初中三角函数值表
初中三角函数值表
特殊角三角函数值
sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071=22 sin60=23
=0.866 sin90=1 cos0=1 cos30=23=0.866 cos45=22
=0.70 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=33
=0.577 tan45=1
tan60=3=1.732 tan90=无 cot0=无cot30=3=1.732 cot45=1
cot60=33
=0.577 cot90=0
(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。(见下) (3)锐角三角函数值的变化情况 (i )锐角三角函数值都是正值 (ii )当角度在0°~90°间变化时,
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时,
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时,
tanα>0, cotα>0.
附:三角函数值表
sin0=0,
sin15=(√6-√2)/4 ,
sin30=1/2,
sin45=√2/2,
sin60=√3/2,
sin75=(√6+√2)/2 ,
sin90=1,
sin105=√2/2*(√3/2+1/2)
sin120=√3/2
sin135=√2/2
sin150=1/2
sin165=(√6-√2)/4 sin180=0
sin270=-1
sin360=0
sin1=0.01745 sin2=0.034899 sin3=0.052335 sin4=0.069756
sin5=0.087155
sin6=0.104528sin7=0.121869
sin8=0.139173
sin9=0.156434
sin10=0.17364
sin11=0.19080
sin12=0.20791sin13=0.22495
sin14=0.24192
sin15=0.25881sin16=0.27563
sin17=0.29237
sin18=0.30901
sin19=0.32556
sin20=0.34202
sin21=0.35836sin22=0.37460
sin23=0.39073
sin24=0.40673sin25=0.42261
sin26=0.43837 sin27=0.45399sin28=0.46947 sin29=0.48480 sin30=0.49999
sin31=0.51503
sin32=0.52991
sin33=0.54463sin34=0.55919
sin35=0.57357
sin36=0.58778sin37=0.60181
sin38=0.61566
sin39=0.62932
sin40=0.64278
sin41=0.65605
sin42=0.66913sin43=0.68199
sin44=0.69465
sin45=0.70710sin46=0.71933 sin47=0.73135
sin48=0.74314sin49=0.75470
sin50=0.76604
sin51=0.77714sin52=0.78801
sin53=0.79863
sin54=0.80901
sin55=0.81915
sin56=0.82903
sin57=0.83867
sin58=0.84804
sin59=0.85716
sin60=0.86602
sin61=0.87461
sin62=0.88294
sin63=0.89100sin64=0.89879 sin65=0.90630
sin66=0.91354sin67=0.92050 sin68=0.92718
sin69=0.93358
sin70=0.93969
sin71=0.94551
sin72=0.95105sin73=0.95630 sin74=0.96126
sin75=0.96592sin76=0.97029 sin77=0.97437
sin78=0.97814sin79=0.98162 sin80=0.98480
sin81=0.98768sin82=0.99026 sin83=0.99254
sin84=0.99452sin85=0.99619 sin86=0.99756
sin87=0.99862sin88=0.99939 sin89=0.99984
sin90=1
cos1=0.99984
cos2=0.99939
cos3=0.99862cos4=0.99756 cos5=0.99619
cos6=0.99452
cos7=0.99254
cos8=0.99026
cos9=0.98768cos10=0.9848
cos11=0.9816
cos12=0.97814cos13=0.9743
cos14=0.9702
cos15=0.9659cos16=0.9612 cos17=0.9563
cos18=0.9510cos19=0.9455 cos20=0.9396
cos21=0.9335cos22=0.9271 cos23=0.9205
cos24=0.9135
cos25=0.9063
cos26=0.8987
cos27=0.8910cos28=0.8829 cos29=0.8746
cos30=0.8660
cos31=0.8571
cos32=0.8480
cos33=0.8386cos34=0.8290 cos35=0.8191
cos36=0.8090cos37=0.7986 cos38=0.7880
cos39=0.7771cos40=0.7660
cos41=0.7547
cos42=0.7431
cos43=0.7313
cos44=0.7193
cos45=0.7071
cos46=0.6946
cos47=0.6819
cos48=0.6691
cos49=0.6560
cos50=0.6427
cos51=0.6293 cos52=0.6156 cos53=0.6018 cos54=0.5877 cos55=0.5735
cos56=0.5592 cos57=0.5446cos58=0.5299
cos59=0.5150
cos60=0.5000cos61=0.4848
cos62=0.4694
cos63=0.4539
cos64=0.4383
cos65=0.4226
cos67=0.3907
cos68=0.3746
cos69=0.3583
cos70=0.3420
cos71=0.3255
cos72=0.3090cos73=0.2923 cos74=0.2756
cos75=0.2588
cos76=0.2419
cos77=0.2249
cos78=0.2079
cos79=0.1908
cos80=0.1736
cos81=0.1564cos82=0.1391 cos83=0.1218 cos84=0.1045 cos85=0.0871
cos86=0.06973
cos87=0.052cos88=0.0348
cos90=0tan1=0.017455
tan2=0.034920
tan3=0.052407tan4=0.069926
tan5=0.087488
tan6=0.105104tan7=0.122784
tan8=0.140540
tan9=0.158384tan10=0.17632
tan11=0.19438
tan12=0.21255tan13=0.23086 tan14=0.24932 tan15=0.26794tan16=0.28674
tan17=0.30573 tan18=0.32491tan19=0.34432 tan20=0.36397
tan21=0.38386tan22=0.40402
tan23=0.42447
tan24=0.44522tan25=0.46630
tan26=0.48773
an27=0.50952tan28=0.53170
tan29=0.55430
tan30=0.57735
tan31=0.60086
tan32=0.62486 tan33=0.64940tan34=0.67450 tan35=0.70020
tan36=0.72654
tan37=0.75355
tan38=0.78128
tan39=0.80978tan40=0.83909
tan41=0.86928
tan42=0.90040tan43=0.93251
tan44=0.96568
tan45=0.99999
tan46=1.03553
tan47=1.07236
tan48=1.11061tan49=1.15036
tan50=1.19175
tan51=1.23489tan52=1.27994
tan53=1.32704
tan54=1.3763
tan55=1.42814 tan56=1.48256 tan57=1.53986tan58=1.60033 tan59=1.66427 tan60=1.73205 tan61=1.80404
tan62=1.88072
tan63=1.96261
tan64=2.05030
tan65=2.14450
tan66=2.24603tan67=2.35585 tan68=2.47508
tan69=2.60508tan70=2.74747
tan71=2.90421
tan72=3.07768
tan73=3.27085
tan74=3.48741
tan75=3.73205tan76=4.01078 tan77=4.33147
tan78=4.70463tan79=5.14455 tan80=5.67128
tan81=6.31375
tan82=7.11536
tan83=8.14434
tan84=9.51436
tan85=11.4300
tan86=14.3006
tan87=19.0811tan88=28.6362 tan89=57.2899
tan90=无取值
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法:借助于下面三个图形来记忆,即使有所遗忘也可根据图形重新推出: sin30°=cos60°=2 1 ,sin45°=cos45°=22, tan30°=cot60°=33, tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法: 说明:正弦值随角度变化,即0? 30? 45? 60? 90?变化;值从0 2 1 22 23 1变化,其余类似记忆. 3、规律记忆法:观察表中的数值特征,可总结为下列记忆规律: ① 有界性:(锐角三角函数值都是正值)即当0°<α<90°时, 则0<sin α<1; 0<cos α<1 ; tan α>0 ; cot α>0。 ②增减性:(锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大;余弦、余切值随角度的增大而减小),即当0<A <B <90°时,则sin A <sin B ;tan A <tan B ; cos A >cos B ;cot A >cot B ;特别地:若0°<α<45°,则sin A <cos A ;tan A <cot A 若45°<A <90°,则sin A >cos A ;tan A >cot A . 4、口决记忆法:观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式,正切、余切值可表示为3 m 形式,有关m 的值可归纳成顺口溜:一、二、三;三、二、一;三九二十七. 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
初中三角函数公式大全
三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边/ 斜边 cos α=∠α的邻边/ 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a ·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a
完整三角函数公式表
三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1sinα/cosα=tanα= secα/cscα cosα/sinα=cotα= cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割, 左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个 函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函 数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平 方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个 顶点的三角函数值的乘积。”) ? 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα?? sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα sin(3π/2-α)=- cosα cos(3π/2-α)=- sinα tan(3π/2-α)=cotα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanαcos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=- cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=- cotα cot(3π/2+α)=- tanα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) ? 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ??????????????tanα+tanβ tan(α+β)=——————??????? 2tan(α/2) sinα=——————?????? 1+tan2(α/2) ???????1-tan2(α/2) cosα=——————?????? 1+tan2(α/2) ???????2tan(α/2)
正切三角函数值表
正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033
初中三角函数公式和定理
初中三角函数公式及其定理 第十一次授课 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 典型例题 例题1(2009·中考) 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 m . :i h l =h l
三角函数特殊角值表
三角函数特殊值 1、图示法:借助于下面三个图形来记忆,即使有所遗忘也可根据图形重新推出: sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
说明:正弦值随角度变化,即0? 30? 45? 60? 90?变化;值从0 2 3 1变化,其余类似记忆. 3、规律记忆法:观察表中的数值特征,可总结为下列记忆规律: ① 有界性:(锐角三角函数值都是正值)即当0°<α<90°时, 则0<sin α<1; 0<cos α<1 ; tan α>0 ; cot α>0。 ②增减性:(锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大;余弦、余切值随角度的增大而减小),即当0<A <B <90°时,则sin A <sin B ;tan A <tan B ; cos A >cos B ;cot A >cot B ;特别地:若0°<α<45°,则sin A <cos A ;tan A <cot A 若45°<A <90°,则sin A >cos A ;tan A >cot A . 4、口决记忆法:观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式,正切、余切值可表示为3 m 形式,有关m 的值可归纳成顺口溜:一、二、三;三、二、一;三九二十七. 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数,记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上,经过变形,使其呈现某种规律,再配以歌诀,则可浅显易记,触目成诵。 仔细观察表1,你会发现重要的规律。
特殊三角函数数值表
两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差 sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a) cos(π-a) = -cos(a) sin(π+a) = -sin(a)
初中三角函数公式大全
^ 三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinACosA ] Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 】 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A [ Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α $ 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a
三角函数反三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]
三角函数值表
三角函数值表 三角函数 单位圆(及半径的圆)在三角函数的学习中具有举足轻重的地位。我们可以利用单位圆来定义三角函数、求解三角函数问题。在解决三角函数问题的过程中,单位圆是一个非常有用的工具。 设角的终边与单位圆(此处是以原点为圆心)交于点,则有 正弦:,余弦: 正切:,余切: 正割:,余割: (二)反三角函数 反三角函数是一种基本初等函数,它包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割,他们各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为时的角。例如,当时,;当时,,具体如,。 反三角函地并不能狭义地理解为三角函数的反函数。三角函数的反函数不是单值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数对称。 三、同角三角函数基本关系 1.倒数关系: 2.商的关系:
3.平方关系: 四、三角函数的诱导公式 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.此处仅列出了几个易混的诱导公式,过于常规的就没有列出。个人认为,只需记住与、、的三角函数值关系,便可推出所有的诱导公式。 1.任意角与的三角函数值之间的关系: 2.任意角α与-α的三角函数值之间的关系: 3.任意角与的三角函数值之间的关系: 4.任意角与的的三角函数值之间的关系: 五、三角函数的和差角公式
六、倍角公式和半角公式 1.倍角公式 变形: 2.三倍角公式 3.半角公式(也叫降幂公式) 4.升幂公式 七、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和化积公式 八、万能公式
万能公式是将和均用表示。 九、辅助角公式 得到辅助角公式: 其中与。 又() 从而得到三角函数辅角公式:,;用余弦表示则为:,。 例如,,在实数域上,最大值为,最小值为十、三角函数和反三角函数的导数 十一、反三角函数相关公式 十二、其他常用结论
特殊角三角函数值表
特殊角三角函数值表: 函数名 在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦(sin):角α的对边比斜边余弦(cos):角α的邻边比斜边 正切(tan):角α的对边比邻边余切(cot):角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系:sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系,函数名不变,符号看象限 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 以下关系,奇变偶不变,符号看象限 sin(90°-α)=cosα cos(90°-α)=sinα tan(90°-α)=cotα cot(90°-α)=tanα sin(90°+α)=cosα cos(90°+α)=sinα tan(90°+α)=-cotαcot(90°+α)=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系: sinα ?cosβ=(1/2)*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα ?sinβ=(1/2)*[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα ?cosβ=(1/2)*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα ?sinβ=(1/2)*[cos(α+β)-cos(α-β)] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2] cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]
三角函数值表
三角函数值表一常用三角函数值:
二反三角函数值
同角三角函数的基本关系式 1,倒数关系: 1csc sin =?x x 1sec cos =?x x 1cot tan =?x x 2,商数关系: x x x cos sin tan = x x x sin cos cot = 3,平方关系 1cos sin 22=+x x x x 22sec tan 1=+ x x 22csc cot 1=+ 倍角公式:
x x x cos sin 22sin = 2 cos 2sin 2sin x x x = x x x 22sin cos 2cos -= 2 sin 2cos cos 2 2 x x x -= 1cos 22 -=x 12 cos 22 -=x x 2 sin 21-= 2 sin 212 x -= x x x 2tan 1tan 22tan -= 2 tan 12tan 2tan 2x x x -= 半角公式: 2cos 12sin x x -±= 22cos 1sin 2x x -= 2cos 12cos x x +±= 2 2cos 1cos 2x x += x x x x x x x cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 万能公式: 2 tan 12tan 2sin 2x x x +=
2 tan 12tan 1cos 22 x x x +-= 2 tan 12tan 2tan 2x x x -= 奉送直线有关 1,斜截式 斜率K 和在Y 轴的截距是b b kx y += 2点截式 点()111,y x P 和斜率k ()11x x k y y -=- 3,两点式 点()()222111,,y x P y x P 和 1 21 121x x x x y y y y --=-- 4,截距式 在x 轴上截距是a 1=+b x a x 在y 轴上截距是b 两条直线平行的充要条件:21k k = 两条直线垂直的充要条件:121-=?k k 圆: 圆心在圆点,半径为r 的圆的方程是: 222r y x =+ 圆心在点()b a C ,,半径为r 的圆的方程是: ()()22 2 r b y a x =-+-
三角函数定义及三角函数公式大全
三角函数定义及三角函数公式大全 一:初中三角函数公式及其定理 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c 2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余 角的正弦值。 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 对 边 C
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A
仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度( 坡比)。用字母i 表示,即 h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 :i h l =h l α
三角函数值(附三角函数值表)
三角函数值(附三角函数值表) (1)特殊角三角函数值 sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071 二分之根号2 sin60=0.8660 二分之根号3 sin90=1 cos0=1 cos30=0.866025404 二分之根号3 cos45=0.707106781 二分之根号2 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=0.577350269 三分之根号3 tan45=1 tan60=1.732050808 根号3 tan90=无 cot0=无 cot30=1.732050808 根号3 cot45=1 cot60=0.577350269 三分之根号3 cot90=0 (2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。(见下) (3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值 (ii)当角度在0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时, 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时, tanα>0, cotα>0. “锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无
三角函数值表
三角函数表 第(1)页 共(11)页 角度正弦值余弦值正切值余切值角度正弦值余弦值正切值余切值00.0000 1.00000.0000不存在 0.10.0017 1.00000.0017572.957 4.10.07150.99740.071713.9507 0.20.0035 1.00000.0035286.478 4.20.07320.99730.073413.6174 0.30.0052 1.00000.0052190.984 4.30.07500.99720.075213.2996 0.40.0070 1.00000.0070143.237 4.40.07670.99710.076912.9962 0.50.0087 1.00000.0087114.589 4.50.07850.99690.078712.7062 0.60.01050.99990.010595.4895 4.60.08020.99680.080512.4288 0.70.01220.99990.012281.8470 4.70.08190.99660.082212.1632 0.80.01400.99990.014071.6151 4.80.08370.99650.084011.9087 0.90.01570.99990.015763.6567 4.90.08540.99630.085711.6645 10.01750.99980.017557.290050.08720.99620.087511.4301 1.10.01920.99980.019252.0807 5.10.08890.99600.089211.2048 1.20.02090.99980.020947.7395 5.20.09060.99590.091010.9882 1.30.02270.99970.022744.0661 5.30.09240.99570.092810.7797 1.40.02440.99970.024440.9174 5.40.09410.99560.094510.5789 1.50.02620.99970.026238.1885 5.50.09580.99540.096310.3854 1.60.02790.99960.027935.8006 5.60.09760.99520.098110.1988 1.70.02970.99960.029733.6935 5.70.09930.99510.099810.0187 1.80.03140.99950.031431.8205 5.80.10110.99490.10169.8448 1.90.03320.99950.033230.1446 5.90.10280.99470.10339.6768 20.03490.99940.034928.636360.10450.99450.10519.5144 2.10.03660.99930.036727.2715 6.10.10630.99430.10699.3572 2.20.03840.99930.038426.0307 6.20.10800.99420.10869.2052 2.30.04010.99920.040224.8978 6.30.10970.99400.11049.0579 2.40.04190.99910.041923.8593 6.40.11150.99380.11228.9152 2.50.04360.99900.043722.9038 6.50.11320.99360.11398.7769 2.60.04540.99900.045422.0217 6.60.11490.99340.11578.6427 2.70.04710.99890.047221.2049 6.70.11670.99320.11758.5126 2.80.04880.99880.048920.4465 6.80.11840.99300.11928.3863 2.90.05060.99870.050719.7403 6.90.12010.99280.12108.2636 30.05230.99860.052419.081170.12190.99250.12288.1443 3.10.05410.99850.054218.46457.10.12360.99230.12468.0285 3.20.05580.99840.055917.88637.20.12530.99210.12637.9158 3.30.05760.99830.057717.34327.30.12710.99190.12817.8062 3.40.05930.99820.059416.83197.40.12880.99170.12997.6996 3.50.06100.99810.061216.34997.50.13050.99140.13177.5958 3.60.06280.99800.062915.89457.60.13230.99120.13347.4947 3.70.06450.99790.064715.46387.70.13400.99100.13527.3962 3.80.06630.99780.066415.05577.80.13570.99070.13707.3002 3.90.06800.99770.068214.66857.90.13740.99050.13887.2066 40.06980.99760.069914.300780.13920.99030.14057.1154
特殊角三角函数值表
特殊角三角函数值表 函数名 在平面直角坐标系xOy中,从点0引出一条射线0P,设旋转角为0,设OP=r , P点的坐标为(x, y )有 正弦函数sin 0 =y/r 余弦函数cos 0 =x/r 正切函数tan 0 =y/x 余切函数cot 0 =x/y 正弦(Sin ):角a的对边比斜边余弦(COS ):角a的邻边比斜边 正切(tan ):角a的对边比邻边余切(cot ):角a的邻边比对边 特殊函数人倒数关系:tan a ?COt a =1 sin a ?CSC a =1 COS a ?SeC a =1 特殊函数人商数关系:tan a =Sin a /COS a COt a =COS a /Sin a 特殊函数人平方关系:sin a 2+COS a 2=1 1+tan a 2=sec a2 1+cot a =CSC a2 以下关系,函数名不变,符号: 看象限 sin (n + a) =-Sin a COS (n + a) =. -COS a tan (n + a) =tan a cot (n + a) =cot a sin (n — a) =sin a cos (n —-a) =-COS a tan (n — a) =-tan a cot (n —-a) =-COt a sin (2 n — a) =-Sin a COS (2 n —a )=COS a tan (2 n — a) =-tan a COt (2 n —a )=-cot 以下关系,奇变偶不变,付号看象限 sin (90° - a) =COS a COS (90°-a ) =sin a tan (90° - a) =COt a cot (90°-a ) =ta n a sin (90° + a) =COS a cos (90°+ a )=sin a tan (90° + a) =- COt a(90°+ a ) =-ta n a 特殊三角函数人积化和差的关系: sin a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) +sin (a — 3) ] COS a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) —sin (a — 3) ] COS a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) +COS (a — 3) ] sin a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) —COS (a — 3) ] 特殊三角函数-和差化积公式 sin a +sin 3 =2*[sin( a + 3 )/2]*[cos( a - 3 )/2] sin a -sin 3 =2*[cos( a + 3 )/2]*[sin( a - 3 )/2]
初中三角函数公式及其定理
初中三角函数公式及其定理 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性: 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小。 A 90 B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
1、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。 :i h l =h l α
三角函数特殊角值表
三角函数特殊值 1、图示法:借助于下面三个图形来记忆,即使有所遗忘也可根据图形重新推出: sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
说明:正弦值随角度变化,即0? 30? 45? 60? 90?变化;值从0 2 3 1变化,其余类似记忆. 3、规律记忆法:观察表中的数值特征,可总结为下列记忆规律: ① 有界性:(锐角三角函数值都是正值)即当0°<α<90°时, 则0<sin α<1; 0<cos α<1 ; tan α>0 ; cot α>0。 ②增减性:(锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大;余弦、余切值随角度的增大而减小),即当0<A <B <90°时,则sin A <sin B ;tan A <tan B ; cos A >cos B ;cot A >cot B ;特别地:若0°<α<45°,则sin A <cos A ;tan A <cot A 若45°<A <90°,则sin A >cos A ;tan A >cot A . 4、口决记忆法:观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式,正切、余切值可表示为3 m 形式,有关m 的值可归纳成顺口溜:一、二、三;三、二、一;三九二十七. 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数,记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上,经过变形,使其呈现某种规律,再配以歌诀,则可浅显易记,触目成诵。 仔细观察表1,你会发现重要的规律。