九年级上册一元二次方程专题讲义

九年级上册一元二次方程专题讲义

考点1：一元二次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．

一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0)．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．

例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是 ( )

A.1212+=+x x ）（

B.02112=++x

x C.02=++c bx ax D.1222-=+x x x

练习1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A.

22)2(1+=+x x ）（ B. K 2x ＋5k+6=0 C.3x 2＋2x+x

1=0 D.( k 2＋3) x 2＋2x+1=0 例2.关于x 的方程1(3)50a a x x --++=是一元二次方程，则a ＝_______．

例3.一元二次方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为_______．

考点2：一元二次方程的解法

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法． x+a=±b

∴1x =-a+b 2x =-a-b

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(a ≠0)的一般步骤是：

①化为一般形式；

②移项，将常数项移到方程的右边；

③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b 的形式；

⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ＜0，则原方程无解．

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法，它是通过配方推导出来的． 一元二次方程解的情况：式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊

字母“Δ”来表示，即Δ=b 2－4ac ． ⑴b 2－4ac ＞0 ?方程有两个不相等的实数根；

⑵b 2－4ac=0 ?方程有两个相等的实数根；

⑶b 2－4ac ＜0 ?方程没有实数根．

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b 2－4ac ，解题主要用于求方程中未知系数的值或取值范围． 一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)．

步骤：①把方程转化为一般形式；

②确定a ，b ，c 的值；

③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式．

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．

理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.

步骤是：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法.

例1.用合适的方法解下列方程：

（1）x 2＋2x －4=0 （2）()()22121-=+x x （3）4(x-1)2=25

（4）2x 2-x-2=0； （5）x 2-x-6=0； （6）(x-1)2=3x(x-1)

练习1.已知方程x 2+kx －3=0一个根是－3，求它的另一个根及k 的值

练习2.若x 2- 2x 与2x - 4互为相反数，则x 的值为（ ）

A ．12

B 、2

C 、±2

D 、±12

练习3.已知一元二次方程x 2+ 2x －8=0的一根是2，则另一个根是_______．

练习4.若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2

+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_________．

练习5.等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两根，则这个三角形的周长是________．

例2.若关于x 的一元二次方程－x 2+（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值范围是_______．

练习6.若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）

A.k ＞－1

B. k ＞－1且k ≠0

C. k ＜1

D. k ＜1且k ≠0

中考链接：

（2013昆明，6，3分）一元二次方程2x 2－5x ＋1=0的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

（2015昆明，13，3分） 关于x 的一元二次方程01422=-+-m x x 有两个相等的实数根，则m=______.

考点3：根与系数的关系(韦达定理) 对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，1x + 2x =a

b -，1x ?2x =a

c 。 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如2122122212)(x x x x x x -+=+ 21212

111x x x x x x +=+ 解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

例1.若1x ,2x 是方程x 2－5x+6=0的两个根，则1x ?2x 的值是（ ）

A .1 B.5 C. －5 D.6

练习1.若1x ,2x 是方程x 2 －3x －1=0的两个根，则2

111x x +的值为（ ） A.3 B.－3 C.31 D.－3

1 练习2.若1x ,2x 是方程x

2 －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（ ）

A.8

B. 7

C.6

D.5

练习3.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+

4

k =0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；

(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；若不存在说明理由．

例2.一元二次方程x 2－4x+m=0的一根为2+5，则另一根为_______．

中考链接： （2009昆明，4，3分）一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根之和为（ ）

A ．5

B ．－5

C ．－6

D ．6

（2010昆明，5，3分）一元二次方程220x x +-=的两根之积是（ ）

A ．-1

B ．-2

C ．1

D ．2

（2011昆明， 5，3分）x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是（ ）

A 、﹣72错误!未找到引用源。，﹣2

B 、﹣72，2

C 、72，2

D 、72

，﹣2 （2014昆明，3，3分）已知1x 、2x 是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个根，则x 1?x 2等于（ ）

A.4-

B.1-

C.1

D.4

考点4：一元二次方程的应用

一、考点讲解：

1．构建一元二次方程数学模型，注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以 保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．

常见的模型如下：

①传染问题：常见的数量关系是a （1+ x ）2= b ，其中a 表示传染前患病的人数，x 表示每个人每轮

中传染的人数，2表示传染两轮，b 表示传染结束后患病的总人数．

例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，经过三轮传染后共有多少人被传染？

练习 1.

某生物实验室需培育一群有益菌．现有6个活体样本，经过两轮培植后，总和达

2400个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．

（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？

（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？

②与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等．

例1.课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．

练习1.在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？

32m

③有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的数量关系是a（1±x）2 = b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后的数据．( 注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1 )

例1.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）

A.9﹪

B.10﹪

C. 11﹪

D.12﹪

练习1.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少人次？

④经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。例1.某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

练习1.爱家超市将进货单价为40元的商品，以50元销售时，能卖出500个，已知该商品每涨1元钱就少卖10个,为了赚8000元的利润.

方法一：设每件童装应涨价x元

方法二：设每件童装应定价x（x＞50）元

⑤握手问题：常见的数量关系是x(x-1)=a 或者2

1x(x-1)=a ，x 表示参加握手的人数 例1.参加一个聚会的每两个人之间握一次手，共握手21次，共有多少人参加聚会？

练习1.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个球队参加比赛？

中考链接：

（2013昆明，7，3分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直

的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x

米，则可列方程为（ ）

A.100×80－100x －80x=7644

B.(100－x)(80－x)＋x 2=7644

C.(100－x)(80－x)=7644

D.100x ＋80x=356

（2014昆明，6，3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果

产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ）

A. 100)1(1442=-x

B. 144)1(1002=-x

C. 100)1(1442=+x

D. 144)1(1002=+x