人教版初一数学上册知识点知识讲解

初一上册数学知识点

第一章 有理数

知识点一：有理数的分类

有理数的另一种分类

想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是

自然数吗?

零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；

整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。

判断正误：

① 不带“－”号的数都是正数 ( )

② 如果a 是正数，那么－a 一定是负数 ( )

③ 不存在既不是正数，也不是负数的数 ( )

④ ０℃表示没有温度 ( )

知识点二：数轴

1、填空

有理数 整数

分数

正整数 负整数 0 负分数

正分数 自然数 正有理数 零

负有理数 正整数 正分数 负整数

负分数

有理数 含正有限小数和无限循环小数 含负有限小数和无限循环小数

①规定了唯一的原点，正方向和单位长度(三要素)的直线叫做数轴。

②比－3大的负整数是_______；已知ｍ是整数且-4

③有理数中，最大的负整数是____，最小的正整数是____。最大的非正数是____。

④与原点的距离为三个单位的点有____个，他们分别表示的有理数是________。

2、请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？

3、选择题

①在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（）

Ａ整数Ｂ负数Ｃ非负数Ｄ非正数

②下列语句中正确的是（）

Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数

Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来

知识点三：相反数

相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。

1、填空

①-2的相反数是；它的倒数是；它的绝对值是。

②|-3|的相反数是；它的倒数是；它的绝对值是。

③相反数是它本身的数是 0 ；倒数是它本身的数是 1和-1 ；绝对

值是它本身的数是非负数。

2、选择

①若a和b是互为相反数，则a + b＝（）

A、–2a

B、2b

C、0

D、任意有理数

②下列说法正确的是（）

A、–1/4的相反数是0.25

B、4的相反数是-0.25

C、0.25的倒数是-0.25

D、0.25的相反数的倒数是-0.25

③用-a表示的数一定是（）

A、负数

B、正数

C、正数或负数

D、都不对

④一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（）

A 、–1

B 、1

C 、±1

D 、0

3、判断

① 互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（ ）

② 在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（ ）

③ 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ）

4、计算：已知 和 的值互为相反数，求x 的值。

知识点四：绝对值

1、绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

2、绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。

3、比较两个数的大小关系

数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。由此可知：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。

1、 化简

（1）-|-2/3|＝_____；

（2）|-3.3|-|+4.3|＝___；

（3）1-|-1/2|=___；

（4）-1-|1-1/2|=______。

3、填空题。

① 若|a|＝3，则a ＝____； |a+1|＝0，则a ＝____。

② 若|a-5|+|b+3|＝0，则a ＝___，b ＝___。

③ 若|x+2|+|y-2|＝0，则x ＝___，y ＝___。

④ 绝对值小于2的整数有________。

4

32-x 31-x

⑤ 绝对值等于它本身的数有___________。

⑥ 绝对值不大于3的负整数有__________。

⑦ 数a 和b 的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a 的点在表示b 的点左侧，

则b 的值为 。

⑧ 将2.5, 0, -1, 1/2, -3, -1/3, 2, 1/3, 1这组数按从大到小的顺序排列，

并用“>”号连接 。

知识点五：有理数加减法

1、有理数的加、减法法则

① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝

对值减去较小的绝对值。

② 互为相反数的两个数相加得0。

③ 一个数同0相加，仍得这个数。

④ 减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2、计算

)25.0(5)4

1(8)5()

10(18)25()12()4(----+-+-----

知识点六：乘除法法则

① 两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相乘 。 0乘以任何数，都得 0 。

2131(1)3344(2)4028(19)(24)(32)

2411(3)0.53523??????--+---- ? ? ?????

??----+---??????-+------+ ? ? ???????

② 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为 偶数

时，积为正；负因数的个数为 奇数 时，积为负。

③ 两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 。0除以任何一个

不等于0的数，都得 0 。

④ 有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为 倒数 。

⑤ 除以一个不等于0的数等于乘以这个数的 倒数 。

知识点七：乘方

乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

中，底数是a ，指数是n ，幂是乘方的结果；读作：a 的n 次方 或 a 的n 次幂。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

1、填空

① 23中，底数是 ；指数是 ；结果是 ；读作： 。

② (-2)2中，底数是 ；结果是 。

③ 5中，底数是 ；指数是 。

④ 2

32??? ??中，底数是 ；指数是 ； 幂是 。 ⑤ 18表示 个 相乘，结果是 。

2、计算：

32= ； -23= ； -14= ；

(-3)2= ； 05= ； 0.13= .

知识点八：运算律及混合运算

1、基本知识

? 加法交换律： ? 乘法交换律： ? 加法结合律： ? 乘法结合律： ? 乘法分配律： ? 有理数混合运算顺序：先 乘方 ；再 乘除 ；最后算 加减 。

a

b b a +=+a

b b a ?=?()()c

b a

c b a ++=++()()c

b a

c b a ??=??()ac

ab c b a +=+?n a

有括号，先算 括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 。 同级运算， 从左到右进行 。

2、计算

知识点九：科学记数法近似数

把一个大于10的数表示成n a 10?的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，即1≤|a|<10，n 是正整数），使用的是科学记数法。如：7107.557000000?=。

知识点十：近似数 1、近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。

2、近似数的分类：

（1）具体近似数（如30.2、58.0 …）（2）带单位近似数（如2.4万…）

（3）科学记数法（如5102.3?…）

3、精确度：用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:2.4万精确到千位，而非十分位，因为2.4万就是24000，4在千位上)。

4、有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到末尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。

求近似数要求保留n 个有效数字时，第n+1个有效数字作四舍五入处理。

例：0.0109有三个有效数字1、0、9，要求保留2个有效数字时，0.0109的第三个有效数字9四舍五入，变为0.0110，保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。

5、计算

按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： ())

3()12(6.1-÷--())15(90)5()7.(2-÷--?-())6()25(8)48.(3-?--÷-())25.0()4

3()32(42.4-÷-+-?

（1）0.1296（精确到0.1/0.01/0.001）（2）220.45（精确到个位/0.1）

（3）0.0099999（保留3个有效数字)

3、整式: 单项式和多项式统称为整式。

4、列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×2

11应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a

3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，

则应分类，写做a-b 和b-a .

知识点二：整式的加减运算

1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏

3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。 注：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4、几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）

（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2

；

（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，

奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；

（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 .

补充例题如下：

第三章 一元一次方程

知识点一：方程的相关概念

等式：表示相等关系的式子。

方程：含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。

方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程：求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。

一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1，并且等式两边都是整式的方程。

同解方程：两方程的解相同。

知识点二：等式的性质

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：如果b a =，那么c b c a ±=±。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：如果b a =，那么bc ac =；如果)0(≠=c b a ，那么c

b c a =。

知识点三：解一元一次方程

一般解法：

ⅰ 去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数；

ⅱ 去括号；

ⅲ 移项：移项要变号；

ⅳ 合并同类项：把方程化成ax=b(a ≠0)的形式；

ⅴ 系数化为1：两边同除以未知数的系数, 得到方程的解x=b/a 。 一元一次方程的应用(重点难点)： 列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。 几种常见问题：

1.和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

2.行程相遇问题：三个基本量的关系 路程=速度×时间

(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=

一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同)；

(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路

程=一圈的长度。

3.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间

一般情况下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。

4.利润问题：利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。

5.分配问题：例：某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

6.水上航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。应用举例：

1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?

等量关系：已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的)。

2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比( )

A.不变

B.增加1%

C.减少9%

D.减少1%

注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,

(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×时间x 乙的路程=乙的速度×时间x 得到方程:9x+7x=400

(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇, 所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。

4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天

分析:合作时间=工作量／合作效率工作量=1 合作效率=甲的效率+乙的效率

甲的效率=工作量／甲的时间=1／x 乙的效率=工作量／乙的时间=1／y

∴合作时间=1／(1／x+1／y)

5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？

分析：设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)= 利润率(已知15.2%)

利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250

∴(90%x-250) ／250=15.2%

练习：小明、小红买工具，所带钱之比为7：6，小明用掉50元，小红用掉60元，两人余下钱之比为3：2,，求他们分别余下多少钱？

第四章图形认识初步

知识点一：几何图形

1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2、有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。

3、有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。如线段、角、三角形、长方形、圆等。

4、立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形，但是立体图形中某些部分是平面图形，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。

知识点二：点、线、面、体

1、立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。

2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。

知识点三：直线、射线、线段

1、线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。

射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

2、点与直线的位置关系：点p在直线a上(或说直线a经过点p)；

点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。

过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条

直线。

3、线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。

两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。

两点间的距离：连接两点间的线段的长度。

线段的长短比较：⑴度量法；⑵叠合法

判断：①两点间的距离是指两点间的线段。 ( )

②两点间连线的长度叫这两点间的距离。 ( )

知识点四：角

角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。

角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。

角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。

角的单位：度,分,秒①1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′

②1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″

角的大小比较：⑴度量法；⑵叠合法。

角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。

余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。

性质：等角的补角相等；等角的余角相等。

题型一：作图题

例1、已知：线段m、n。（如图）求作：线段AC，使AC = m - n。作法：（1）作射线AM；

（2）在射线AM上截取AB = m。（3）在线段AB上截取BC = n。

则线段AC就是所求作的线段。

m n

题型二：线段的分类考虑

例2 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．

解：本题分两种情况：

如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，

AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；

如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，

AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．

所以线段AC的长为11 cm或5cm.

例3 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )

A．1或3 B．3 C．2 D．1

解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线．答案：A

题型三：两角互补、互余定义及其性质的应用

例4 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．

解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°．

由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°．

点拨

本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题．

例5 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )

A．30° B．60° C．90° D．150°

解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°．答案：A

例6 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．

解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°．

说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，

则 (180°－α)－(90°－α)＝90°.

题型四：角的有关运算

例7 如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，

∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．

解：因为∠AOE＝90°，

所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．

又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，

所以∠3＝1

2

∠AOD＝76°20′．

所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．

例8 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，

用α、β表示∠AOD．

解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，

所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β

又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON

=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，

所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.

例9 (1)用度、分、秒表示54．12°．

(2)32°44′24″等于多少度?

(3)计算：133°22′43″÷3．

解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，所以54．12°=54°7′12″．

(2)因为24″=(1

60

)′×24＝0．4′，44．4′=(

1

60

)°×44．4=0．74°，

所以32°44′24″=32.74°．

(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3

＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3

=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.

方法总结

角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的

余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．

题型五：钟表的时针与分针夹角问题

例10、 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是度．

解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的

角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12

转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝12．5°，所以15：25时钟面时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12．5°＝47．5°．答案：47．5

点拨：解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并

牢记时针每分钟转＝o．530

60

?

=0.5，分针每分钟转

360

60

?

＝6°．

例11、从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( )

A．30° B．60° C．90° D．120°

考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°．

题型六：方位角

例12、如图4—4—24所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东

30°方向爬行2．5 cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3

cm到达C处．

(1)画出蚂蚁爬行的路线；

(2)求∠OBC的度数；

(3)测出线段OC的长度(精确到0．1 cm)．

解：(1)蚂蚁爬行的路线如图4—4—25所示．

(2)因为蚂蚁从O点出发沿北偏东30°方向爬行2．5 cm到达B处，即∠OBD＝30°，则∠ABO＝60°．

又因为蚂蚁到达B处后又沿西北方向爬行了3 cm，即∠AB C ＝45°．

所以∠OBC＝∠ABO＋∠ABC＝60°＋45°＝105°．

题型六：折叠问题

例12：如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF 对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN，求∠NEM的度数．

解：由折纸过程可知，EM平分∠BEB' ，EN平∠AEA' ，

B'

A'

N

M

F

E

D C

B

A