(完整版)解三角形题型分类总结
解三角形题型分类总结
问题一：利用正弦定理解三角形
1.(2010年广东卷文)已知：ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=o ，则b =( A )
A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62-
2.在ABC ?中，若5b =，4B π∠=,1sin 3
A =，则a = . 3.（2009湖南卷文）在锐角ABC ?中，1,2,BC
B A ==则
cos AC A 的值等于 ，AC 的取值范围为 .
问题二：利用余弦定理解三角形
1.（2010全国卷Ⅱ文）已知：△ABC 中，12cot 5
A =-，则cos A = ( )
A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213- 2.设ABC ?的内角C
B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4
1cos =C . （Ⅰ）求ABC ?的周长
（Ⅱ）求()C A -cos 的值. 3.（2010重庆文数）设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a 2bc .
(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C A
ππ
+++-的值. 若条件改为：2223sin 3sin 3sin 42sin B C A B C +-=？
4.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c a b +2. （1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.
问题三：正弦定理余弦定理综合应用
1.（2011山东文数）在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A-2cos C 2c-a =cos B b ． （I ）求sin sin C A 的值；（II ）若cosB=14
，5b ABC V 的周长为，求的长. 【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”
考虑以下式子：1cos 2a C c b +=，(2)cos cos a c B b C -=，(2)cos cos 0a c b b C -+=
2.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
【注】对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件
(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。
3． 在,,,ABC a b c ?中分别为内角A 、B 、C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =-+- （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 3B C +=，试判断ABC ?的形状。
问题四：三角恒等变形
1.（08重庆） 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60o ，c=3b.求：
（Ⅰ）a
c 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.
【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”
同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=
（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα==
2.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ?=+,求,a c .
思考：1若sin()
sin()A B a c
A B c -+=-+求B 。
2若2sin 2sin 2sin cos21C C C C ++=，求C
33tan tan tan 3A B A B --= C
问题五：判断三角形形状
1.在△ABC 中，，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC ?三角形的形状.
2. 在△ABC 中，若cosA
cosB ＝b
a ，试判断ABC ?三角形的形状.
3.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是
4.在△ABC 中，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2）sin （A+B ），判断三角形的形状.
思考：若cos cos cos a
b
c
A B C ==，判断三角形的形状.
问题六：与其他知识综合
1已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--?=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.
【注】坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则： 向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±。 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r 。
平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r =cos a b θr r 向量平行：
1221//a b a b x y x y λ?=?=r r r r 向量垂直：
12120a b a b x x y y ⊥???+=r r r r 思考：1.若求cos cos A B +，22sin sin A B +，22
cos cos A B +？
2.若已知3c =，求三角形周长和面积的取值范围。
3.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 2A =，3AB AC ?=u u u r u u u r ． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 注：若条件改为3AB CA ?=u u u r u u u r
问题7：三角实际应用
1. 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠
ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A 、B 之间的距离.
【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。
2．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处
时,乙船位于甲船的北偏西105?
的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲
船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120?方
向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?
解三角形题型总结
解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.
例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
高中解三角形题型大汇总
解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______
解三角形题型总结原创
解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.
四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）
解三角形专题题型归纳
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师
一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形
高中数学解三角形题型完整归纳
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值
(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A
(完整版)解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论
(完整版)解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
高考中《解三角形》题型归纳
1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .
2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π
解三角形三类经典题型教学内容
解三角形三类经典题 型
解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο οο60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得
【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】
必修五解三角形题型归纳
一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5
7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.
最新解三角形精典题型归纳(包括知识点)
高中数学必修5 第一章 解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理】 1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 2.推论： 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-= ??+-?=???+-=?? . 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =；②若222 a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.111sin ()222 a S ah a b C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式) 【三角形中的常见结论】
《解三角形》常见题型总结
《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解： 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75， ∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的
取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：、又∵B为锐角，∴B= 45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、 【点拨】 观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理 【解题策略】 在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化
解三角形常见题型归纳
解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，
高三第一轮复习解三角形题型总结
2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin
7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30°