函数导数公式及证明.doc
函数导数公式及证明
函数类型常量函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
原函数
f (x) C ,C为常量
f (x)x a
f (x)x m
f (x)a x
f (x)e x
f ( x)lo
g a x
f (x) ln x
f (x)sin x
f (x)cosx
求导公式
f ' ( x)0
( x a )'ax a 1
( x a )( n)a(a 1)...(a n1)x a n
( a 0,1,2..., n1)
( x m )( n) m! x m n, (n m)
(m n)!
( a x )' a xln a
( a x )( n) a x ln n a , (0 a 1)
(e x )'e x
(e x )(n ) e x
(log a x)' 1
x ln a
(log a x)(n ) ( 1)n 1 (n 1)! ,(0 a 1)
x n ln a
(ln x)' 1
x
(ln x) (n ) ( 1)n 1 (n 1)!
x n
(sin x)' cosx
(sin x)( n) sin(x n )
2
(cosx)' sin x
反三角函数双曲函数反双曲函数f (x)tan x
f (x)cot x
f (x) arcsinx
f (x)arccosx
f (x) arctanx
f (x)arccot x
f ( x)sinh x
f ( x) coshx
f (x)tanh x
f ( x)coth x
f (x)arsinh x
f (x) arcoshx
f (x)ar tanh x
(cosx)( n) cos(x n )
2
(tan x)' sec2 x 1
x
1 (tan x)2
cos2
(cot x)' csc2 x 1 1 (cot x)2
sin2 x
(arcsin x) '
1
1
x2
(arccos x)' 1
1 x2
(arctan x)' 1
1 x2
(arccot x)'
1
1
x2
(sinh x)' coshx
(cosh x)' sinh x
(tanh x)' 1
cosh2 x
(coth x)' 1
x
sinh2
( ar sinh x)' 1
x2
1
( ar cosh x) ' 1
x2 1
(ar tanh x)' 1
1 x2
复合函数导数公式
复合函数求导公式
f ( x) g( x)
f ( x)gg( x)
f (x)
g( x)
g (x) ,
f g (x)
[ f ( x) g(x)]'
f ' ( x)
g ' ( x)
[ f ( x)gg( x)]' f ' (x)gg (x) f ( x)gg ' ( x)
[Cgf (x)] ' Cgf ' (x)
'
f ' (x)g
g (x) f ( x)gg ' ( x)
f ( x)
g (x)
g 2 (x)
f ' g(x)
f ' ( g( x))g
g ' (x)
,
1.证明幂函数 f ( x) x a 的导数为 f ' ( x) ( x a )' ax a 1
证:
f ' (x) lim
f ( x
Vx) f (x)
lim ( x Vx)n x n
Vx
Vx
Vx
Vx
根据二项式定理展开
( x ) n
Vx
lim
(C n 0
x n
C n 1 x n 1 Vx C n 2 x n 2 Vx 2
... C n n 1xVx n 1 C n n Vx n ) x n
Vx
Vx
消去 C n 0 x n x n
lim C n 1 x n 1Vx
C n 2 x n 2Vx 2 ... C n n 1 xVx n 1 C n n Vx n
Vx
Vx
分式上下约去 Vx
lim( C n 1 x n 1 C n 2 x n 2 Vx 1 ... C n n 1 xVx n 2 C n n Vx n 1)
Vx
因 Vx
0 ,上式去掉零项 C n 1x n 1
nx n 1
lim
( x
Vx x)[( x Vx)n 1
x( x Vx)n 2 ... x n 2 ( x Vx) x n 1]
Vx 0
Vx
lim[( x Vx)n 1 x( x Vx)
n 2
(x)
n 2
( x Vx) x n 1]
Vx
x n 1
xgx n 2 ... x n 2 gx
x n 1
ngx n 1
2.证明指数函数 f ( x) a x 的导数为 (a x )' a x ln a
证:
f '
(x) lim
f ( x
Vx) f ( x)
lim
a x Vx
a x
Vx 0
Vx
Vx
Vx
lim a x (a Vx
1)
Vx 0
Vx
令 a V x 1 m ,则有 Vx log a (m 1) ,代入上式
lim a x (a Vx 1)
lim a x m Vx 0
Vx V x 0
log a (m 1)
lim
a x m lim
a x ln a a x ln a
ln( m
1) 0 1 lim
1
Vx 0 V x ln(m Vx 0
1)m
ln a
m 1)
ln( m
1 )x
1
根据 e 的定义 e
lim(1 ,则 lim( m 1)m
e ,于是
x V x 0
x
lim
a x ln a
a x ln a
a x
ln a
1
ln e
Vx
ln( m
1)
m
3.证明对数函数 f ( ) log a x 的导数为 f ' (x) (log a x) '
1 x
x ln a
证:
f ' (x) lim f (x Vx) f (x) lim lo
g a (x Vx) log a x
Vx 0 Vx Vx 0
Vx
log a x Vx log a (1 Vx ) ln(1 Vx ) lim Vx x lim
x lim x V x 0
V x 0 Vx V x 0
Vx ln a
x
ln(1 Vx )
ln(1 Vx ) Vx x lim Vx x lim
x
Vx 0 x ln a V x 0
x ln a
根据 e 的定义 e lim(1
1
)x ,则 lim ln(1 Vx )
x V x 0 x
x
Vx e ,于是
x
x
ln(1
Vx
)
V x
ln e 1 lim
x Vx 0
x ln a x ln a x ln a
4.证明正弦函数 f ( x) sin x 的导数为 f ' ( x) (sin x)' cosx
证:
f ' (x)
lim f (x Vx) f (x) lim sin(x Vx) sin x
Vx 0 Vx Vx 0
Vx
根据两角和差公式
sin(x Vx) sin x cosVx cos x sinVx
sin(x Vx) sin x lim sin xcosVx cosxsinVx sin x
lim Vx
Vx
Vx 0 Vx 0
因
lim(sin x cosVx) sin x ,约去 sin x cosVx sin x ,于是
Vx
cosx sinVx
lim
Vx
V x 0
sinVx
因 lim
1 ,于是
Vx 0
Vx
lim(cos x
sinVx
) cosx
Vx 0 Vx
5.证明余弦函数 f ( x) cosx 的导数为 f ' ( x) (cosx) '
sin x
证:
f ' (x) lim f ( x Vx) f (x) lim cos(x Vx) cosx Vx 0 Vx Vx 0
Vx
根据两角和差公式
cos(x Vx) cosx cosVx sin x sinVx
lim cos(x Vx)
cosx
lim cos x cosVx
sin x sinVx cos x
Vx
Vx
V x
Vx
因 lim(cos x cosVx)
cos x ,约去 cos x cosVx cos x ,于是
Vx 0
lim sin x sinVx
Vx
Vx 0
因 lim
sinVx
1 ,于是
Vx 0
Vx
lim(
sin x sinVx
sin x
)
Vx 0
Vx
6.证明正切函数 f ( x) tan x 的导数为 f ' ( x)
(tan x) '
1 x
cos 2 证:
f ' (x) lim f ( x Vx) f ( x) lim tan(x Vx) tan x
Vx 0 Vx V x 0
Vx
sin(x Vx) sin x
lim cos(x Vx) cos x
lim sin( x
Vx)cos x sin x cos(x Vx)
Vx 0
Vx V x
0 Vx cos(x Vx)cos x
根据两角和差公式
sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,
cos(x Vx) cosxcosVx
sin xsinVx
代入上式
lim (sin x cosVx cosx sinVx)cos x
sin x(cos x cosVx sin x sinVx)
Vx 0
Vxcos(x Vx)cos x
lim cos x cosx sinVx ( sin x sin x sinVx)
sinVx(cos xcosx sin x sin x)
Vx cos(x Vx)cos x
lim
Vx cos(x Vx)cos x
Vx 0
V x
因 cos 2 x sin 2 x 1
sinVx
lim
Vx
Vx cos(x Vx)cos x
因 lim
sinVx 1 , lim cos(x Vx)
cos x ,上式为
Vx 0 Vx V x 0
sinVx
1 1
lim
2
Vx 0 Vx cos(x Vx)cos x cos x
f ( x) cot x 的导数为 f ' ( x) (cot x)'
1
sin 2 x
证:
f ' (x) lim f ( x
Vx) f ( x) lim cot( x Vx) cot x
Vx 0 Vx V x 0
Vx
cos(x Vx) cos x
lim sin(x Vx) sin x
lim cos(x Vx)sin x
cos x sin(x Vx)
Vx 0
Vx V x
Vx sin( x Vx)sin x
根据两角和差公式
sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,
cos(x Vx) cosxcosVx
sin xsinVx
代入上式
lim (cos xcosVx
sin x sinVx)sin x cosx(sin x cosVx cos x sinVx)
Vx 0
Vx sin(x Vx)sin x
lim
sin 2 x sin Vx
cos 2
x sinVx
sinVx(sin 2 x cos 2 x)
Vx sin( x
Vx)sin x
lim
Vx sin( x Vx)sin x
Vx 0
Vx
因 sin 2 x
cos 2 x 1 , 且 lim
sinVx
1 ,
lim sin( x Vx)
sin x ,代入上式
Vx 0
Vx
V x 0
lim
sinVx 1 1
Vx sin( x Vx)sin x
sin 2 x
Vx 0
8.证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为
'
' ( x) g ' ( x)
f ( x) g(x)f 证:
f (x)
'
lim
f (x Vx)
g (x Vx)
f (x) g( x)
g( x)
Vx
V x 0
f (x Vx) f (x)
g (x Vx)
g( x)
lim
Vx
Vx
Vx
f ' ( x)
g ' (x)
9.证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为 '
f ' ( x) g( x) f ( x)
g ' ( x)
f (x) g( x)
证:
'
f ( x Vx) g(x Vx)
f (x)g( x)
f (x) g( x)
lim
Vx
Vx
f ( x Vx) f ( x) f ( x) g( x Vx) f ( x) g( x Vx) g( x Vx)
g (x)
lim
V x 0 Vx
lim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g (x Vx) f ( x)g ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)
Vx
Vx 0
lim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g ( x Vx) g( x)
Vx
Vx 0
lim f (x Vx) f (x) g( x Vx) f ( x) g( x
Vx) g( x)
Vx 0 Vx Vx
f ' ( x)
g (x) f ( x) g ' (x)
f ( x) f ( x) ' f ' ( x) g
g (x) f ( x)gg' (x) 10.证明复合函数的导数为
g (x) g (x) g2 (x)
证:
' f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)
f ( x)
g ( x) lim
Vx V x 0
lim f (x Vx) g( x) f ( x) g( x Vx)
Vxg( x)g (x Vx)
Vx 0
lim f ( x Vx) f ( x) f (x) g (x) f ( x) g (x Vx) g( x) g( x)
Vxg (x)g( x Vx)
Vx 0
lim f ( x Vx) f ( x) g( x) f (x) g( x) f (x) g (x Vx) g(x) f ( x) g( x)
Vxg( x) g( x Vx)
Vx 0
lim f ( x Vx) f ( x) g ( x) f (x) g(x Vx) g( x)
Vxg( x) g (x Vx)
Vx 0
f ( x Vx) f ( x)
g( x) f ( x) g( x Vx) g ( x)
lim Vx Vx
g (x)g( x Vx)
Vx 0
' f ' ( x)gg( x) f (x)gg' ( x)
g 2 ( x)
11.证明复合函数 f g ( x) 的导数为 f ' g( x)
f ' (
g ( x))gg ' ( x)
证:
f (
g ( x)) ' lim f ( g( x Vx)) f (g ( x))
Vx
V x
令 u g(x) , 则有 Vu g(x Vx)
g( x)
lim f (u Vu)) f (u)
Vx
Vx 0
lim f (u Vu)) f (u) Vu Vu Vx Vx 0
lim f (u Vu)) f (u) g ( x Vx) g( x)
Vu
Vx
Vx 0
f ' (u)g
g ' ( x) f ' ( g( x))gg ' (x)
'
f ' (x) 12.证明复合函数 ln f ( x) 的导数为 ln f (x)
f ( x)
证:
令 u f (x) ,
ln f ( x) '
'
'
ln u gu
1 gu '
f ' (x)
u f (x)
13.求复合函数 x x 的导数
解:
令 u x x
ln u x ln x
'
u ' 等式左边求导为
ln u
u
x ln x
'
ln x x 1 ln x 1
等式右边求导为
x '
ln x x(ln x)
'
x
u'
ln x 1,
于是有
u
u' (ln x 1)u
则(x x ) ' (ln x 1)x x
14. 证明反三角函数arcsin x的导数为(arcsin x)' 1
1 x
2 证:
令 y arcsin x ,则
sin y x
对上式两边求导 , 等式右边 x' 1
等式左边 ( 根据复合函数求导公式), 其导数为(sin y)' (cos y)gy'
于是有 (cos y)gy' 1
y' 1 1
(cos y)1 sin 2y
再将 y arcsin x 代入上式
(arcsin x)' 1 1
1 sin
2 (arcsin x) 1 x2
15. 证明反三角函数 arccos x 的导数为 (arccos x)' 1
1 x
2 证:
令 y arccosx ,则
cosy x
对上式两边求导, 等式右边x' 1
'
等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 cos y(sin y)gy
'
于是有(sin y)gy' 1 ,整理后如下:
y' 1 1
(sin y) 1 cos2 y
再将 y arccosx 代入上式
(arccos x) ' 1 1
1 cos
2 (arccos x) 1 x2
16. 证明反三角函数arctanx的导数为(arctanx)' 1
1 x2
证:
令 y arctanx ,则
tan y x
对上式两边求导, 等式右边x' 1
'
等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 tan y(1 tan2 y)gy '
于是有 (1 tan2 y)gy' 1 ,整理后如下:
y' 1
1 tan
2 y
再将 y arctanx 代入上式
(arctanx)' 1 1
1 tan
2 arctan x 1 x2
17. 证明 : 反函数的导数为原函数导数的倒数 f 1 ' 1 ,( f ' ( x) 0)
( y)'
f ( x)
如果函数 x ( y) 在某区间I y 内单调、可导且' ( y) 0 ,那么它的反函数y f (x) 在对应区间I x内
也可导,并且 f ' (x) 1 。
' ( y)
证:
因为 y f (x) 连续,所以当 Vx 0 时, Vy 0
f ' (x) lim Vy
lim 1 1
x 0 Vx x 0 Vx ' ( y)
Vy
即 f ' (x) 1
' ( y)
举例:
(arcsin x)' 1 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 sin 2 (arcsin x) 1 x2
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公 式的推导过程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=(α∈Q *)的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=(α∈Q *),则()1f x x αα-'=. 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααα ααααααααααααααααααα αααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++()1111 C x x x ααααα αα---?== 所以原命题得证.
命题 若()sin f x x =,则()cos f x x '=. 推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时,sin 22 x x ??=,所以此时sin 212x x ?=?. 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ,所以原命题得证.
导数公式的证明(最全版)
导数的定义:f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了) 用定义求导数公式 (1)f(x)=x^n 证法一:(n为自然数) For personal use only in study and research; not for commercial use f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx For personal use only in study and research; not for commercial use =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) For personal use only in study and research; not for commercial use 证法二:(n为任意实数) f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) (2)f(x)=sinx
f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx (3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出. 可以推出下表列出的公式:
反角函数求导公式的证明
反三角函数求导公式的证明 §2.3 反函数的导数,复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数,)(x f y =是它的反函数,假定)(y x ?=在I y 内单调、可 导,而且0)(≠'y ?,则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可 导的,而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明: ?∈x I x ,给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导,故它是连续的,且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的,当0→?x 时,必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即:)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 1211312 2 x x arctgx x a x a x '=-'=+'=
证1、设y x sin =为直接函数,x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导,且 '=≠x y cos 0 因此,在 )1,1(-=x I 上, 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到,当)2,2(π π-∈y 时,0cos >y ,221sin 1cos x y y -=-= 因此, 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy =,)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =,I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='= ' 类似地,我们可以证明下列导数公式:
导数公式及证明
编辑本段导数公式及证明 这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程(初等函数可由之运算来): 基本导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2幂函数。y=x^n, y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ;(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ;熟记 y=lnx ,y'=1/x 5.y=(sinx )y'=cosx 6.y=(cosx) y'=-sinx 7.y=(tanx) y'=1/(cosx)^2 8.y=(cotx) y'=-1/(sinx)^2 9.y=(arcsinx)y'=1/√1-x^2 10.y=(arccosx) y'=-1/√1-x^2 11.y=(arctanx) y'=1/(1+x^2) 12.y=(arccotx) y'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到: 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3. 原函数与反函数导数关系(由三角函数导数推反三角函数的): y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x' 证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的: y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况,只能证其为整数Q。主要应用导数定义与
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'() (n 为正整数) 3、 ln =x x a a a '() =x x e e '() 4、ln =a long x x a 1'() 5、ln =x x 1 '() 6、sin cos =x x '() 7、 cos sin =-x x '() 8、=-x x 211'() 知识点二:导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±() 2、 =u v uv v u '''+() 3、(=Cu Cu '' ) 4、u -v =u v u v v 2'''() 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ,()f x '>0,则()f x 在此区间是增区间,(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ,()f x '<0,则()f x 在此区间是减区间,(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数; (1)y x 15= (2) )-y x x 3=≠0( (3))y x x 54=0 ( (4))y x x 23=0 ( (5))-y x x 23 =0 ( (6)y x 5=
(7)sin y x = (8)cos y x = (9)x y =2 (10)ln y x = (11)x y e = 2、求下列函数在给定点的导数; (1)y x 1 4= ,x =16 (2)sin y x = ,x π =2 (3)cos y x = ,x π=2 (4)sin y x x = ,x π =4 (5)3y x = ,11 28(,) (6)+x y x 2=1 ,x =1 (7)y x 2 = ,,24()
函数导数公式及证明
函数导数公式及证明
复合函数导数公式
) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1.证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证: ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →,上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=
12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2.证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证: ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=,则有log (1)a x m =-,代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ,则1 0lim(1)m x m e →+=,于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3.证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证: '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===
导数公式证明大全(更新版)
(麻烦那些盗取他人成果的人素质点,最近总有人把我的作品抄袭过去,改改标题就作为他的东西。愤怒啊!!!!!!) 导数的定义:f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了) 用定义求导数公式 (1)f(x)=x^n 证法一:(n为自然数) f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1)
证法二:(n为任意实数) f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) (2)f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim cosxsinΔx/Δx =cosx (3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx (4)f(x)=a^x 证法一: f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx
反三角函数求导公式证明
§ 反函数的导数,复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数,)(x f y =是它的反函数,假定)(y x ?=在I y 内单调、可导,而且0)(≠'y ?,则反函数)(x f y =在间 },)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的,而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明: ?∈x I x ,给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导,故它是连续的,且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的,当0→?x 时,必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即:)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 1211312 2 x x arctgx x a x a x '=-'=+'= 证1、设y x sin =为直接函数,x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导,且 '=≠x y cos 0 因此,在 )1,1(-=x I 上, 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到,当)2,2(ππ-∈y 时,0cos >y ,221sin 1cos x y y -=-= 因此, 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy =,)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =,I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='= '
高中导数公式大全
C'=0(C为常数函数); (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) .y=c(c为常数) y'=0 .y=x^n y'=nx^(n-1) .y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x y=lnx y'=1/x .y=sinx y'=cosx .y=cosx y'=-sinx .y=tanx y'=1/cos^2x .y=cotx y'=-1/sin^2x
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=(α∈Q *)的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=(α∈Q *),则()1f x x αα-'=. 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证. 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题
推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时,sin 22 x x ??=,所以此时sin 212x x ?=?. 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ,所以原命题得证. 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题
导数证明
3 利用导数证明不等式 ① 函数不等式的证明 a. 构造辅助函数 1 移项构造 例10 ()x x <+1ln ,()0>x 经典不等式 2 变形构造 例11 已知()()x a ax x x f ln 12 12-+-= ,51<--x x x f x f 3 换元构造 4 控制变量构造 例12 若()2ln 2x mx x x f -+=有两个零点1x ,2x ()21x x <,且2210x x x +=。求证()00<'x f 例13 已知()x e x f =,设b a <,试比较?? ? ??+2b a f 与()()a b a f b f --的大小,并说明理由. b. 利用充分性证明 例14 证明0>x 时,ex e x x 21ln -> 例15 已知函数()x x x f ln -=,()x x x g ln = ,证明()()21+>x g x f . 正整数不等式的证明 1 直接构造函数证明 例16 证明*∈N n ,n n n n +<+11ln 2 比较通项构造证明 例17 证明*∈N n ,2≥n 时,n n ln 13121<+++
例18 证明()1 1ln 13ln 12ln 1+>++++n n n 例19 证明()1 11ln 43ln 32ln 2+-<++++n n n n 例20 证明()()() 12121ln 33ln 22ln 222222++-<+++n n n n n 3 利用经典不等式证明 例21 求证e n ? ? ??+??? ??+??? ??+??? ??+2222211811411211 4 零点问题 分类讨论 分离参数 数形结合 例22 已知函数()ax x x f -=ln 有两个零点,求a 的范围. 例23 已知函数mx ex x x +-=232ln 有两个零点,求a 的范围. 5 恒成立,存在性问题 ① 单变量问题 1 分离参数 2 分类讨论 3 找充分证充要 例2 4 已知函数()ax x x f -=ln ,对0>?x ,()0 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法: 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(,求证:当1->x 时,恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ,从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时,0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时,0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-,单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ,因此,当1->x 时,0)0()(=≤f x f ,即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( (右面得证), 现证左面,令111)1ln()(-+++=x x x g , 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 , 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数,在),0(+∞∈x 上为增函数, 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g , ∴当1->x 时,0)0()(=≥g x g ,即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知,当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大(小)值,则有()f x ≤()f a (或()f x ≥()f a ), 那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证. 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证:在区间),1(∞+上,函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方; 常用微积分公式大全 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分. 求导公式大全 1、原函数:y=c(c为常数) 导数: y'=0 导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx 6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx 7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x 导数:y'=logae/x 10、原函数:y=lnx 导数:y'=1/x 求导公式大全整理 y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0 f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosx f(x)=cosx f'(x)=-sinx f(x)=tanx f'(x)=sec^2x f(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0) f(x)=e^x f'(x)=e^x f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0) f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 x f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 x f(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2) f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2) f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2) 高中数学导数学习方法 1、多看求导公式,把几个常用求导公式记清楚,遇到求导的题目,灵活运用公式。 2、在解题时先看好定义域,对函数求导,对结果通分,这么做可以让判断符号变的比较容易。 3、一般情况下,令导数=0,求出极值点;在极值点的两边的区间,分别判断导数的符号,是正还是负;正的话,原来的函数则为增,负的话就为减,然后根据增减性就能大致画出原函数的图像。 根据图像就可以求出你想要的东西,比如最大值或最小值等。 4、特殊情况下,导数本身符号可以直接确定,也就是导数等于0无解时,说明在整个这一段上,原函数都是单调的。如果导数恒大于0,就增;如果导数恒小于0,就减。 §2.3 反函数的导数,复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数,)(x f y =是它的反函数,假定)(y x ?=在I y 内单调、可导,而且0)(≠'y ?,则反函数)(x f y =在间 },)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的,而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明: ?∈x I x ,给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1 因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导,故它是连续的,且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的,当0→?x 时,必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即:)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(lo g )ln 11121131 2 2x x a rctg x x a x a x '= -'= +'= 证1、设y x sin =为直接函数,x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导,且 '=≠x y cos 0 因此,在 )1,1(-=x I 上, 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到,当)2,2(π π-∈y 时,0cos >y ,2 21sin 1cos x y y -=-= 因此, 211 )arcsin (x x -=' 证2 设 x tgy =,)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =,I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 22211 11 cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1 )log (=='=' 高 等数 学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 函数导数公式及证明 函数类型常量函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 原函数 f (x) C ,C为常量 f (x)x a f (x)x m f (x)a x f (x)e x f ( x)lo g a x f (x) ln x f (x)sin x f (x)cosx 求导公式 f ' ( x)0 ( x a )'ax a 1 ( x a )( n)a(a 1)...(a n1)x a n ( a 0,1,2..., n1) ( x m )( n) m! x m n, (n m) (m n)! ( a x )' a xln a ( a x )( n) a x ln n a , (0 a 1) (e x )'e x (e x )(n ) e x (log a x)' 1 x ln a (log a x)(n ) ( 1)n 1 (n 1)! ,(0 a 1) x n ln a (ln x)' 1 x (ln x) (n ) ( 1)n 1 (n 1)! x n (sin x)' cosx (sin x)( n) sin(x n ) 2 (cosx)' sin x 反三角函数双曲函数反双曲函数f (x)tan x f (x)cot x f (x) arcsinx f (x)arccosx f (x) arctanx f (x)arccot x f ( x)sinh x f ( x) coshx f (x)tanh x f ( x)coth x f (x)arsinh x f (x) arcoshx f (x)ar tanh x (cosx)( n) cos(x n ) 2 (tan x)' sec2 x 1 x 1 (tan x)2 cos2 (cot x)' csc2 x 1 1 (cot x)2 sin2 x (arcsin x) ' 1 1 x2 (arccos x)' 1 1 x2 (arctan x)' 1 1 x2 (arccot x)' 1 1 x2 (sinh x)' coshx (cosh x)' sinh x (tanh x)' 1 cosh2 x (coth x)' 1 x sinh2 ( ar sinh x)' 1 x2 1 ( ar cosh x) ' 1 x2 1 (ar tanh x)' 1 1 x2 复合函数导数公式 复合函数求导公式 导数公式的证明(最全版) ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 导数的定义:f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了) 用定义求导数公式 (1)f(x)=x^n 证法一:(n为自然数) f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) 证法二:(n为任意实数) f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) (2)f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx (3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx (4)f(x)=a^x 证法一: f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx (设a^Δx-1=m,则Δx=loga^(m+1))=lim a^x*m/loga^(m+1) 导数的定义::(x)=lim △ y/A x △ x—0 (下面就不再标明A x—0 了) 用定义求导数公式 1)f(x)=x A n 证法一:n为自然数) f'(x) =lim [(x+A x)An-xAn]/A x =lim (x+ A x-x)[(x+ A x)A(n-1 )+x*(x+ A x)A(n -2)+...+xA(n-2)*(x+ A x)+xA(n -1 )]/ A x =lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)] =xA(n-1 )+x*xA(n -2)+xA2*xA(n -3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n -1 ) =nxA(n-1) 证法二:n为任意实数) f(x)=xAn lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*xAn f'(x)=nxA(n -1) (2)f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+A x)-sinx)/A x =lim (sinxcos A x+cosxsin A x-sinx)/ A x =lim (sinx+cosxsin A x-sinx)/A x =lim cosxsin A x/A x =cosx (3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+A x)-cosx)/A x =lim (cosxcos A x-sinxsin A x-cosx)/A x =lim (cosx-sinxsin A x-cos)/A x =lim -sinxsin A x/A x =-sinx 4)f(x)=a A x f'(x) =lim (aA(x+A x)-aAx)/A x =lim a A x*(a A△ x-1)/A x 设"Ax-仁m,贝U A x=logaA(m+1)) =lim aAx*m/logaA(m+1) =lim aAx*m/[ln(m+1)/lna]构造函数法证明导数不等式的八种方法
常用微积分公式大全
求导公式大全
反三角函数求导公式证明
高等数学必背公式大全一目了然版
函数导数公式及证明.doc
导数公式的证明最全
导数公式证明大全