最新3济南大学高等数学中值定理及导数的应用-疑难解答汇总

3济南大学高等数学中值定理及导数的应用-疑难解答

第四章中值定理及导数的应用习题选解

习题4-1 中值定理

1．验证下列各题，确定ξ的值:

（1）对函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上验证罗尔定理；

（3）对函数?Skip Record If...?及?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上验证柯西中值定理.

解（1）显然?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知至少有一点?Skip Record If...?使得?Skip Record If...?.

解?Skip Record If...?得?Skip Record If...?,取n=0,?Skip Record If...??Skip Record If...?

显然?Skip Record If...?,故确有?Skip Record If...?使?Skip Record If...?.

（3）因为?Skip Record If...?及?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，?Skip Record If...?内可导,且?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内不为0.由柯西中值定理知,至少?Skip Record If...?使?Skip Record If...?,即1=?Skip Record If...?. 故?Skip Record If...?满足柯西中值定理.

2.证明下列不等式:

(3)?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?;

(4) 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?.

证

（3）当?Skip Record If...?时，显然成立.

当?Skip Record If...?时，令?Skip Record If...??Skip Record If...?时同理可得,由?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,?Skip Record If...?内可导,得

?Skip Record If...? ?Skip Record If...?,

即?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，所以

?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?.

(4)令?Skip Record If...?，由于函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,?Skip Record If...?内可导,所以

?Skip Record If...?即?Skip Record If...?因为?Skip Record If...?,故?Skip Record If...?,所以?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?.

5.不用求出函数?Skip Record If...?的导数,试判别方程?Skip Record If...?的根的个数.

解由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,?Skip Record If...?内可导,且?Skip Record If...?,所以由罗尔定理可知:?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?.同理?Skip Record If...?,使?Skip Record If...?,?Skip Record If...?使?Skip Record If...?.显然?Skip Record If...?都是方程?Skip Record If...?的根.

注意到方程?Skip Record If...?为三次方程，它只能有三个根（包括实根、复根）,故?Skip Record If...?也就是方程?Skip Record If...?的三个实根.又?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件,故存在?Skip Record If...?,使?Skip Record If...?,存在?Skip Record If...?,使?Skip Record If...?.而?Skip Record If...?是一个二次多项式，至少有两个实根.因此,方程?Skip Record If...?有且仅有两个实根.

6.若函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内满足关系式?Skip Record If...?且

?Skip Record If...?，证明：?Skip Record If...?.

证作函数?Skip Record If...?,

?Skip Record If...?,

故?Skip Record If...?（常数）.又?Skip Record If...?,得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?即?Skip Record If...?.

习题4-2 洛必达法则

1.用洛必达法则求下列各极限:

（8）?Skip Record If...?；（9）?Skip Record If...?;

（10）?Skip Record If...? ; （11）?Skip Record If...?;

（12）?Skip Record If...? ; （13）?Skip Record If...?;

（14）?Skip Record If...?.

解

（8）?Skip Record If...?

(9) ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?

(10) ?Skip Record If...?

(11) ?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?

(12) ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?

(13) 设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，

?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?

所以?Skip Record If...?

（16）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，

?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?

2.验证极限?Skip Record If...?存在,但不能用洛必达法则求出.

解 ?Skip Record If...? , 但 ?Skip Record If...?.

用洛必达法则计算所得到的式子极限不存在（不包括∞）,故洛必达法则失效. 习题4-3 导数的应用

1.确定下列函数的单调区间:

（2）?Skip Record If...?; (8)?Skip Record If...?

解(2）?Skip Record If...?,对任意?Skip Record If...?内至少有有限个零点,故?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内单调增加,又由M的任意性知,?Skip Record If...?在（-∞，+∞）内单调增加.

(8)当?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?时?Skip Record If...?,

?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,

因为所给函数是定义域为?Skip Record If...?，以周期?Skip Record If...?向?Skip Record If...?延拓且导函数也是周期为?Skip Record If...?的函数,所以可从函数?Skip Record If...?内的单调性推知函数在全定义区间的单调性.

在?Skip Record If...?内?Skip Record If...?为驻点,由cos2x为减函数,得

所以当?Skip Record If...?时，函数单调性增加；

当?Skip Record If...?时,函数单调减少；

当?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?.

与前面类似的讨论可知

当?Skip Record If...?时,函数单调增加;

当?Skip Record If...?时,函数单调减少.

综合两种情形可得函数在?Skip Record If...?上单调增加，在?Skip Record If...?上单调减少?Skip Record If...?.

2.证明下列不等式:

（3）当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?

（4）当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?

（5）?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?

证（3）设?Skip Record If...?得?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上是增函数,当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?，因为?Skip Record If...?,所以?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上是增函数,因而当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?即?Skip Record If...?

（4）设?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?上单调增加,得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上单调增加,从而?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上单调增加,得?Skip Record If...?得证.

(5)原不等式即为?Skip Record If...?设 ?Skip Record If...??Skip Record If...?

因为?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?，从而?Skip Record If...?，这时?Skip Record If...?即?Skip Record If...?

（注：此题推广至一般为：若?Skip Record If...?）

3.讨论下列方程的根的情况:

（2）?Skip Record If...?

解设?Skip Record If...??Skip Record If...?驻点为?Skip Record If...?

显然?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的最大值点.因为

?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?

故?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上有且仅有一实根,在?Skip Record If...?上有且仅有一实根,即?Skip Record If...?有两个实根.

4.求下列函数的极值:

（7）?Skip Record If...?（8）?Skip Record If...?（10）?Skip Record If...?

解（7）?Skip Record If...??Skip Record If...?

令?Skip Record If...?得驻点:?Skip Record If...?

?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?

当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?为极小值点,极小值为?Skip Record If...?

当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?为极大值点,极大值为

?Skip Record If...??Skip Record If...?

（8）由对数求导法得?Skip Record If...?解得驻点为?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?为极大值点,极大值为?Skip Record If...?

（10）?Skip Record If...? ?Skip Record If...?是导数不存在的点,当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?是极大值点,极大值为?Skip Record If...?

5.求下列曲线的凹凸区间和拐点:

（4）?Skip Record If...?（6）?Skip Record If...?

解（4）?Skip Record If...?

?Skip Record If...?

令?Skip Record If...?,得?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?所以点?Skip Record If...?为拐点,曲线在?Skip Record If...?上是凸的,在?Skip Record If...?上是凹的.

（6）?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...?令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?

所以曲线在?Skip Record If...?和?Skip Record If...?上是凸的,在?Skip Record If...?是凹的,拐点为?Skip Record If...?.

6.利用函数图形的凹凸性证明下列不等式:

（3）?Skip Record If...?

证（3）设?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?所以曲线?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上是凹的.故对任意的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?

即?Skip Record If...?即?Skip Record If...?

7.解下列各题:

（2）试确定曲线?Skip Record If...?中的a,b,c,d,使得?Skip Record If...?处曲线的切线为水平,点?Skip Record If...?为拐点,且点?Skip Record If...?在曲线上；

（3）试确定?Skip Record If...?中k的值,使曲线在拐点处的法线通过原点?Skip Record If...?.

解(2)?Skip Record If...??Skip Record If...?依题意，有

?Skip Record If...?即?Skip Record If...?

济南大学2013——2014高等数学(二)A试卷

济南大学2013～2014学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课程高等数学A （二）考试时间 2014 年 6 月 24 日 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) 微分方程044=+'-''y y y 的通解为 . (2) 极限=+-→22)1,0(),(1lim y x xy y x . (3) 设二元函数)sin(y x z +=，则=z d . (4) 幂级数∑∞ =+131n n n x n 的收敛半径为 . (5) 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数，在区间),[ππ-上的表达式为x x f =)(，则)(x f 的傅里叶级数在π=x 处收敛于 . 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) 极限=→x xy y x )sin(lim )2,0(),( (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 不存在. (2) 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的全微分存在是它在该点两个一阶偏导数都存在的 (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件. (3) 若),(y x f z =在),(00y x 处取得极大值，令),()(0y x f y g =. 则 (A) )(y g 在0y 取得最大值. (B) )(y g 在0y 取得极大值. (C) 0y 是)(y g 的驻点. (D) 以上都不对. (4) 下列级数中，绝对收敛的是 (A) ∑∞=+--111)1(n n n n . (B) ∑∞=-1)1(n n n . (C) ∑∞=-12)1(n n n . (D) ∑∞ =-1)1(n n n . (5) 微分方程x e y y y -=-'-''42的特解形式应设为 (A) x e Ax -2. (B) x e Ax -+)4(2. (C) x Axe -. (D) x Ae -. 三、计算题（每小题8分，共40分） (1) 设2 23cos xy y x z -=，求x z ??，y z ??，22x z ??和y x z ???2.

济南大学大一上学期高等数学试题

高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。二、计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。三、求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋

中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是

统计学习题

济南大学《统计学》综合练习题一．单项选择题 1．社会经济统计学的研究对象是( )。 A) 社会经济现象总体的数量特征和数量关系 B) 社会经济现象的规律性及表现 C) 国民经济和社会现象的规律 D) 社会经济调查、整理、分析的原理原则和方式方法 2．在全国人口普查中，（）。 A）男性是品质标志表现B）人的年龄是标志值 C）全国人口是统计指标D）人口的平均年龄是数量指标3．对某地区工业企业职工状况进行了解，统计总体是( )。 A) 该地区全部工业企业 B) 每个工业企业 C) 该地区全部工业企业的全部职工 D) 每个工业企业的全部职工 4．某城市进行工业企业未安装设备普查，总体单位是（）。 A）工业企业全部未安装设备 B）每个工业企业的未安装设备 C）工业企业每一台未安装设备D）每一个工业企业 5．下列指标中属于质量指标的是（）。 A）产量B）单位产品成本C）销售额D）人口数6．人口普查规定标准时间是为了( )。 A) 避免登记的重复和遗漏 B) 确定调查对象的范围 C) 确定调查单位 D) 确定调查时限 7．填报单位是( ) A）调查标志的承担者B）负责向上级报告调查内容的单位 C）构成调查对象的每一单位D）重点单位 8．下列调查中，调查单位与填报单位一致的是( )。 A) 全国人口普查 B) 工业设备普查 C) 全国工业普查 D) 农村耕畜调查 9．对全国各铁路交通枢纽的货运量、货物种类等进行调查，以了解全国铁路货运概况。这种调查属于（）。 A）不连续性典型调查 B）连续性全面调查 C）连续性重点调查 D）抽样调查 10．抽样调查必须遵循的原则是( )。 A) 全面性原则 B) 灵活性原则 C) 随机性原则 D) 经济性原则 11．某地区进行牲畜调查，按2000年1月1日情况进行登记，呈报截止时间为2000年2月1日，则1月1日至2月1日这一时间称为( )。 A) 调查时限 B) 调查时间 C) 标准时间 D) 客观时间 12．品质分组和变量分组的区别在于（）。 A）分组的任务和作用不同 B）选择分组标志的多少不同 C）选择分组标志的性质不同 D）组数的多少不同 13．某企业对某所属车间的生产计划完成百分比采用如下分组，请指出哪项是正确的( )。 A) 80__89% B）80%以下C）80%以下D）85%以下

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

大一第一学期总结范本(3篇)

大一第一学期总结范本(3篇) 1：光阴似箭，转眼间，我的大学生活的八分之一以匆匆过了。大学，多么美好的一个字眼，它是那些曾经在高考战线上努力奋战的少年们的梦啊!它也曾是我的梦。幸运的是，它已由梦变成了现实了。那一天，本着对大学的美好憧憬，我步入了大学，成了一名大学生，开始了我新的大学生活。一学期下来，是既有得又有失的。在上大学以前，不断憧憬着大学校园里各种各样的社团以及丰富多彩的活动。当我长了大学生队伍里的一份子，我才发现原来每一个社团的运作都是同学们洒下的汗水的结晶，每一次活动的进行都是同学们用精力换来的成果。大一上学期，我认真思考了究竟应该参加什么样的社团，从而不仅能从中获得快乐，更重要的是在参与中学得只是，让自己更快地成长起来。在认真的考虑之下，我选择参加了理学院的记者团以及济南大学学工在线这两个社团。加入了理学院记者团的文编部和学工在线的编辑部。期间，这两个社团一次次地举办的多项活动都使我受益匪浅。记者团里，我参加了以感恩励志为主题的作文比赛、摄影比赛、梦想征集活动比赛、记者模拟秀比赛，并且在各个比赛中都获得了奖项。记者团里的任务我也尽自己的能力去完成。在记者团中，我

感触最深的是同学与同学之间的热情与友谊。在学工在线社团里，我也参加了一次征文比赛与一次元旦晚会。在参加了这两个社团之后，我深切地体会到，在社团的选择上自然要根据自己的兴趣，有兴趣才会投入，进入以后要能够积极主动，主要是培养自己的协调能力，社交的能力，与学习是会发生矛盾的，如果是喜欢社团的工作，则需要放弃一些课余的生活时间，要比别人花费更多的时间在自己的学习和工作上!在大学里自己有很多的想法是可以去尝试的，写个剧本，拍个话剧、电影什么的，都可以尝试，只要你能找到一批志同道合的朋友，大学生活只要自己认真对待生活的每一分每一秒，会给你留下美好的回忆的! 大学的学习虽然任务不重，但绝对不轻松。大学的文化学习当然很重要了，我感触最深的是在大学，你一定要掌握好方法。什么东西该学，什么不该学;该学多少，怎么学;哪个重要要多学，哪个不是很重要要浅尝辄止;要广泛涉猎，又要对某一项精益求精。当你能明白而且很快的实施以上的话时，你的大学就没有白念。说到底，大学教你的是学习的能力，和处事的方法，与人为善，又能迅速的进入你并不熟悉的领域，你就成功了。这是一种分辨的能力，不是学它是否有用。会分辨并会运用，你就真学到东西了。大一上学期所开的力学、高等数学、线性代数及空间解析几何这三门课程，是我们理学院

2015-2017济南大学心理学考研历年复试分数线

无论是准备报考心理学院校或者是已经战过心理学考研在等结果的同学，想必复试分数线都是大家非常关心的一个问题。今天，力比多学院的小编将2015年至2017年浙江理工大学心理学考研的历年分数线整理出来，方便大家查看参考。院校介绍济南大学教育与心理科学学院成立于2009年11月，其发展历史可以追溯到1978年成立的教育学、心理学教研室。学院现有应用心理学、教育管理、特殊教育三个本科专业和发展与教育心理学、高等教育管理学两个学术硕士点和教育学专业硕士点，面向全国招生，在校本科生1000余人，硕士研究生34人。学院设心理学系、教育学系、特殊教育系、济南大学学校心理研究中心、济南大学课程研究与支持中心、济南大学益派市场测评与研究中心等机构。现有教职工63人，任课教师50人，其中教授8人，副教授18人，具有博士学位教师30人，在读博士4人。专任教师毕业于国内外知名大学。目前建有山东省高等学校人文社科研究基地1个，省级实验教学示范中心1个，省级教师教育基地1个，国家级双语教学示范课1门，省级精品课1门、省级优秀教学团队1个、省级特色专业1个以及多项校级质量工程项目。学院

承担国家级教育体制改革实验区项目1项，省级教学研究项目5项。学院教师获国家级高等教育优秀教学成果二等奖2项，山东省高等教育优秀教学成果奖8项，1位教师获山东省教学名师称号，4位教师获济南大学优秀教学奖（教学名师），2位教师获济南大学青年教学能手称号。近年来学院教师共承担国家级自然科学基金项目2项，国家社科基金项目7次，教育部人文社科项目8项，山东省社科规划项目10余项，山东省教育科学规划项目8项以及山东省软科学项目、山东省教育厅人文社科项目多项。近年来学院教师在《心理学报》、《教育研究》、《心理科学》、《International Journal of Psychology》、《Psychology and Health》等专业学术刊物发表学术论文600余篇，其中被SCI、SSCI、CSSCI等收录120余篇，出版专著、教材20余部。学院教师共获得山东省社科优秀成果奖6项，山东省教育厅高校优秀成果奖多项。复试分数线济南大学心理学考研分数线不属于34所自划线院校，复试分数线参照国家线即可，以下是历年国家线。

中值定理与导数的应用(包括题)

第三章中值定理与导数的应用一、基本内容（一）中值定理 1.罗尔定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<

(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）；那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三）泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四）函数的单调性函数单调性的判别法设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；

2021济南大学临床检验诊断学考研真题经验参考书

说起考研，我考研的时候借鉴了好多前人的经验，现在有时间说一下我的考研经验，希望可以对大家有一些指导。英语本人高考英语67分，至于是怎么考到英一71分的，下面与各位同仁们分享一下我的学习经验。我当时纠结专业从3月一直纠结到5月，到处打听专业和院校的情况，耗费了两个月的时间，这两个月期间，基本什么都没复习，就做了15、16两年的英语一阅读真题，读完一篇文章，基本60%的单词不认识，一篇读完下来基本要花费2个小时还没有读懂，并且基本是一篇错3到5题这样的。真的好害怕英语单科被卡线，于是下定决心狂补英语，从六月份开始进入复习正轨。复习资料：《一本单词》、《木糖英语真题手译版》复习笔记本：《一本单词》单词抄写记忆本、阅读理解真题生词本、作文本、每日一句本。我的《一本单词》记了12遍，不要惊讶，我来说明一下12遍是怎么来的。PS：拿到一本不要就第一个单词开始背，先浏览一遍，把认识单词用黑笔无情的划掉，不要浪费时间在会的单词上，我就是吃了高中三年的亏，三年还在背单词书的前五页，不知道浪费了多少时间就在那个背臭了的abandon上，然后再每天的记忆过程中，发现你已经很熟的单词也用黑笔划掉，12遍下来，整本书就黑了，基本99%的单词都认识了，边抄边读。 6月整月，每天下午看一篇阅读，用的参考书是《木糖英语真题手译版》，是浑浑噩噩的一个月，收效不大，因为没掌握方法。 7月开始，我问了我的两个师姐，她们推荐我跟着蛋核英语，以及蛋核英语微信公众号和木糖英语公众号英语一阅读真题技巧讲解，我认真看了，并做了笔记，一篇阅读上来每段标段号，每句断开，这样一篇文章下来有多少段，多少句一目了然，并且阅读理解的五个题目，答案都可以定位到句，所以每篇的标段和断句不是无用功。政治政治及格容易高分难，李凡《政治新时器》绝对是重中之重，我所认识的朋友没看《政治新时器》的成绩大多集中在70分以下，用《政治新时器》的几乎都是70分以上，政治是考研中最简单而且最容易拿分的，付出回报率绝对最大。

第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)

第四章中值定理与导数的应用一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间，在[-1，1]中最大值为，最小值为。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为，其极大值为，极小值为。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为。二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>

第三章中值定理与导数的应用答案

(A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x -

计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1，试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有：5 1X1, X 2 ，使得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点

济南大学17年高数上试卷

济南大学2016～2017学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程高等数学（一）考试时间 2017 年 1 月 3 日 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、选择题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x ) sin(lim (A) 1-. (B) 0. (C) 1. (D) ∞. (2) 设2 cos 1)(x x x f -=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是 (A) )1ln(x -. (B) 11-+x . (C) x cos . (D) 1e -x . (4) 设x x x x f 93)(23--=，下列命题中正确的是 (A) )1(-f 是极大值，)3(f 是极大值. (B) )1(-f 是极小值，)3(f 是极小值. (C) )1(-f 是极大值，)3(f 是极小值. (D) )1(-f 是极小值，)3(f 是极大值. (5) 设? ++=1 0d 1) 1ln(x x x I k k （3,2,1=k ），则有 (A) 321I I I ≤≤. (B) 123I I I ≤≤. (C) 312I I I ≤≤. (D) 213I I I ≤≤. 二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =+→x x x 10 )21(lim ． (2) 函数x x y arctan 2=的微分=y d ． (3) 曲线1015623-+-=x x x y 的拐点是 . (4) =+? ∞+1 2 d 11 x x ． (5) 微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______________. 三、计算题（每小题6分，共18分） (1) 4 58 6lim 224+-+-→x x x x x . (2) 求曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程. (3) 设函数)(x y y =由参数方程? ??-=-=2 21t t y t x 所确定，求x y d d 和22d d x y .

济南大学数学物理方法试题

济南大学2009 ～2010 学年第一学期课程考试试卷（补考卷）课程数学物理方法授课教师任妙娟考试时间 2010 年月日考试班级学号姓名一、判断题（每小题2分，共20分） [对者画√，错者画×] [ ] 1.在复数域内，负数也有对数。 [ ]2.可去奇点的留数一定是零。 [ ]3.复变指数函数z e 是无界的周期函数。 [ ]4.实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。 [ ]5.定义在区域G 上的函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，若 ,u v v u x y x y ????==-???? ，则()f z 是G 上的解析函数。 [ ]6.()n J x 在0x =的值总是零。 [ ]7.格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。 [ ]8.函数2 ()(0,)f x x l =，因为2x 是偶函数，所以只能开拓为周期性偶函数，展开为Fourier 余弦级数。 [ ]9.只有齐次边界条件才能和相应的方程构成本征值问题。 [ ]10.行波法适用于无界区域的波动方程。二、选择题(每小题3分，共30分） [ ]1. 复数i 25 8-2516z =的辐角为 A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 [ ]2．设z=cosi ，则[ ] A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π [ ]3. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分? +-c n i z dz 1)(等于 A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．i π21 [ ]4. 3z π=是函数f(z)= π π-3z )3-sin(z 的 A 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 [ ]5．方程0u 2=?-u a t 是 A 波动方程 B ．输运方程 C ．分布方程 D ．以上都不是 [ ]6.可以用分离变量法求解的必要条件是： A 泛定方程和初始条件为齐次 B ．泛定方程和边界条件为齐次 C ．边界条件和初始条件为齐次 D ．泛定方程、边界条件和初始条件均为齐次 [ ]7. 级数的收敛半径是 A . 2 B. k C k 2 D. 1 [ ]8.本征值问题?? ? ??===+==00' 0' 'l x x X X X X λ 的本征函数是 A . x l n π)21(cos + B. x l n π)21(sin + C x l n πsin D. x l n πcos [ ]9．00=x 是方程02 ''=+y w y 的 A 常点 B ．正则奇点 C ．非正则奇点 D ．以上都不是 …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… …… … … … 答 ……… …… 题…… … … …不…… … …… 要 ………… … 超 …… … ……过…………… 此………… …线… … …… ……

第四章.中值定理与导数的应用

第四章．中值定理与导数的应用要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形一、罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

济南大学高数2014--2015答案

济南大学2014~2015学年第一学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）课程名称：高等数学（一）任课教师：一、选择题（每小题2分，共10分） (1) C ．(2) A . (3) D . (4) A ．(5) B ．二、填空题（每小题2分，共10分） (1) 02=-+y x ．(2) x x x x d )]1cos(2)1[sin(222+++. (3) )2,1(. (4) 4 π ．(5) x x xe C e C y 21+=．三、计算题（每小题6分，共18分） (1) 解：3 2 12lim 4586lim 42 24=--=+-+-→→x x x x x x x x (2) 解：ππππ-==-=→→→1 ) cos(lim 1)sin(lim )(lim 111x x x x f x x x 由于)(x f 在1=x 点连续，所以π-==→)(lim 1 x f a x (3) 解：2 1211 122t t t t t x t y x y =++-==d d d d d d t t t t t x x y t x y 41 41221)(2 2+=+==d d d d d d d d 2 四、计算下列积分与微分方程（每小题8分，共32分） (1) 解：C x x x x x x +==??sin 2)cos 2cos d(d (2) 解：???-==x xe e x e x x e x x x x x d d d 2222 C e xe e x x e xe e x e x e x x x x x x x x x ++-=+-=-=??22222222d d (3) 解：令t x sin =，则：?? ? ==-60260 2210 2 2sin cos cos sin 1π π t t t t t t x x x d d d 8 312]2sin 412[)2cos 1(216 060- =-=-=?ππ πt t t t d (4) 解：由y y y x ln ='分离变量得：x x y y y d d = ln ，积分：??=x x y y y d d ln ，得：1||ln |ln |ln C x y +=，化简得：Cx y =ln 或Cx e y =. 五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 解：微分方程x e xy y x sin 22 =-'的通解为 )cos (]sin [2222x C e C x xe e e y x x x x x x -=+?? =?-d d d 有0)0(=y 得：1=C ，满足初始条件0)0(=y 的特解为 )cos 1(2 x e y x -=. 2 1)cos 1(lim )(lim 20202 =-=→→x x e x x y x x x (2) 解：??? ---='-='2 2 2 2 22 1 1 1 2 2)()(x t x t x t t e x t te t e x x f d d d 令0)(='x f 得：11-=x ，02=x ，13=x 当1-'x f ；当 10<x 时，0)(>'x f ；所以：)(x f 的单调增区间为)0,1(-和),1(∞+，单调减区间为)1,(--∞和)1,0(. 0)1()1(==-f f 为极小值，e t e t f t 21 21)()0(012-=-=?-d 为极大值. 六、证明题（10分）证：(Ⅰ) 设1 2)()(--=x e x f x F ，则)(x F 在闭区间]1,0[上连续，且 0)0()0(1 1 <-=-=--e e f F ，0)2 1 ()21(43>-=-e f F ,有介值定理，存在一点)2 1 ,0(∈ξ，使得0)(=ξF ,即12)(-=ξξe f 。 (Ⅱ) 设)()(2 x f e x G x -=，则)(x G 在闭区间]1,[ξ上连续，在开区间)1,(ξ内可导，且)(2)()(2 2 x f xe x f e x G x x ---'='，又)1()(1G e G ==-ξ；所以：存在一点)1,0(∈η，使得0)(='ηG ，即)(2)(ηηηf f ='

《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用教学目的： 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x ,

山东专升本网www51bencn

山东专升本网：https://www.360docs.net/doc/6e16247122.html, 关于做好2006年普通高等教育学分互认和专升本考试录取工作的通知有关高等学校教务处：根据《山东省教育厅关于做好2006年普通高等教育学分互认和专科升本科工作的通知》（鲁教高字…2005?10号，以下简称《通知》）精神，现将我省2006年普通高等教育学分互认和专升本考试录取工作有关事项通知如下：一、招生类别、专业和计划招生类别分为：学分互认、普通专升本（分师范和高职高专）和面向社会专升本。学分互认按照规定比例确定计划组织选拔。普通专升本和面向社会专升本招生专业和计划见附件1。为确保新生录取质量，按照参加考试人数与招生计划数的比例，适当调整有关专业招生计划。二、报名（一）今年各类选拔考试，实行统一时间报名。（二）专科生所在学校（以下称生源学校）根据《通知》要求，负责本校学生的报名和资格审查工作。面向社会专升本考生的报名和资格审查由招生学校负责。报名结束后，张榜公布符合条件的学生名单，接受师生和社会监督。（三）报名参加专升本考试的学生须填写《2006年山东省普通高等教育学分互认和专升本考试考生报名表》（附件6）并交生源学校。普通

专升本类别中如果同一专业的招生学校有2所以上，考生可填报第一志愿1个，第二志愿3个（平行志愿），并在“是否服从调剂录取”栏中填写“是”或“否”，若不填写，视为不服从调剂。（四）各生源学校、面向社会招生学校一律使用我处组织开发的《2006年山东省普通高等教育学分互认和专升本考试管理软件》（以下简称“软件”。各校可于12月3日登录山东省教育厅网站https://www.360docs.net/doc/6e16247122.html,下载该软件）录入考生信息，建立考生信息数据库（数据库格式见附件2）。各校要严格按数据库要求填报数据，不得改变数据格式。（五）考生考号共15位（编排方法见附件3）。（六）考试使用的准考证（附件4），由生源学校、面向社会招生学校打印，与考生的身份证一起作为考生参加考试的必需证件。（七）生源学校、面向社会招生学校要将考生报名数据库于12月13日前发至E-Mail： znj@https://www.360docs.net/doc/6e16247122.html,。生源学校要认真审查考生姓名、考生号等信息是否与录取简明登记表相符，是否符合报名条件。我处对各生源学校、面向社会招生学校报名数据进行审核汇总后，于12月23日前发至各有关学校。生源学校及主考学校或招生学校于12月26日上午8：30集中到山东教育大厦办理有关报名手续。生源学校应向主考学校提供如下报名材料：