经典概率问题：山羊问题

经典概率问题：山羊问题（又称蒙提·霍尔问题）

山羊问题（又称蒙提·霍尔问题，The Monty Hall problem）是一道著名的概率问题，它源于1963年美国开播的电视游戏节目《让我们做个交易》，现在你作为参赛选手经过重重考验在节目的最后环节脱颖而出，却面临这样一个难题：

在你眼前有3扇巨大的关闭的门，编号分别是A、B、C。站在旁边的主持人蒙提·霍尔告诉你，其中一扇门的后面摆着极为诱人的大奖（比如说一辆小轿车），而另外两扇门的后面各站着一头羊，你需要在这3扇门中选择一扇门，并获得那扇门后面的奖品。你经过深思熟虑，选择了编号为A的门，在你紧张兮兮正准备打开时，主持人说慢着，然后他打开了编号为C的门，后面正好是一头山羊，然后他问你：现在再给你一次选择的机会，你是坚持选择现在的门A，还是更换成门B？

于是你的小脑袋开始转动了，下面观众也开始帮你出谋划策，总结有四种典型的分析：分析1：第一次选择A、B、C门正确的概率为1/3；主持人排除一扇门并不会改变A, B, C 的概率，所以，不管是否更换门获得奖品的概率都是1/3。

分析2：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门以后，剩下两扇门的概率都相应地变成了1/2。所以，不管是否改变概率都是1/2。

分析3：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A 门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升为1/2。

分析4：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A 门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升到2/3。

仔细思考其实四种分析都有道理，然而你深入思考以后毅然选择了门B，因为选中的概率是2/3，而坚持原来的选择的概率是1/3，理由如下：

第一种是从经验主义角度出发的。你参加这个节目前就在家里面和你

的小女儿玩了100次这个游戏，你的小女儿每次都在打开一扇有羊的门后改变最初的选择；然后你又找了你儿子玩了100次，他全都坚持一开始的选择。最后你的女儿有了72次中了大奖，儿子中了33次。所以你完全有理由相信改变你的选择是最明智的做法。

第二种是从直觉出发。我们可以考虑一种极端情况，假设摆在你面

前的不是3扇门而是100扇，当你选择其中一扇门（比如是1号门）之后，蒙提·霍尔将后面3~100号门全打开，而且后面全部是山羊。现在只剩下1号门和2号门是关闭的，请问你换不换？绝对要换。小轿车有99%的概率藏在你没有选的那99扇门的后面，而蒙提还好心地为你打开了其中的98扇门，他知道这98扇门后面都没有小轿车。也就是说，如果你坚持最初的选择，那么你开小轿车回家的概率只有1%，牵一头羊回家的概率却高达99%；如果你的最初选择是错误的，那么小轿车就肯定藏在另外一扇门后面（2号门），如果你想中大奖，那就应该将最初的1号门换成剩下的2号门。

回到我们的问题上，假如最开始你不是有三个选择，而是两个：选择A={A门后有奖品}

或选择 =C B {B 门后或C 门后有奖品}。前者的概率记为3

1)(=A P ，后者的概率记为3

23131)()()(=+=+=B P A P C B P 。

当主持人打开了门C 后面是一只山羊，对于你来说3

2)(=

C B P 仍然成立，只是现在情况变成已知C 门后是山羊的情况下，B 门后有奖品的概率为2/3，记做32)|(=-C B P ，换句话说，就是现在B 门后有奖品的概率为2/3，而A 门后有奖品的概率仍然是1/3。

最后让我们上升到理论的高度。我们可以通过概率树直观地看出来：

在不换选策略下，第一次选对的概率是1/3，选错的概率为2/3。如果第一次选对，那么继续选对的概率为1。如果第一次选错，那么继续选错的概率也为1。所以，最终选对的概率为1/3。换句话说，P(不换选且选对）=1/3；P(不换选且选错)=2/3。 A B C 1/3 2/3 A B C 1/3 2/3 A B 1/3 2/ 3

A B C 1/3 2/3

在换选策略下，第一次选对的概率为1/3，选错的概率为2/3.如果第一次选对，那么改变后选对的概率为0.如果第一次选错，那么改变后选择对的概率为1。所以，最终选对的概率为2/3。换句话说，P(换选且选对）=2/3；P(换选且选错)=1/3。

综上所述，P(不换选且选对）=1/3和P(换选且选对）=2/3。

除了这种直观的方法，更加牛逼的但是稍微复杂当然是用公式啦！ 学过概率理论的人都知道条件概率公式： )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==

即事件A 和事件B 同时发生的概率等于在发生A 的条件下B 发生的概率乘以A 的概率。 由条件概率公式推导出贝叶斯公式：

)

()()|(B P AB P B A P =（注意：)(AB P 也可以写作)(B A P ） 看晕了，没关系，我们看看条件概率公式和贝叶斯公式怎么解决我们这个难题。 设事件A={A 门后有奖品}，事件B={B 门后有奖品}，事件C={C 门后有奖品}，事件e={参赛者选择A ，主持人从B 、C 门选中C 门打开后后面是山羊}，所以我们实际上要解决的问题就是比较P(A|e)和P(B|e)的大小。已知条件是：P(A)=P(B)=P(C)=1/3，P(e|A)=1/2，P(e|B)=1，P(e|C)=0。

现在解释一下P(e|A)、P(e|B)和P(e|C)的概率怎么求得的： P(e|A) 主持人知道你选中的A 门后是奖品，那么B 、C 门后都是山羊，所以主持人从B 、

C 门选其一打开均可，故P(e|A)=1/2

P(e|B) 主持人知道你选中A 门，B 门后是奖品，所以主持人死不会去打开B 门，一定会

打开C 门，故P(e|B)=1

P(e|C) 主持人知道你选中A 门，C 门后是奖品，所以主持人一定不会选C 门打开，故

P(e|C)=0

由贝叶斯公式知道：)()()|(e P e A P e A P =,)

()()|(e P e B P e B P =，所以我们要根据已知

条件求得)(e A P 、)(e B P 和)(e P 。前两者好求：

根据条件概率公式：

6

12131)|()()|()()(=?===A e P A P e A P e P e A P 3

1131)|()()|()()(=?===B e P B P e B P e P e B P 同理得0)(=e C P 。

现在关键是怎么求)(e P 。由下图可知：

2

103161)()()()(=++=

++=e C P e B P e A P e P 激动人心的时刻到来了： 3

12/16/1)()()|(===e P e A P e A P 322/13/1)()()|(===

e P e B P e B P 可见，坚持选择A 门中奖概率只有1/3，而换成B 门中奖概率2/3。所以，如果你有机会参加《让我们做个交易》节目，当蒙提·霍尔（或者其他主持人）问你是否要改变选择时，你要毫不犹豫地点头。更夸张的说法是，这个问题告诉我们，你对概率的本能理解有时候会将你引入歧途。同时我们也深刻领悟到一个哲理：坚持原来的选择有时候反而会让你离成功越来越远，特别是在你的知识和经验越来越充足之后，该放弃的还是要放弃。 A

B C e