第11章 复频域分析

第11章 复频域分析

主要内容：拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法，还将介绍KCL 和KVL 的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路。并介绍了网络函数及其在电路分析中的应用，网络函数极点和零点的概念，讨论极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响。

学时安排：本章分4讲，共8学时。

第三十二讲 拉普拉斯变换和基本性质

一、主要内容

1、为什么要引入拉普拉斯变换

经典法求解动态电路，物理概念清楚，可以用来求解简单电路的过度过程。但对具有多个动态元件的复杂电路，由于方程组的个数比较多、方程阶数较高，直接求解微分方程就显得困难。而拉普拉斯变换法就是求解高阶复杂动态短路的行之有效方法之一。拉普拉斯变换法又称运算法。 2、拉普拉斯正变换

一个定义在[]∞,0区间的函数)(t f ，它的拉普拉斯变换式定义为

式中ωσj s +=为复数，称为复频率，)(s F 称为)(t f 的原函数。通过拉普拉斯正变换将一个时域函数)(t f 变换到频域函数)(s F 。通常用符号记作[])()(t f L s F = 3、拉普拉斯反变换

如果复频域函数)(s F 已知，要求与之对应的时间函数)(t f ，则由)(s F 到)(t f 的变化称为拉普拉斯反变换，定义为

式中c 为正的有限常数，通常记作 )()]([1

t f s F L =- 4、拉普拉斯变换的性质 1) 线性性质

设)()(21t f t f 和是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为2121),)(A A s F s F 和（

和是两个任意实常数，则

([)]([)]()([22112211t

f L A t f L A t f A t f A L +=+

=)()(2211s F A s F A +

2）微分性质

函数)(t f 的象函数与其导数

dt

t df t f )()('

=

的象函数之间有如下关系

)()]([s F t f L = 3）积分性质 函数

⎰

∞

-

0)()(ξ

ξd f t f 的象函数与其积分

的象函数之间满足如下关系

若 )()]([s F t f L =

则

s s F d f L t

)

(])([0=

⎰

-

ξξ

根据拉氏变换的定义和上述基本性质，能方便地求得一些常用的时间函数的象函数。

二、本章重点

掌握拉氏变换的主要性质，能由常用函数的象函数和拉氏变换的性质求出给定时间函数的象函数。

三、本章难点

拉氏变换的含义和求象函数。

四、教学组织过程

本讲采用讲授的教学方法，通过例题加强概念的理解和提高计算能力。

五、习题

P308 13.1

第三十三讲 拉普拉斯反变换的部分分式展开

一、主要内容

求拉普拉斯反变换的部分分式展开法。

电路响应的像函数通常可以表示为两个实系数的s 的多项式之比，即关于s 的一个有理分式

n n n m

m m

b s b s b a s

a s

a s D s N s F +++++==

--1

10110)()

()(

式中m ，n 为正整数，且n>m ，为真分式。

用部门分式展开有理分式F （s ）时，需要对分母多项式作因式分解，求出0)(2=s F 的根，0)(2=s F 的根可以是单根、共轭复根和重根几种情况。

1) 如果)0)(21s F p p p n n s D n （。于是、

、个单根分别是个单根，设有 =可以展开为

n n p s K p s K p s K s F -+

+-+

-=

2

2

11

)(

式中是待定系数。、n K K K 21

i

p s i s D s N K ==

)

()('

n i 、、、

321= 确定各待定系数后，相应的原函数为

t

p n

i i i t

p i n

i i i e

p D p N e

K s F L t f ∑

∑

==-=

=

=1

'

1

1

)

()()]([)(

2）如果ωαωαj p j p s D -=+==21,0)(具有共轭复根

，则

ω

αωαωαj s j s s D s N s F j s K +=+==

--=)()()]()[('

1

ω

αωαωαj s j s s D s N s F j s K -=-==

+-=)

()()]()[('

2

设

有

则,,1

1

1211θϑj j e K K e

K K -==

)

cos(2)(11)(2)(1θωαωαωα+=+=-+t e

K e K e

K t f t

t

j t

j

3）如果的中含有的因式。现设具有重根，则应含（3

11)()()0)(p s s D p s s D n

--=因

式,可分解为（，的三重根，其余为单根

（为))1s F s D p

)

(

)()()2

23

111

2

112

113

+-+-+

-+

-=

p s K p s K p s K p s K s F （

对于单根，仍采用前面公式计算。其中：

1

1

1

)]()[(21)]()[()()(3

2

2133

1123

111p s p s p s s F p s ds

d K s F p s ds

d K s F p s K ===-=

-=-=

二、本章重点

能准确地由象函数求出响应的时间函数：部分分式展开法

三、本章难点

拉氏反变换

四、教学组织过程

本讲采用讲授的教学方法，通过讲解和做例题的形式加强概念的理解和提高计算能力。

五、习题

1、P308 13.2

第三十四讲 运算电路和应用拉普拉斯变换分析动态电路

一、主要内容

1、、基尔霍夫定律的复频域形式

复频域形式 ⎩⎨

⎧=∑=∑0)(0)(s U s I 2、元件伏安关系的运算形式

将电路元件用相对应的运算关系表示，就得到了元件的运算电路模型。如图34-1所示。在运算电路图中，动态电路的非零独立初始条件与之响应的电源等效，它们称为附加电源，要特别注意它们的参考方向。

图34-1 3、应用拉普拉斯变换分析动态电路

应用拉普拉斯变换分析动态电路的关键在于正确地画出复频域等效电路。在零状态下，因电路基本定律的复频域形式以及复频域等效电路，在形式上与相量形式的基本定律以及相量电路相同，所以，对此种情况下的电路复频域分析（运算法）与相量法类似。在非零状态下，只要把电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源，电路的运算形式仍和相量形式相似。因此相量法中各种计算方法和定理形式完全可以移用于运算法。具体步骤如下：

1） 根据换路前)0(

=0t 时刻的值，即

)0()0(--C L u i 和。

2） 将激励函数进行拉氏正变换。

R

L

C

M

时域形式 复频域形式

KCL

KVL

3） 将换路后)0( t 的时域电路变换为复频域电路。

4） 应用结点法、网孔法、回路法、以及电路的各种等效变换和电路定理，对运算电路建立

方程，并求解得到响应的象函数。

5） 利用拉氏反变换，求的得时域响应，并画出波形。

二、本讲重点

1、将电路的时域形式转换为运算形式：重点讲解电感、电容的附加电源问题。

2、用复频域分析法求解电路的思路：理清步骤。

三、本讲难点

运算电路的求解。

四、教学组织过程

本讲首先采用讲授的教学方法，然后和同学一起重点讨论电感、电容的附加电源问题。通过讲解和做例题的形式，介绍如何灵活利用复频域分析法求解电路的思路。

五、习题

1、P309 13.5

2、 P310 13.17

3、 P310 13.20

第三十五讲 网络函数

一、主要内容

1、网络函数的定义

定义：一个线性非时变电路，在单一激励作用下，电路零状态响应的象函数R （s ）与激励的象函数F(s)之比称为扶幅频域网络函数，简称网络函数，用符号H(s)表示，即

)()

()(s E s R s H def

=

如果激励和响应属于同一端口，对应的网络函数则称为策动点函数，否则称为转移函数或传递函数。由于激励和响应可以是电压也可以是电流，故网络函数可能是策动点阻抗、策动点导纳，或转移阻抗、转移导纳、转移电压比、转移电流比。 2、网络函数的性质：

1）网络函数只与电路的结构参数有关，而与激励无关。 2）网络函数是复变量s 的一个实系数有理分式。 3）网络函数是电路单位冲击响应的象函数。

4）在一般情况下，网络函数分母多项式的根即为对应电路的固有频率。

3、网络函数的极点和零点以及零、极点图：网络函数一般是一个实系数有理分式，即

将上式的分子与分母多项式分解成因式（设为单根情况），则有

在描述电路特性方面，H （s ）与零、极点图是等价的。 4、网络函数的零、极点与冲击响应的关系

若网络函数H （s ）为真分式，且其分母具有单根，则网络的冲击响应为

t

p j n

j j

j n j j n

j i m

i j e

k p s k L

p s z s H L s H L t h 1

1

1

1

10

1

])

()

([)]([)(==-==-∑=-∑

=-∏-∏==

从上式可以看出，H （s ）的零点只影响

j

k

的大小，而不影响h （t ）变化率；H （s ）

的极点决定着h （t ）的幅度和相位也有影响。当极点 j

p

为负实根时，对应项h （t ）将是

按指数规律衰减的；当

j

p

为正实根时，h （t ）则是按指数规律增长的。当极点为一对共轭

复根时，按其实部的正负，h （t ）将有增长或衰减的正弦项；当j p

为虚根时，h （t ）将是纯正弦项。电路冲击响应的性质随网络函数极点位置不同而变化的情况如图35-1所示。可以看出，若极点位于s 平面的左半开平面，即极点的实部 0<σ ，则电路是稳定的；若极点在s 轴的虚轴上，则电路为临界稳定；若极点在s 平面右半开平面，即0>σ，则电路是

不稳定的。

图35-1

5、频率特性

频率特性也称频率响应，主要研究电路在不同频率的正弦信号激励下，其稳态响应与信号频率的关系。应用网络函数可将频率特性表示为

)

()()()()(ωϕωωωωy j e

j Y j F j H j Y ==

其中)()(ωϕωy j Y 和分别为频率特性的幅频特性和相频特性，分别表示电路响应的模和相位随频率变化的情况。

在上式中，若令

01)(∠=ωj F ，则有

)(01)()()()(ωωωωωj H j H j F j H j Y =∠==

表明在单位正弦信号激励下，电路频率特性与网络函数具有相同量值，故在工程技术中，也常将网络函数称为频率特性。

鉴于频率特性直接描述了正弦稳态响应与ω的函数关系，因此在无线电技术及电子线路中有广泛的应用，许多实用电路，例如滤电器、移相器、均衡器等都是应用频率特性概念设计制作的。

6、网络函数的零、极点与频率响应的关系

∑∑∑∑====-

=

--

-=

n

j j

m

i i

n

j j m

i i p j z j 1

1

1

1

)arg(

)arg(

)(θ

ψ

ωωωϕ

式中，

j

i j i M N θ

ψ,,,的值均可用作图法通过测量或计算求得，ωωj 沿轴变化时，即可根

据上两式求得系统的幅频特性）

（与相频特性ωϕω)(j H

二、本讲重点

1、网络函数的含义：重点讲清为什么要引入网络函数

1、 网络函数的零、极点与电路的稳定性的关系：着重讲解如何根据网络函数的零、极

点判断电路是否稳定。

三、本章难点

1、网络函数的实质与引入的必要性：从整个电路的外特性去讲。

2、网络函数的零、极点与频率响应的关系：讲清如何根据网络函数的零、极点画出频率响应。

四、教学组织过程

本章首先采用讲授的教学方法，然后和同学一起重点讨论为什么要引入网络函数。 通过讲解和做例题的形式，介绍如何根据网络函数的零、极点判断电路是否稳定。

五、习题

1、P327 14.3

2、P328 14.9

第11章 小结

运用拉普拉斯变换法（运算法）求解电路问题和运用相量法求解正弦稳态电路的基本思路是类似的，如下表所示。

将电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源之后，电路方程（KVL 和KCL ，电路元件

VCR ）的运算形式与相量形式类似，因此，相量法中各种计算方法（如结点电压法、回路电路法等）和定理（如叠加定理、戴维宁定理等）在形式完全可以移用于运算法。但注意这两种方程具有不同的意义。

从上述表格可看出，应用运算法求解线性性电路可分为三个步骤：

（1）完整正确地作出时域电路对应的运算电路。特别注意两点：①在运算电路中，对电容、电感及耦合电感元件不能遗漏附加电源（方向不要搞错！），且要正确写出其运算阻抗（或运算导纳）；②运算电路中的电容电压和电感电压应包含运算阻抗两端电压和附加电源电压两部分。

（2）采用与相量法类似的各电压和电流的像函数，利用部分分式法进行其拉式反变换的计算。

在线性网络中，当所有储能元件处于零值初始状态，而且只有一个输入作用时，网络中某一个响应的像函数与网络输入的像函数之比叫做该响应的网络函数。 根据线性电路的输入与零状态响应成线性关系可知网络函数是与输入无关的量，它具有如下性质： （1）网络函数取决于网络参数的结构，是一个实系数有理分式，其分子、分母多项式的

根为实数或为共轭复数；

（2）网络函数的原函数即为冲激响应，即网络函数反映网络中响应的基本特性；

（3）一般情况下，网络函数分母多项式的根为对应电路变量的固有频率。因此，网络函数的零点、极点分布对网络响应的分析研究具有重要意义。