第74讲几何证明与计算(K字型的妙用)
第二轮复习
第74讲 几何证明与计算 （“K ”字型的妙用）
三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。 学习目标：
1. 学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验
2. 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力 学习重点：会用“K”字型的性质解决问题 学习难点： “K”字型的构造 学习过程： 一、温故知新
观察下列基本图形，你能得出什么结论？
（1）如图，已知：点B 、C 、D 在同一直线上，AC ⊥EC ，AB ⊥BD ，ED ⊥DB.
追问1：这个图形有什么特征？
追问2：若AC=CE ，若AC≠CE ，你有什么新的发现？
（2）如图，已知：∠ABC=∠ACE=∠D ，问：∠A 、∠ECD 有何关系？
（3）“K”字型呈现形式：
D
A
B
C D
E
二、自主练习：
1．如图，等边△ABC 的边长为9，BD=3，∠ADE=60度，则AE 长为 . 2．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连接BE ，FE ，则∠EBF 的度数是（ ）. A ．45° B ．50° C ．60° D ．不确定
三、经典例题：
例： 如图，在ABC ?中，90ABC ∠=，过点C 作AC 的垂线CE ，且CE =CA ，连接AE 、BE . （1）若3
tan ,23
BAC AE ∠=
=，求四边形ABCE 的面积； （2）若EA EB =，求证2AB BC =.
四、赢在中考：
1．小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a 、b 上（如图），已知∠2=35°，则∠1的度数为（ ）
.
A ．55°
B ．35°
C ．45°
D ．125°
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 的坐标为（0，2），B 点在x 轴上，对角线AC ，BD 交于点M ，OM =3
2，则点C 的坐标为 ．
3．正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，过点E 作EF ⊥CE 交AB 于点F ．若BF=2，BC=6，求FE 的长.
五、感悟数学：
C
M
D A
B
y
O
x
六、课后作业：
1． 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数 y = 2
x 的图象上，第二象限内的
点B 在反比例函数 y = k x 的图象上，且OA ⊥OB ，t anB= 3
3 ， 则k 的值
2. 如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，点B 在x 轴上，且()01，
-B ，A 点的横坐标是2，AB=3BC ，双曲线()04＞m x m
y =经过A 点，双曲线x
m y -=经过C 点，则m 的值为（ ）
A ．12
B ．9
C ．6
D ．3
3．如图， 矩形ABCD 的顶点A 、D 在反比例函数6
(0)y x x
=>的图象上，顶点
C 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且2AB
BC
=，再在其右侧作正方形DEFG 、
FPQR （如图所示），顶点F 、R 在反比例函数6
(0)y x x =>的图象上，顶点E 、Q
在x 轴的正半轴上，则点R 的坐标为 ．
4．已知：在ABCD 中，AE ⊥CD ，垂足为E ，点M 为AE 上一点，且ME=AB ，AM=CE ，连接CM 并延长交AD 于点F ．
（1）若点E 是CD 的中点，求证：△ABC 是等腰三角形． （2）求证：∠AFM=3∠BCF ．
德中命制人：邓宏书 审稿人：刘加勇
“K”字型的妙用参考答案
二、自主练习：
1．7
2.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得
∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．
【解答】解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，
∵E是BF的垂直平分线EM上的点，
∴EF=EB，
∵E是∠BCD角平分线上一点，
∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，
Rt△BHE和Rt△EIF中，，
∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），
∴∠HBE=∠IEF，
∵∠HBE+∠HEB=90°，
∴∠IEF+∠HEB=90°，
∴∠BEF=90°，
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB=45°．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．
三、经典例题：
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积
=S△ABC+S△ACE即可解题；
（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，易证∠BAC=∠ECF，即可证明△ABC≌△CFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题．
【解答】解：（1）∵AC⊥CE，CE=CA，
∴AC=CE=AE=，
∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AC=，
∴AB=BC=，
∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE=AB?BC+AC?CE
=××+××=+1；
（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，
则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，
∵∠ACB+∠ECF=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ECF，
∵在△ABC和△CFE中，，
∴△ABC≌△CFE，（AAS）
∴EF=BC，
∵△ABE中，AE=BE，ED⊥AB，
∴AD=BD，
∴AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，
即AB=2BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证
△ABC≌△CFE是解题的关键．
四、赢在中考：
1.【考点】平行线的性质；余角和补角．
【分析】根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．
【解答】解：
∵∠ACB=90°，∠2=35°，
∴∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=55°．
故选A．