(完整版)高数一知识点
第一章~~第三章
一、极限
数列极限lim n n x ->∞
函数极限lim ()x f x ->∞
，lim ()x f x →+∞
，lim ()x f x →-∞
lim ()x x f x ->，0
lim ()x x f x -->，0
lim ()x x f x +->
求极限（主要方法）：
（１）1
00
sin 1
lim
1,lim(1),lim(1)x x
x x x x
e x e x x
->->∞->=+=+=
（２）等价无穷小替换（P76）。当()0x ?→时，
代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,
,0,,0,1,0∞∞?∞∞-∞∞∞）
，只有0,0∞
∞
可以直接用罗比达法则。 幂指函数求极限：()
lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；
或，令()
()
v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则
()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。 二、连续 0
0lim ()()x x f x f x ->=
左、右连续 0
00lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==
函数连续?函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。 三、导数 0
000000()()()()
'()lim
lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
->->-+-==-V V V 左导数 0
000000()()()()
'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
-
--->->-+-==-V V V
右导数 0
000000()()()()
'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
+
++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο?=??+==
可导?连续 可导?可微 可导?既左可导又右可导
求导数：
（１） 复合函数链式法则
[]()
'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx
====
[()]
''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠
（２） 隐函数求导法则
两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。 （3）参数方程求导
'()()()
/'()
dy dy dx t x t y t dx dt dt t ψ?ψ?====
22
'()()()
'()
'()d t d dy d y dt t dt dx dx dx t dt
ψ??== 四、导数的应用
（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题） （２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。 （3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同
凹凸性）。
第四章 不定积分
原函数 (())()F x f x '=→ 不定积分 ()()f x dx F x C =+?
基本性质
[()]()d f x dx f x dx =? 或 [()]()d
f x dx f x dx =?
()()F x dx F x c '
=+?或()().dF x F x C =+?
[()()dx dx d ]()()f x g x f x g x x +=+??? (分项积分)
d (()d )k f x x k f x x =??
基本积分公式 (1)
d k x kx C =+?; (2)
1
1 (1d )1
x x x C αααα+=
+=-/+?
(3)
1ln ||dx x C x
=+? (4) dx x
x
e e
C =+?
(5) x ln d x
x
a a C a
=+? (6) d cos sin x x x C =+? (7)
d sin cos x x x C =-+? (8) 2
sec ta d n x x x C =+?
(9) 2
d csc cot x x x C =-+? (10) d s x ec tan sec x x x C =+?
(11)
dx csc cot csc x x x C =-+? (12)
arcsin x C =+
(13)
2
arctan 1d x
x C x =++?
除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式 1. tan ln |cos |;xdx x C =-+? 2. cot ln |sin |;xdx x C =+? 3. sec ln |sec tan |;xdx x x C =++? 4. csc ln |csc cot |;xdx x x C =-+?
5.
22
11arctan ;x
dx C a x a a
=++?
6. arcsin
;x
C a
=+?
7. 2
2
11ln ;2x a
dx C x a a x a
-=+-+? 8. 2arcsin ;2a x C a =
9.
ln |.x C =++
求不定积分的方法
1． 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。 2． 换元法：第一类换元法（凑微分法）
(())()()()(()d ).f x x x f u du F u C F x C ???'==+=+??
第二类换元法（变量代换法）
()(())()()[()].d d f x x f t t t F t C F x C ??ψ'==+=+??（注意回代）
换元的思想：
()
(())()()
()(())()()()(()).d d x t f t t dt
t x f x x
f t t t
g t dt F t C
F x C ???ψ??ψ'=='=
=
=+=+???
主要有幂代换、三角代换、倒代换 3． 分部积分法
uv dx udv uv vdu uv u vdx ''==-=-????
v '的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数
第五章 定积分
一、概念 1. 定义
11
()lim (),max{}n
b
i i i a
i n
i f x dx f x x λξλ→≤≤==?=?∑?
2. 性质： 设()x f 、()x g 在[]b a ,区间上可积，则定积分有以下的性质.
(1). a b dx b a -=? ；
(2). ()()[]???+=+b
a b
a b
a dx x g n dx x f m dx x g n x mf )()(；
(3).
???
+=b
c
c a
b a
dx x f dx x f dx x f )()()(；
(4). 若在[],a b 上，()0≥x f ，则
0)(≥?
b a
dx x f ；
推论1. 若在[],a b 上，()()f x g x ≤，则()()b b
a
a
f x dx
g x dx ≤?
?
推论2. ??
≤b
a
b a
dx x f dx x f |)(||)(|
（a b <）
(5). 若函数()x f 在区间[]b a ,上可积，且()M x f m ≤≤，则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-?
(6).（定积分中值定理） 设()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使
()()a b f dx x f b a
-=?
ξ)(．
3. 积分上限函数
()x
a
f t dt ?
及其性质
(1)．()x f dt t f x a
='?
))((
，或
()x f dt t f dx
d x
a =?)(； (2)．如果()?
=
)
(0
)(x dt t f x ?φ，则()))(()
(0
'='?x dt t f x ?φ()()()x x f ??'=.
(3). 如果()()
()
()x x x f t dt ?ψ
φ=
?,
则()()
()
(
())x x x f t dt ?ψ
φ''=?()()()()()()'f x x f x x ??ψψ'=-.
4. 广义积分
(1). 无穷限积分
()a
f x dx +∞=?
()lim t
a
t f x dx →+∞?=?
??收敛
（极限存在）
发散
（极限不存在）
．
()=?
∞
-b dx x f ()lim b t
t f x dx →-∞?=???收敛（极限存在）
发散
（极限不存在）
．
()?
∞+∞
-dx x f 收敛的充分必要条件是反常积分()0
f x dx +∞?
、()0f x dx -∞
?
同时收敛，并
且在收敛时，有
()?
∞+∞
-dx x f ()0
f x dx +∞=?
()0f x dx -∞
+?
．
(2). 瑕积分
a 为瑕点 ()()lim
b b a a
t a f x dx f x dx +→?==????收敛
（极限存在）
发散
（极限不存在）
b 为瑕点 ()()lim b
b a
a
t b
f x dx f x dx -→?==?
???
收敛
（极限存在）
发散
（极限不存在）
c 为瑕点 则()?b
a
dx x f 收敛?()?c
a
dx x f 与()?b
c
dx x f 均收敛，并且在收敛时，有
()=
?
b a
dx x f ()?
c a
dx x f ()?+b
c
dx x f
二、计算
（一） 定积分的计算
1、微积分基本公式：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()x f x F ='，则
()()a F b F dx x f b a
-=?
)( ， 牛顿-莱布尼兹（N-L ）公式
2、换元法：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，函数()t x ?=满足： ① 在区间[]βα,上可导，且()t ?'连续；
② ()α?=a ，()β?=b ，当[,]t αβ∈时，[]b a x ,∈，则
()()??'=β
α??dt t t f dx x f b a
)()(
3、分部积分法：
()|b b b a a
a
uv dx uv u vdx ''=-?
?， 或()|b b
b
a a
a
udv uv vdu =-??．
4、偶倍奇零： 设函数()x f 在区间[]a a ,-上连续，则
()()()()
()2()a a
a
f x f x f x dx f x dx f x f x -?-=-?
=?-=???
?
5、
?
?
=2
2
cos sin π
π
xdx xdx n
n
1
22!
)!12(!
)!2(2
!)!2(!)!12(+==??????=+-k n k
n k k k k π．
6、分段函数的定积分。
（二） 与积分上限函数相关的计算
（三） 广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限） 三、定积分的应用 （一）几何应用 1、 平面图形的面积 （1）直角坐标 b
a
(),|(d d )()|dx b
b a
a
A f x x A f x g x x =
=-=?
??（上曲线－下曲线），
或(),|()()dy |dy dy d
d d
c
c
c
A y A y y ??ψ=
=-=?
??（右曲线－左曲线）
（2）参数方程 若()
()
x t y t ?ψ=??
=?与,x a x b ==及x 轴所围成的面积()()A t t dt βα
ψ?'=?，,αβ
分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。
（3）极坐标 由曲线(),,,()r r θθαθβαβ===<所围的曲边扇形
的面积2
1[()].2
A r d βαθθ=
? 2、 旋转体的体积
（1）直角坐标:由曲线(),,,()y f x x a x b a b ===<与x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一
周的旋转体的体积2
2()().b
b
a
a
V f x dx f x dx ππ=
=?
?
由曲线(),,,()x y y c y d c d ?===<与y 轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周
的旋转体的体积22()().d
d
c
c
V y dy y dy π?π?=
=?
?
（2）参数方程 由()
()
x t y t ?ψ=??
=?与,x a x b ==及x 轴所围成的图形绕x 由旋转一周的旋转体
的体积2()()V t t dt β
α
π
ψ?'=?
3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）
（1）直角坐标 a
s =?
（2）参数方程 s β
α=?
（3）极坐标 s β
α
θ=
?
（二）物理应用
（步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分）
阿基米德螺线心形线)
cos
1(θ
+
=a
r
双纽线θ2
cos
2
2a
r=摆线
?
?
?
-
=
-
=
)
cos
1(
)
sin
(
θ
θ
θ
a
y
a
x
第六章微分方程
一、内容小结：
（一）、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二）、解的结构
齐次线性''()'()0(*)
y P x y Q x y
++=
非齐次线性''()'()()(**)
y P x y Q x y f x
++=
1、
12
,
y y是（*）的解，则
1122
y C y C y
=+也是(*)的解；若
12
,
y y线性无关，则1122
y C y C y
=+为（*）的通解）
2、
12
*,*
y y是（* *）的解，则
12
**
y y
-是对应齐次线性方程的解
Y是（*）的通解，*y是（* *）的解，则*
Y y
+是（* *）的通解
(三)、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量方程
'()()y f x g y = 或 ()()g y dy f x dx = 或 1122()()()()0M x N y dy M x N y dx +=
解法：先分离变量,两边再同时积分 2、齐次方程
'()
y y f x
= 解法：令 ,y
u x
=
则''y u xu =+ 或者 ()dx x f dy y = 解法：令,x u y = dx du u dy dy
=+ 3、一阶线性微分方程 齐次线性 ()'()0
()P x dx
y P x y y C e -?
+==
非齐次线性 ()()'()()((()))P x dx
P x dx
y P x y Q x y e Q x e dx C -?
?
+==+?
三、二阶微分方程求解
(一)、可降阶情形 1、''()y f x =
2、不显含y 的二阶方程 ''(,')y f x y =
解法：',''', '(,)y p y p p f x p ===令则原方程化为 3、不显含x 的二阶方程 ''(,')y f y y =
解法：','', (,)dp dp y p y p
p f y p dy dy
===令则原方程化为 (二)、二阶线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程 '''0(***)y py qy ++=（其中,p q 为常数）
特征方程 2
0r pr q ++=
特征根 12,r r
12r r ≠且为实根,则微分方程通解为 1212r x
r x
y C e C e =+ 122
p r r ==-
为相等实根,则微分方程通解为 12()r x
y C C x e =+ 1,2r i αβ=±为一对共轭复根,则微分方程通解为 12(cos sin )x
y e C x C x αββ=+
2、二阶常系数非齐次线性微分方程
'''()(****)x
m y py qy P x e λ++=,（λ为常数，()m P x 是m 次多项式）
其具有特解形式(),k x
m y x Q x e λ=其中()m Q x 为与()m P x 同次的多项式,
01
2k λλλ??=???
不是特征根是特征单根是特征二重根
高数部分知识点总结
高数部分知识点总结 1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法 0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0, 0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0, 1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。 (1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,, 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答, 案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加 f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，, f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了, 这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下 a f(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,a aaa f(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0 ,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利 aaa 奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。在处理完积分上下,,,,a,a0 限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》 由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用 E、(AB)C、以下这组逻辑公式来作模型:假如有逻辑推导公式A:,, DE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的(C::, 证明题，其中一个可以是这样的:条件给出A、B、D，求证F成立。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类:1.已知的逻辑推导公式太多，难以 E就从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A,可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同时存在，有的逻辑::,,,
大一高数知识点总结
大一高数知识点总结 &初等函数 一、函数的概念 1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f，其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法解析法 即用解析式表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg,y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x
?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F=0给出的，如2x+y-3=0，e 可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。 反函数——如果在已给的函数y=f中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮叫做y=f的反函数，记作x=fˉ1或y= fˉ1. 二、函数常见的性质 1、单调性 2、奇偶性=f；奇：关于y轴对称，f=-f.） 3、周期性
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结 希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是xx精心收集的，希望能对你有所帮助。 篇一： 高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点： 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判
断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，
大学高数全册知识点整理
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一 . 数列函数 : 1. 类型 : (1) 数列 : * ; * (2) 初等函数 : (3) 分段函数 : * ; * ;* (4) 复合 ( 含) 函数 : (5) 隐式 ( 方程 ): (6) 参式 ( 数一 , 二 ): (7) 变限积分函数 : (8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ): 2. 特征 ( 几何 ): (1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( 单调定号 ) (2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ). 3. 反函数与直接函数 : 二 . 极限性质 : 1. 类型 : * ; * ( 含); * ( 含) 2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):
3. 未定型 : 4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性 三 . 常用结论 : , , , , , , , , 四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当时 , ; ; ; ; ; ; ; 2. 泰勒公式 : (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 五 . 常规方法 :
前提 : (1) 准确判断( 其它如 : ); (2) 变量代换( 如 : ) 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 ( ) ( 注 : ) 3. 处理 ( 其它如 : ) 4. 左右极限 ( 包括): (1) ; (2) ; ; (3) 分段函数 : , , 5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则 (1) 先” 处理”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : 与) (2) 幂指型处理 : ( 如 : ) (3) 含变限积分 ; (4) 不能用与不便用 7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : ( 分段函数 ) 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1) (2) 双边夹 : * , * (3) 单边挤 : * * * 2. 导数定义 ( 洛必达 ?):
高等数学上册知识点
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?;
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
高数部分知识点总结
1 高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法 则，对于00型和∞ ∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞ 1型 的题目则是先转化为00 型或∞ ∞ 型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim =→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四 章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答 案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，
把它折弯后就是?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a a dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有 ?-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于 ? 2 )(π dx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常 用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=?-a a 奇函数 、??=-a a a 02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
高数重要知识点汇总
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=
高数知识点总结
高数知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
高数一知识点
第一章~~第三章 一、极限 数列极限lim n n x ->∞ 函数极限lim ()x f x ->∞ ，lim ()x f x →+∞ ，lim ()x f x →-∞ lim ()x x f x ->，0 lim ()x x f x -->，0 lim ()x x f x +-> 求极限（主要方法）： （１）1 00 sin 1 lim 1,lim(1),lim(1)x x x x x x e x e x x ->->∞->=+=+= （２）等价无穷小替换（P76）。当()0x ?→时， 代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。 （3）洛必达法则（ 000,,0,,0,1,0∞∞?∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞ 可以直接用罗比达法则。 幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =； 或，令()()v x y u x =，两边取对数l n ()l n (y v x u x =，若l i m ()l n ()v x u x a =，则 ()lim ()v x a u x e =。 结合变上限函数求极限。 二、连续 0 0lim ()()x x f x f x ->= 左、右连续 0 00lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->== 函数连续?函数既左连续又右连续 闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。 三、导数 0 000000()()()() '()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ->->-+-==- 左导数 0 000000()()()() '()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -->->-+-==-
考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点+概念定理总结)
高等数学讲义 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129)
第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x t →= 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ?= x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ?= )()(21)(x x dt t f y ?? 其中)(),(21x x ??可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx ????''=- 五、函数的几种性质 1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。 2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。 若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。 3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f < )]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
(完整)大一下高数下册知识点,推荐文档
高等数学（下）知识点 x 2 + y 2 + z 2 b = 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； b = (b x ,b y ,b z ) 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设 a = ( a x , a y , a z ) ， (a ± b , a ± b , a ± b ) , = (a , a ) ； 则 a ± = x a x y y z z x , a y z 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： r ； 2） 两点间的距离公式： AB = 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,, 4） 方向余弦： cos = x , c os = r y , cos = z r cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 = 5） 投影： Pr j u a a cos ，其中 为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积： a ? b = a b cos 2 1） a ? a = a 2） a ⊥ b ? a ?b = 0 (x - x ) + ( y - y ) + (z - z ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 r
高等数学（下）知识点 x 2 + z 2 x 2 + y 2 a a ? b = a x b x + a y b y + a z b z 2、 向量积： c = a ? b 大小： a b sin ，方向： a ,b , c 符合右手规则 1） a ? a = 0 2） a // b ? a ? b = 0 i j k a ? b = x b x a y a z b y b z 运算律：反交换律 b ? a = -a ? b （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念： S : f (x , y , z ) = 0 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 ， 绕 y 轴旋转一周： f ( y ,± ) = 0 绕 z 轴旋转一周： f (± , z ) = 0 3、 柱面： F (x , y ) = 0 表示母线平行于 z 4、 二次曲面 轴，准线为 ?F (x , y ) = 0 ?z = 0 的柱面 ?
高等数学同济第七版上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；
（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
高等数学第一章总结
高等数学 多元函数微分法 及其应用学习总结
一．知识结构图 多元函数微分学： ● 基本概念（区域.定义.极限.连续） ● 偏导数（定义.计算.高阶偏导数） ● 全微分（定义.计算.必要条件.充分条件） ● 多元复合函数导数（链式法则.全导数） ● 隐函数求导法则（一个方程.方程组） ● 多元函数微分学的几何应用（曲线以及曲面的切线和法平面） ● 方向导数及其梯度 ● 多元函数最值及其求法 二．内容提要 1) 二次极限定义： 设f （x ，y ）的区域D 内有定义，p (0x ,0y )是D 的聚点，若ε?>0，0>?δ， 当点P(x,y)满足<0|p 0p |<δ时，总有ε<-A y x f ),(成立，则称函数),(y x f 当（x ，y ）趋向),(00y x 时以A 为极限，记作 A y x f o y y x x =→→),(lim ,0或 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00. 2） 二元函数连续性定义 设函数),(y x f Z =在点),(000y x p 的某个邻域),(0δP U 内有定义，若 ),(),(00,lim 0y x f y x f y y x x =→→，则称二元函数),(y x f Z =在点),(000y x p 处连续，点 ),(000y x p 称为),(y x f 的连续点。 设函数),(y x f Z =在点),(000y x p 的某个邻域),(0δP U 内有定义，分别给自变量x,y 在00,y x 处以增量△X,△y,得到全增量△Z=),(),(0000y x f y y x x f -?+?+。如果极限 0lim ,0=?→?→?Z y x ,则称),(y x f Z =在),(000y x p 处连续。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 （1）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n ,恒有 |x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限,或者称数列{x n }收敛于a ,记为a x n n =∞ →lim 或xn →a (n →∞). （2）函数极限的定义 设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有|f (x )-A |<ε, 那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限,记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞ =） 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称 A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或
《高等数学》 各章知识点总结——第1章
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 （1）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →a (n →∞). （2）函数极限的定义 设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时） 恒有 |f (x )-A |<ε , 那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x 0).（ 或lim ()x f x A →∞ =） 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== 2、极限的性质 （1）唯一性 若a x n n =∞ →lim ，lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = （2）有界性 （i ）若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤
(总结)高数重要知识点总结怎么写
高数重要知识点总结怎么写 1.函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3.一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4.向量代数与空间解析几何(数一) 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5.多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6.多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数(数一、数三) 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8.常微分方程及差分方程 重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”―平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域1,2,,n的分法要任意，二是在每个 小区域i上的点(i,i)i的取法也要任意。有了 这两个“任意”，
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结 导读：篇一：高数第一章知识点总结 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论 连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间 上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数 与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线 渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定 积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断; 多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在 与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法打有准备之战，胜算才能更大。希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。 一分耕耘一分收获。加油！ 【高数第一章知识点总结】 1.高数下知识点总结大全 2.高数知识点总结心得 3.高数上知识点总结 4.高数重要知识点总结怎么写 5.成考高数二知识点总结 6.考研高数知识点总结 7.大一高数一知识点总结 8.考研高数二知识点总结