江苏省连云港市2018届高三第一学期期末调研考试数学

江苏省连云港市2018届高三第一学期期末调研考试

数学Ⅰ

参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．

2.圆锥的侧面积公式：1

2

S cl =

，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =U ▲ ．

2．已知复数2i

z +=

（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．

4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．

5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为

20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，

3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ． 8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．

9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标

分别是

6π，

3π，23

π，则实数ω的值为 ▲

． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P 到直线:0l x +=的距离

的最小值为 ▲ ．

11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．

150 200 250 300 350 400

450 （第5题） （第17题）

012While 62

End While Pr int a b I I a a b b a b

I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）

12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于

直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．

13．已知函数2

211()(1)1x x f x x x ?-+ ?=?- > ??，≤，，

，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．

14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=?，，，D 为边BC 的中点．若

CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3

B A -=. ⑴求tan B 的值；

⑵若13c =，求ABC △的面积.

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，

11B C 的中点.

求证：⑴//MN 平面11ABB A ；

⑵1AN A B ⊥.

B （第14题） A

D C

E （第16题）

1

A 1

B N

M

1

C C

B

A

17．(本小题满分14分)

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆

O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π

02

θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．

⑴求S 关于θ的函数关系式；

⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长

度．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

2

，且

过点312

(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分

别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；

⑵若AF FC =，求BF

FD

的值；

⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k

求出m 的值；若不存在，请说明理由.

图1 图2 （第17题）

19．(本小题满分16分)

已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，

． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；

⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）

已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .

⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且3

2

λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题

．．．．．．．．，并在相应的答题区域

．．．．．．．．．

内作答

．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交

于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：2

AB BE BD AE AC

=?-?

B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵

10

01

??

=??

-

??

A，

41

23

??

=??

??

B，若矩阵=

M BA，求矩阵M的逆矩阵1-

M．

C．[选修4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建

立极坐标系，判断直线

12

:

12

x t

l

y t

=+

?

?

=-

?

（t为参数）与圆2

:2cos2sin0

Cρρθρθ

+-=的

位置关系．

D．[选修4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

A B

C

D

E

F

(第21－A题)

O

.

已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 22221

11115

a b c d a b c d +++++++…．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和

11A C 的中点．以{,,}FA FB FG u u u r u u u r u u u r

为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．

⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；

⑵求二面角1F BC C --的余弦值．

23．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．

⑴求曲线E 的方程；

⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．

数学参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 6

．

2 7．5

9

8．54 9．4 10

．11 12

．1] 13．[2,2]- 14．27

7

-

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．

，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =

，得A

为锐角，所以4

sin 5

A =， 所以sin 4

tan cos 3

A A A =

=，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A A

B B A A B A A

-+=-+=--?. ………………………………4分

1433314133

+

==-? …………………………………………………………6分

（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，

所以sin B B =

， ………………………………………………8分

由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分

由正弦定理sin sin b c B C =

,

得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114

sin 151378225

S bc A ==???=. …………………………14分

16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB

因为,M P 分别是,AB AC 的中点，

所以//,PM BC 且1

.2

PM BC =

在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，

所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，

所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ?平面11ABB A ，1PB ?平面11ABB A ，

所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ?面11ABB A ，

所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=o

，所以1111B C B A ⊥，

面11ABB A I 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ?平面， 所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ?面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，

连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥，

又因为111=NB AB B I ，且1AB ，1NB ?面1AB N ， 所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分

而AN ?面1AB N ，

所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，

在AOE ?中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分

在ABD ?中，sin 20cos sin BD AB θθθ=?=?，

…………………………………………………………4分

所以1220sin cos 20cos 2

S θθθ=?π??

2400sin cos θθ=π，(0)2

π

θ<<

……………………6分

（2）要使侧面积最大，由（1）得：

23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分

设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=

得：x

当3x ∈时，()0f x '>

，当(3

x ∈时，()0f x '<

（第16题）

1

A 1

B N

M 1

C C

B A

P

所以()f x

在区间3

上单调递增，在区间(3

上单调递减， 所以()f x

在

x =时取得极大值，也是最大值； 所以当sin 3

θ=

时，侧面积S 取得最大值，

…………………………11分

此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====

答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为

3．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22

12

1914c a a b ?=????+=?

?……………2分

解之得：2

a b =???=??，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分

（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2

A ，所以3

(1,)2 B --，

此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,

1,

43x y x y --=??

?+=??

，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分

故1(1)713317

BF FD --==-．…………………………………………………………………10分

（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，

直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22

143

x y +=，得 222

00

00(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标0

8552C x x x -=-，…………………12分

又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00

00

3(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(

52x x ++，

3)52y x +， ……………………………………………14分 所以00

00021

00000

3355

52528585335252y y y x x k k x x x x x --

+-===+--

+-，

即存在53m =

，使得215

3

k k =． ………………………………………………………16分 19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞

当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，

所以1(21)(1)

()21x x h x x x x -+'=+-

=

………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当1

2

x >时，()0h x '>，

所以函数()h x 在区间1(0,)2

单调递减，在区间1

(,)2+∞单调递增，

所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11

+ln 24

，无极大值；…………………4分

（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，

则121212

()()

()()f x g x f x g x x x -''==-

所以21121212

1(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122a

x x =

-，代入2121122

1(ln )x x x ax x a x -=++--得： 222221ln 20(*)424

a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则2323

1121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2

000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=

2x a x x x -=-可得：2min 00000

1

()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211

()220G x x x x

'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G

所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分

又当2

a x e

+=时22

2421()ln 2424

a a a a a F x e a e e +++=-++--

2211

()04a a e

+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．

又由12y x x =-得：21

20y x

'=--<