高二数学立体几何专题复习(精编版)

高中立体几何专题（精编版）

1. （天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为

平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，

2PO =，M 为PD 中点．

（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ；（Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；

（Ⅲ）求直线AM 【解析】直线与平面所成的

角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所

以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB//平面ACM 。（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=?，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=?，即AD AC ⊥，

又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥?=而，所以AD ⊥平面PAC 。

（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，

且1

1,2

MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直

线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ?中，1

1,2

AD AO ==，

所以52DO =，从而15

2AN DO ==，

在45

,tan 5

MN Rt ANM MAN AN ?∠===

中即直线AM 与平面ABCD 所成角45

2. （北京文）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱

AP,AC,BC,PB 的中点.

（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；

（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

【解析】（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，

所以DE//PC 。

又因为DE ?平面BCP ，所以DE//平面BCP 。

（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点，

所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，

所以四边形DEFG 为矩形。

（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=2

EG.

分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ，

且QM=QN=2

EG ，

所以Q 为满足条件的点. 3. (全国大纲文)

如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD P ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====．（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；

（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

【解析】20．解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2，连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+，所以DSE ∠为直角。由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=I ，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。所以SD ⊥平面SAB 。 …………6分

（II ）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

.SD SE SF DE ?=

= 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。连结SG ，则SG BC ⊥，又,BC FG SG FG G ⊥=I ，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分

作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

SF FG FH SG ?=

，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有

设AB 与平面SBC 所成的角为α，

则2121sin ,arcsin .77

d EB αα=== …………12分解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系

C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则

（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-u u u r u u u r ，(1,,)DS x y z =-u u u r

，

由||||AS BS =u u u r u u u r

得

222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+ 故x=1。由22||11,DS y z =+=u u u r

得

又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=u u u r

得

即2213

410,,.22

y z y y z +-+===

故 …………3分

于是133333

(1,,),(1,,),(1,,)222222

S AS BS =--=-u u u r u u u r ，

13(0,,),0,0.2DS DS AS DS BS =?=?=u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=I 又所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，

则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r

又33(1,,),(0,2,0),22

BS CB =-=u u u r u u u

故33

0,220.m n p n ?-+

=???=?

…………9分

取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB =-=-u u u r

又。

cos ,.7||||

AB a AB a AB a ?==?u u u r

u u u r u u u r

故AB 与平面SBC 所成的角为21

arcsin

4. （全国新文）18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．

【解析】(18)解：

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理

得3BD AD =

从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。则DE ⊥平面PBC 。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，

根据BE·PB=PD·BD，得DE=2

3，即棱锥D —PBC 的高为

3 5. （辽宁文）18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =

PD ．（I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．

【解析】18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形

因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.

又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.

在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=

PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DC Q. ………………6分（II ）设AB=a .

由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311

.3V a =

由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为2

a ，所以棱锥P —DCQ 的体积为321

V a =

故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 6. （江西文）18．（本小题满分12分）

如图，在ABC ?中，,2,2

B AB B

C π

∠===P 为AB 边上的一动点，PD//BC 交

AC 于点D ，现将?PDA 沿PD 翻折至?PDA '，使平面?PDA '⊥平面PBCD 。（1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；

（2）若点P 为AB 的中点，E 为'A C 的中点，求证：'A B DE ⊥。

【解析】18．（本小题满分12分）

解：（1）令(02),',2,PA x x A P PD x BP x =<<===-则因为'A P PD ⊥，

且平面'A PD ⊥平面PBCD ，故'A P ⊥平面PBCD 。

所以3'111

(2)(2)(4)366A PBCD V Sh x x x x x -==-+=-，

令31

()(4),6f x x x =-

由212

'()(43)0,363f x x =-=得x=，

当2

(0,3),'()0,()3x f x f x ∈>时单调递增

当2

(3,2),'()0,()3

x f x f x ∈<时单调递减，

所以，当2

x =时，()f x 取得最大值，

即：当'A PBCD V -最大时，23

.PA = （2）设F 为'A B 的中点，连接PF ，FE ，

则有1//,//22

EF BC PD BC ====1

所以DE//PF ，又'A P PB = 所以'PF A B ⊥，故'.DE A B ⊥ 7. （山东文）19．（本小题满分12分）

如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60° （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面．

【解析】19．（I ）证法一：

因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，

所以1D D BD ⊥，

又因为AB=2AD ，60BAD ∠=?，在ABD ?中，由余弦定理得

22222cos603BD AD AB AD AB AD =+-??=，所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥，又1,AD D D D =I

所以11.BD ADD A ⊥平面又1AA ?平面ADD 1A 1，故1.AA BD ⊥

证法二：

因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，所以1.BD D D ⊥

取AB 的中点G ，连接DG ，

在ABD ?中，由AB=2AD 得AG=AD ，

又60BAD ∠=?，所以ADG ?为等边三角形。因此GD=GB ，

故DBG GDB ∠=∠，又60AGD ∠=? 1,

D D ∠?∠∠∠???⊥=I 所以GDB=30,

故ADB=ADG+GDB=60+30=90,

所以BD AD.

又AD D

所以BD ⊥平面ADD 1A 1，又1AA ?平面ADD 1A 1，故1.AA BD ⊥

（II ）连接AC ，A 1C 1，

设AC BD E =I ，连接EA 1

因为四边形ABCD 为平行四边形，

所以1

EC AC =

由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知 A 1C 1//EC 且A 1C 1=EC ，

所以边四形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1//EA 1，

又因为EA 1?平面A 1BD ，1CC ?平面A 1BD ，

所以CC 1//平面A 1BD 。 8. （陕西文）16．（本小题满分12分）

如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D —ＡＢＣ的表面积。

【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ，又DB ?ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面平面ABD ． BDC.ABD ∴⊥平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥, Q DB=DA=DC=1， ∴2,

从而11

11,22

DAM DBC DCA S S S ===??=V V V

22sin 602ABC S =?=V 表面积：133332S +=?+= 9. （上海文）20．（14分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为

1的正四棱柱，高12AA =。求：

（1）异面直线BD 与1AB 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）四面体11AB D C 的体积。

【解析】20．解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,BD B D AB AD =，

∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，

222111111110

cos 2AB B D AD AB B D θ+-==

? D

D 1

C B A

∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为10arccos

。 ⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积

111111112

42433

ABCD A B C D C B C D V V V --=-?=-?=。

10. （四川文）19．（本小题共l2分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．

（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1；

（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．解法一：

（Ⅰ）连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，

∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1∥AP ，∴AD =PD ，又AO =B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ?面BDA 1，PB 1?面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．

（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC =A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1． ∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．

在Rt △A 1C 1D 中，22115

()12A D =+=，又1

1151122AA D S AE ?=??=?

?，∴25

AE =

．在Rt △BAE

中，222535

()15BE =+=，∴

cos 3

AH AHB BH ∠=

=．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23

．

解法二：

如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．

（Ⅰ）在△PAA 1中有1112C D AA =，即1

(0,1,)2

D ． ∴1(1,0,1)A B =u u u r ，1(0,1,)A D x =u u u u r

，1(1,2,0)B P =-u u u r ．

设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，

则1111

10.2A B a c A D b c ??=+=?

??=+=??u u u r

u u u u r n n 令1c =-，则1

1(1,,1)2=-n ． ∵111

1(1)2(1)002

B P ?=?-+?+-?=u u u r n ，

∴PB 1∥平面BA 1D ，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2

=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212

cos ,3||||3

?<>===??n n n n n n ．

故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23

．

11. （浙江文）（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，

D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．

（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；

（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小．【解析】（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，

二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得AD BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥

因为PO AD O ?=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥ （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM 。因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM 。故BMC ∠为二面角B —AP —C 的平面角。

在222,41,41Rt ADB AB AD BD AB ?=+==中得在222Rt POD PO OD ?=+中,PD ，在Rt PDB ?中，222PB PD BD =+，

所以222236, 6.PB PO OD BD PB =++==得

在222,25, 5.Rt POA PA AO OP PA ?=+==中得

又222122

cos ,sin 233

PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=?从而

故sin 42BM PB BPA =∠= 同理4 2.GM =

因为222BM MC BC += 所以90BMC ∠=?

即二面角B —AP —C 的大小为90.? 12. （重庆文）20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，

,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。

【解析】20．（本题12分）

解法一：（I ）如答（20）图1，过D 作DF ⊥AC 垂足为F ，

故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF

是四面体ABCD 的面ABC 上的高，设G 为边CD 的中点，则由AC=AD ，知AG ⊥CD ，从而

2222115

2().

1115

.22AG AC CG AG CD AC DF CD AG DF AC =-=-=??=?==由得

由

2213

,3,.22

ABC Rt ABC AB AC BC S AB BC ??=

-==

?=中

故四面体ABCD 的体积15

.38

ABC V S DF ?=

??= （II ）如答（20）图1，过F 作FE ⊥AB ，垂足为E ，连接DE 。由（I ）知DF

⊥平面ABC 。由三垂线定理知DE ⊥AB ，故∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角。

在2222157,2(

),44

Rt AFD AF AD DF ?=-=-=中在Rt ABC ?中，EF//BC ，从而EF ：BC=AF ：AC ，所以7

AF BC EF AC ?== 在Rt △DEF 中，215

tan .DF DEF EF =

= 解法二：（I ）如答（20）图2，设O 是AC 的中点，过O 作OH ⊥AC ，交AB

于H ，过O 作OM ⊥AC ，交AD 于M ，由平面ABC ⊥平面ACD ，知OH ⊥OM 。因此以O 为原点，以射线OH ，OC ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系O —xyz.已知AC=2，故点A ，C 的坐标分别为A （0，—1，0），C （0，1，0）。

设点B 的坐标为11(,,0),,||1B x y AB BC BC ⊥=u u u r u u u r u u u r

由，有

2211221111111,(1)1,

33,,22().11,22x y x y x x y y ?+=??+-=????==-??????

??==????解得舍去即点B 的坐标为31

(

,,0).22

B 又设点D 的坐标为22(0,,),||1,||2,D y z CD AD ==u u u r u u u r

由有

2222222222(1)1,(1)4,

33,,44().1515,y z y z y y z z ?-+=??++=????==????

??==-????解得舍去即点D 的坐标为315(0,,).44D 从而△ACD 边AC 上的高为215

||.4

h z == 又22

31||()(1)3,|| 1.22

AB BC =++==u u u r u u u r

故四面体ABCD 的体积115

||||.32V AB BC h =???=

u u u r u u u r （II ）由（I ）知

33715(,,0),(0,,).24AB AD ==u u u r u u u r 设非零向量(,,)n l m n =是平面ABD 的法向量，则由n AB ⊥u u u r

有

0.2

l m += （1）由n AD ⊥u u u r

，有

715

0.44

m n +

= （2）取1m =-，由（1），（2），可得715715

3,,(3,1,).l n n ==

=-即显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量，从而

715

7109

15cos ,,109

493115

1215109tan ,,109

n k n k <>==

++-

<>=

=故

即二面角C —AB —D 的平面角的正切值为

215

. 13. （安徽文）（19）（本小题满分13分）

如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC EF ∥；

（Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积. 【解析】（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间

直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以

OB ∥DE 2

，OG=OD=2，

同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O

又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.

在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 2

，可知B 和C 分别是GE 和

GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.

（II ）解：由OB=1，OE=2，2

,60=?=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2

的正三角形，故.3=OED S

所以.2

+=OED EOB OEFD S S S 过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱

锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2

31=?=-OBED OBED F S FQ V

14. （福建文）20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。

（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积【解析】20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体

积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ?平面ABCD ，

所以.PA CE ⊥

因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以又,PA AD A =I

所以CE ⊥平面PAD 。

（II ）由（I ）可知CE AD ⊥，

在Rt ECD ?中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ??==??= 又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形，

所以115

1211.222

ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ?=+=?+?=?+??=矩形四边形

又PA ⊥平面ABCD ，PA=1，

= = = =

所以1155

1.3326

P ABCD ABCD V S PA -=?=??=四边形四边形

15. （湖北文）18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在

侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =．（I ）求证：1C F C E ⊥；

（II ）求二面角1E C F C --的大小。

【解析】18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）解法1：（Ⅰ）由已知可得

221132,2(22)23CC CE C F ===+= 222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+= 于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=

所以11,C E EF C E CE ⊥⊥

又1,.EF CE E C E CEF ?=⊥所以平面

由1,.CF CEF CF C E ?⊥平面故

（Ⅱ）在CEF ?中，由（Ⅰ）可得6,23EF CF CE === 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥

又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ?=，所以CF ⊥平面C 1EF ，又1C F ?平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F 。

于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角。

由（Ⅰ）知1C EF ?是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=?，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,1,2)A B C C E F

（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1,2)C E CF =--=-u u u u r u u u r

10220C E CF ?=+-=u u u u r u u u r

1.CF C E ∴⊥

（Ⅱ）(0,2,22)CE =-u u u r

，设平面CEF 的一个法向量为

(,,)m x y z =

由0,

,,0,

m CE m CE m CF m CF ??=?⊥⊥??=??u u u r

u u u r u u u r u u u r

得即2220,

(0,2,1)320y z m x y z ?-+=?=?

-+=??可取设侧面BC 1的一个法向量为

1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-u u u r u u u u r u u u r

由及

)0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取

设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得

||62

cos ||||232

m n m n θ?=

??，所以45θ=? 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。 16. （湖南文）19．（本小题满分12分）如图3，在圆锥PO 中，已知2,PO O

=e 的直径?2,,AB C AB D AC =∠o 点在上,且CAB=30为的中点．

（Ⅰ）证明：AC ⊥平面POD ;

（Ⅱ）求直线 OC 和平面PAC 所成角的正弦值. 【解析】19．（本题满分12分）

解法1：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.

又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ，所以AC ⊥PO ，而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以;AC POD ⊥平面

（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ?平面

所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，

过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ，则CH 是OC PAC 在平面上的射影，

所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．

在1

,sin 30.2

Rt ODA OD OA ?=?=o 中

在22

1222,124

Rt POD OH PO OD ?

?==

=++

中在2

,sin OH Rt OHC OCH OC ∠==V 中 17. （广东文）18．（本小题满分13分）图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，

将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A ，A′，B ，B′分别为

?CD ,?''C D ,?DE ,?''D E 的中点，''112,2

,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点．

（1）证明：''12,,,O A O B 四点共面；（2）设G 为A A′中点，延长\''1A O 到H′，使得''''11O H A O =．证明：

''''2BO H B G ⊥平面

【解析】18．（本小题满分13分）

证明：（1）??,,A A CD C D '''Q 分别为中点，

11//O A O A ''∴

连接BO 2

// Q 直线BO 2是由直线AO 1平移得到 12//AO BO ∴

12//O A BO ''∴

12,,,O A O B ''∴共面。

（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H '' ∴由平移性质得12O O ''=HB 21//BO HO ''∴

11,,2

A G H O H H A H O H H GA H π

''''''''''==∠=∠=Q

1GA H O H H ''''∴??? 12

H O H GH A π

'''∴∠+=

1O H H G ''∴⊥

2BO H G ''∴⊥

12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥?=Q

1222O O B BO O ''''∴⊥平面 122O O BO '''∴⊥

2BO H B '''∴⊥ H B H G H ''''?=Q

2.BO H B G '''∴⊥平面

18. （江苏）16．如图，在四棱锥ABCD P -中，

平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点

求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；

（2）平面BEF ⊥平面PAD

【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。证明：（1）在△PAD 中，因为E 、F 分别为 AP ，AD 的中点，所以EF//PD.

又因为EF ?平面PCD ，PD ?平面PCD ，所以直线EF//平面PCD.

（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面

ABCD ，BF ?平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD 。又因

F E A C

为BF 平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

2015年高二数学学业水平考试复习学案(1318)立体几何

俯视图侧视图正视图高二学考必修二学案第1课空间几何体的结构、三视图和直观图一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征：（1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。（4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________ (5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。 (6) _____________________________________________________叫做圆台。 (7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。 2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图（1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________ （2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。 3、正视图：光线从物体的_______投影所得的投影图，它能反映物体的_______和长度。侧视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的高度和宽度。俯视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的长度和宽度。学业水平考试怎么考 1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）. A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台二、课前小练： 1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对 2、下列结论中（1）．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱；（2）．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；（3）．用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台；（4）．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。其中正确的结论是（） A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（） 4、下面多面体是五面体的是（） C ′ A ′ Y ′ D ′

高中数学空间几何体知识点总结

空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征 1 .柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的圭寸闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 (1)柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形，，的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱注：相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: 四棱柱I底面为平行四边形怦行六面体I侧棱垂直于底面IB平行?硕本I底面为矩形 ■------------------------------ Bh. ------------ ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。斜棱柱棱柱： κ=≡τ?tr J車""理》正棱柱按方体底面为正方形正四棱柱恻棱与底面边栓相萨IlE方体I 棱柱的性质:

立体几何大题专题(基础)

练习1：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为侧棱PD 的中点，证明：PB ∥平面EAC 练习2：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为AB 的中点，证明：1BC ∥平面CM A 1 练习3：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为BC 的中点，证明：C A 1∥平面M AB 1 练习4：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 、F 分别为PA 、BC 的中点，证明：EF ∥平面PCD 练习5：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 、N 分别为AC 、11C B 的中点，证明：MN ∥平面

11A ABB 练习6：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为PC 、AD 的中点，证明：MN ∥平面PAB 练习7：如图：三棱柱ABC —111C B A 中，M 为1CC 的中点，N 为AB 的中点，证明：CN ∥平面M AB 1 练习8：如图：四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ， 090=∠BAD ，BC AB AD 22==，AB PA 2=，E 为PC 的中点，证明：AE ⊥DE

练习9：如图：直三棱柱ABC —111C B A 中，0 90=∠ACB ，1112C A AA =，E 、F 分别为1CC 、 1BB 的中点，Q 为E A 1的中点，证明：Q C 1⊥FQ 练习10：如图：四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥ AD ，BC AB PA ==， 060=∠ABC ，DC ⊥AC ，AF ⊥PD ，E 为PC 的中点，证明：EF ⊥PD 练习11：如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，证明：平面PBC ⊥平面PAB

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

高二立体几何大全

立体几何习题 1. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面 (1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； (2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值 2. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝2 6a ，（Ⅰ）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：A 1B ⊥面AB 1C . 3. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面 ABCD ，SB = 3 1．求证BC SC ⊥； 2．求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小； 3．设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小 B C D A P M F E

4. 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小；（Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 5. 如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 6. 如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论. 1 B 1D B A 1E F B C D A P E

立体几何专题训练

专题一立体几何班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1．直线12,l l 和α，12//l l ，a 与1l 平行，则a 与2l 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ．1 3 B ． 3 C ．2 D ．23 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15o B ．30o C ．45o D ．60o 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里，则升高了 A ．米 B ．米 C ．米 D ． 500米 6．已知三条直线,,a b l 及平面,αβ，则下列命题中正确的是 A ．,//,//b a b a αα?若则 B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ．若,a b ααβ?=I ，则//a b D ．若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7．已知P 是△EFG 所在平面外一点，且PE=PG ，则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边EG 的垂直平分线上 C ．边EG 的中线上 D ．边EG 的高上 8 ．若一正四面体的体积是3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． C ．12cm D ．9．P 是△ABC 所在平面α外一点，PA ，PB ，PC 与α所成的角都相等，且PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，EF= 32 ，C D E F

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ， DP AQ AB 2 1 ==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6 ．（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为 6 π ,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==， F ， G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?，求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分（2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。（1）求证：BC 1//平面CA 1D ；（2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

高中数学立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点； (1)求证：MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点． 1)求证：EF // 平面PAB ； 2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求证：平面PEF 平面PBC ． ABC 90 ， A P C F B

（1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点， EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ????????5 分（2）Q PA PC，E为AC的中点， PE AC ???????? 6 分又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分又因为F 为BC 的中点， EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 1)求证：BC1// 平面CA1D； 2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分别是AB、PC的中点． (1) 求证：EF∥平面PAD； (2) 求证：EF⊥ CD； (3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小．

立体几何题型归类总结

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立体几何专题复习 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ???????? →???????→?? ??? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为正方形 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★② r =d 、球的半径为R 、截面的半径为r ） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ== 球球（其中R 为球的半径）

俯视图二、【典型例题】考点一：三视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 . 第4题第5题 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视 3 俯视图 1 1 2 a

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

专题一立体几何经典练习题

2 专题一立体几何班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ．若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ．若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直

高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题

高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； (2)求证：平面1A AC ⊥平面BDE ； (3)求直线BE 与平面1A AC 所成角的正弦值. 2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F.求证：EF ∥平面ABCD. 3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点．（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==三棱锥P ABD -的体积34 V =求A 到平面PBC 的距离．

A D B C P E 4．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥DC； 5．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，// AB DC，⊥ = ∠PA DAB, 90ο底面ABCD，且1 PA AD DC ===，2 AB=，M是PB的中点．（1）求证：CM PAD P面；（2）证明：面PAD⊥面PCD；（3）求AC与PB所成的角的余弦值；（4）求棱锥M PAC -的体积。 6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点 A B C D P N

（1）求证：AN∥平面MBD; （2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值; （3）求二面角M-BD-C的余弦值. 7．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC⊥平面BDE 8．在四棱锥ABCD P-中，底面ABCD为矩形，ABCD PD底面 ⊥，1 = AB，2 = BC，3 = PD，F G、分别为CD AP、的中点． (1) 求证：// FG平面BCP； (2) 求证：PC AD⊥； F G P D C B A 9．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱111 ABC A B C -中，3 AC=，5 AB=，4 BC=，P M D C B A N

立体几何经典题型汇总

1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）

高二数学立体几何试题及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】【模拟试题】一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的

高中数学必修二__空间几何体知识点汇总

空间几何体一、空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下）底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下）底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征（1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PA⊥CD．（Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =．（Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD．（Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ．（Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P