动态规划作业完整

动态规划作业

1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线?

把A看作终点，该问题可分为4个阶段。

f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离。

f4(B1)=20，f4(B2)=40，f4(B3)=30

f3(C1)=min[d3(C1,B1)+ f4(B1), d3(C1,B2)+ f4(B2), d3(C1,B3)+ f4(B3) ]=70，U3(C1)= B2 或B3

f3(C2)=40 ，U3(C2)= B3

f3(C3)=80 ，U3(C3)= B1或B2 或B3

f2(D1)=80 ，U2(D1)= C1

f2(D2)=70 ，U2(D2)= C2

f1(E)=110 ，U1(E)= D1或D2

所以可以得到以下最短路线，

E→D1→C1→B2 / B3→A

E→D2→C2→B3→A

2、习题4－2

解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；

2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，

Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k＋1＝S k－X k

Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值

fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值

3)递推关系式：

fk(Sk)＝max[ Pk(Xk)+ f k+1(S k－X k) ] k=3,2,1

f4(S4)＝0

4）从最后一个阶段开始向前逆推计算

第三阶段：

设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为：

f3(S3)＝max[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2,3,4

表1

第二阶段：

设将S2个销售点（S2＝0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：f2(S2)＝max[ P2(X2)+ f3(S2－X2) ]

其中，X2＝0,1,2,3,4

表2

第一阶段：

设将S1个销售点（S1＝4）分配给三个地区时，则最大利润值为：f1(S1)＝max[ P1(X1)+ f2(4－X1) ]

其中，X1＝0,1,2,3,4

表3

然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：最大总利润为53

1）由X1*＝2，X2*＝1，X3*＝1。即得第一个地区分得2个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点。

2）由X1*＝3，X2*＝1，X3*＝0。即得第一个地区分得3个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得0个销售点。

3、

某施工单位有500台挖掘设备，在超负荷施工情况下，年

产值为20万元/台，但其完好率仅为0.4，在正常负荷下，年产值为15万元/台，完好率为0.8。在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量，使第四年年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。 解：1）该问题分成四个阶段，k 表示年度，k ＝1,2,3,4 2）设Sk 表示为分配给第k 年初拥有的完好挖掘设备数量， Uk 表示为第k 年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量， Dk (Sk)={ Uk|0≤Uk ≤Sk }

Sk －Uk 表示为第k 年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。 状态转移方程：S k ＋1＝0.4Uk +0.8(Sk －Uk)， S1＝500台 3）设vk(sk,uk)为第k 年度的产量，则 vk ＝20Uk +15(Sk －Uk)

故指标函数为V1,4= f k (Sk)表示由资源量Sk 出发，从第k 年开始到第4年结束时所生产的产量最大。

4）递推关系式：f k (Sk)＝MAX{20 Uk +15(Sk －Uk)+ f k+1[0.4Uk +0.8(Sk －Uk)]} k=1,2,3,4

5）从第4阶段开始，向前逆推计算 当k ＝4时，

∑=4

1

k )

U ,(S V k k k

S5=160, 0.4U4 +0.8(S4－U4)=160 2S4-U4=400 U4=2S4-400 f4(S4)＝MAX{20 U4 +15(S4－U4)+ f5[0.4U4 +0.8(S4－U4)]} ＝MAX{5 U4 +15S4}

=25S4-2000

当k＝3时，

f3(S3)＝MAX{20 U3 +15(S3－U3)+ f4[0.4U3 +0.8(S3－U3)]} = MAX{5U3+15S3+25(0.8S3-0.4U3)-2000}

＝MAX{-5U3 +35S3-2000}

故得最大解U3*＝0

所以f3(S3)＝35 S3-2000

依次类推，可求得：

U2*＝0，f2(S2)＝43S2-2000

U1*＝0，f1(S1)＝49.4S1-2000

因为S1＝500台，故f1(S1)＝22700台

最优策略为U1*＝0，U2*＝0，U3*＝0，U4*＝112

已知S1＝500，

S2＝0.4U1 *+0.8(S1－U1*)＝0.8S1＝400

S3＝0.4U2 *+0.8(S2－U2*)＝0.8S2＝320

S4＝0.4U3 *+0.8(S3－U3*)＝0.8S3＝256

U4=2S4-400=112 S4-U4=256-112=144

即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工，第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工，144台

投入正常负荷下施工。这样最高产量为22700台。

4、

某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单

位。根据以往记录，一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为0.2万元，每生产一批的装配费为2万元，每万只的生产成本费为1万元。问应该怎样安排四个季度的生产，才能使总的费用最小？

再生产点性质，

Xi Xi hi Xi n

Xi Xi Xi Ci 2.0)(00,2,12)(=?

??==+= C(1,1)=C(3)+h(0)=5 C(1,2)=C(5)+h(2)=7.4 C(1,3)=C(8)+h(5)+h(3)=11.6 C(1,4)=C(10)+h(7)+h(5)+h(2)=14.8

C(2,2)=C(2)+h(0)=4 C(2,3)=C(5)+h(3)=7.6 C(2,4)=C(7)+h(5)+h(2)=10.4

C(3,3)=C(3)+h(0)=5 C(3,4)=C(5)+h(2)=7.4 C(4,4)=C(2)+h(0)=4 f0=0 f1=f0+ C(1,1)=5 j(1)=1

f2=min{f0+ C(1,2),f1+ C(2,2)}=min{0+7.4,5+4}=7.4 j(2)=1 f3= min{f0+ C(1,3),f1+ C(2,3),f2+ C(3,3)} =min{0+11.6,5+7.6,7.4+5}=11.6 j(3)=1

F4= min{f0+ C(1,4),f1+ C(2,4),f2+ C(3,4), f3+ C(4,4)} =min{0+14.8,5+10.4,7.4+7.4,11.6+4}=14.8 j(4)=1,3 当j(4)=1，X1=d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0

当j(4)=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。 5、

某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如下表所示，

现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6吨。问如何安排运输使总利润最大。

解：

(){}

{()

}

()()}

{2180,60max 3463180max )2130180max(3180max 62221

,036

343f f x f x x x x f x x ++=-+=++==≤

(){}

{()

}

()()()}{}{0

1260260,210,240max 0260,3130,60max 2362130max )180max(2130max 611112

,1,026

232===+++=-+=+==≤x f f f x f x x x f x x (){}

{()

}

()1

180

22322130max )180max(2130max 2110

22

232===-+=+==≤x f x f x x x f x x

()}{1

3,02,1103,22,01260260,260max 63========x x x x x x f

6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制，由于资金不足，估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为0.40、0.60、0.80，因而都研制不成功的概率为0.4×0.6×0.8=0.l92。为了促进三种新产品的研制，决定增援2万元的研制费，并要资金集中使用，以万元为单位进行分配。其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。试问如何分配费用，使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。

解:1) （1分）将问题按产品A、B、C分为三个阶段，k=1、2、3；

2) （6分）设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产

品的研制费，S1＝2

Xk设为决策变量，表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。

状态转移方程为Sk＋1＝Sk－Xk

允许决策集合：Dk(Sk)＝{ Xk∣0≤Xk≤Sk，Xk为整数}

Pk(Xk)表示为第k个产品失败的概率

fk(Sk)表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率

3)（4分）递推关系式：

f k(Sk)＝min[ Pk(Xk)×f k+1(Sk－Xk) ] k=3,2,1

边界条件：f4(S4)＝1

4）（11分）从最后一个阶段开始向前逆推计算

第三阶段：

设将S3万元研制费（S3＝0,1,2）全部分配给C产品时，最小的失败概率为：

f3(S3)＝min[P3(X3)] 其中X3＝S3＝0,1,2

X3*表示使得f3(S3)为最大值时的最优决策。

第二阶段：

设将S2万元研制费（S2＝0,1,2）分配给B、C产品时，最小的失败概率为：

f2(S2)＝min[ P2(X2)×f3(S2－X2) ]

其中，X2＝0,1,2

第一阶段：

设将S1万元研制费（S1＝2）分配给三个产品时，最小的失败概

率为：

f1(S1)＝min[ P1(X1)×f2(S1－X1) ]

其中，X1＝0,1,2

5）即分配给A产品1万元，B产品0万元，C产品1万元，可使三个小组都失败的概率减小到0.060。