的概率

if(B(2)==2)

f=f+50;

else

f=f+20;

end;

switch (B(3))

case 1

f=f+200;

case 2

f=f+50;

case 3

f=f+20;

end;

switch (B(4))

case 1

f=f+500;

case 2

f=f+100;

case 3

f=f+50;

end;

f=f+50;

switch (B(6))

case 1

f=f+100;

case 2

f=f+25;

case 3

f=f+10;

end;

if(B(7)==1)

f=f+100;

else

f=f+25;

end;

f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;

function f=getfcY(MU,B)

%对于所给的标定值和容差求Y的方差

f=0;

B=int32(B);

for i=1:7

if B(i)==1

sigma(i)=MU(i)*0.01/3;

end;

if B(i)==2

sigma(i)=MU(i)*0.05/3;

end;

if B(i)==3

sigma(i)=MU(i)*0.1/3;

end;

end;

x1=MU(1);x2=MU(2);x3=MU(3);x4=MU(4);x5=MU(5);x6=MU(6);x7=MU(7);

%求Y对各变量的偏导的评分与对应的方差乘积之和

f=(pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(1))^2;f=f+(pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(2))^2 ;

f=f+(pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(3))^2;f=f+(pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(4)) ^2;

f=f+(pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(5))^2;f=f+(pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(6)) ^2;

f=f+(pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(7))^2;

f=abs(f^0.5);

function f=pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

%Y对x1的偏导

f=8721/50/x5*(x3/(x2-x1))^(17/20)*((1-131/50*(1-9/25/...

(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)+...

148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1))^(3/20)*((1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)...

^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*x3/(x2-x1)^2;

function f=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

%Y对x2的偏导

f=-148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1))^...

(3/20)*((1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(...

3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*x3/(x2-x1)^...

2+8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1))^(17/20)/((1-131/50*(1-9/25/...

(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)*(24759/31250*...

(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(1/2)/(x4/x2)^(2/5)*x4/x2^2+3799/1250*(1-9/25/...

(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(4/25)*x4/x2^2)/x6/x7;

function f=pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

%Y对x3的偏导

f=148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1))^(3/20)*((1-131/50*...

(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^(3/2)*(x4/x2)^(29/25))/x6/x7)^(1/2)/(x2-x1);

function f=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

%Y对x4的偏导

f=8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1))^(17/20)/((1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)^(14/25))^...