空间中的夹角和距离

第十二讲—空间中的夹角和距离

一．课标要求：

1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；

3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；

二．命题走向

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

预测2010年高考试题：

（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；

（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。

三．要点精讲

1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

（2）点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方

法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：

①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）

2．夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π

，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注

意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝S

S '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。

3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

四．典例解析

题型1：直线间的距离问题

例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC 的距离。 解法1：如图1连结A'C'，则AC ∥面A'C'D'， 连结DA'、DC'、DO'，过O 作OE ⊥DO'于E 因为A'C'⊥面BB'D'D ，所以A'C'⊥OE 。 又O'D ⊥OE ，所以OE ⊥面A'C'D 。 因此OE 为直线DA'与AC 的距离。 在Rt △OO'D 中，，可求得 点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。 解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C 、AB'A'，得到分别包含DA'和AC 的两个平面A'C'D 和平面AB'C ， 又因为A'C'∥AC ，A'D ∥B'C ，所以面A'C'D ∥面AB'C 。 故DA'与AC 的距离就是平面A'C'D 和平面AB'C 的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。 不难算出，所以，所以异面直线BD 与之间的距离为。 点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。

题型2：线线夹角

例2．如图1，在三棱锥S —ABC 中，，，，，求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

S

A

C B

图1

解法1：用公式

当直线平面，AB 与所成的角为，l 是内的一

条直线，l 与AB 在内的射影所成的角为，则异面直线l 与AB 所成的角满足。以此为据求解。

由题意，知平面ABC ，，由三垂线定理，知，所以平面SAC 。

B C A D B' C' O' A' D' 图1 E O C B D A C' O 2 B' D' A' O 1

因为，由勾股定理，得 。

在中，，在中，。

设SC 与AB 所成角为，则， 解法2：平移 过点C 作CD//BA ，过点A 作BC 的平行线交CD 于D ，连结SD ，则是异面直线SC 与AB 所成的角，如图2。又四边形ABCD 是平行四边形。

由勾股定理，得：。

S

A

B C D

图2

在中，由余弦定理，得：。

点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。

题型3：点线距离

例3．（2002京皖春，15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别

是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）.M

为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角

的正切值为2

1，那么点M 到直线EF 的距离为 。 解析：过M 作MO ⊥EF ，交EF 于O ，则MO ⊥平面BCFE .

如图所示，作ON ⊥BC ，设OM =x ，

又tan MBO =2

1，∴BO =2x 又S △MBE =21BE ·MB ·sin MBE =2

1BE ·ME S △MBC =21BC ·MB ·sin MBC =2

1BC ·MN 图

∴ME =MN ，而ME =152-x ，MN =12+x ，解得x =2

2。 点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处理。

题型4：点面距离

例4．（2006福建理，18）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2。 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

（Ⅲ）求点E 到平面的距离。

(1)证明：连结OC 。

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD 。

∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD 。

在△AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3。

而AC=2，∴AO 2+CO 2=AC 2,

∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC 。 ,0=OC BD ∴AB ⊥平面BCD 。

（Ⅱ）解：取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ,OE ∥DC 。

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。

在△OME 中，,12

1,2221====DC OE AB EM OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴,121==

AC OM ∴,4

2cos =∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos

（Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .

CDE A ACD A V V --- ,

∴h 31

·S △ACD =3

1·AO ·S △CDE .

在△ACD 中，CA =CD =2,AD =2, ∴S △ACD =,2722222132=???

? ??-?? 而AO =1, S △CDE =,2

3243212=?? ∴h =,7212

7

231=?=???ACD CDE S S AO ∴点E 到平面ACD 的距离为

721。 点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型5：线面距离

例5．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为4cm 的正三角形，侧棱AA 1与底面两边AB 、

AC 均成600的角，AA 1=7。

（1）求证：AA 1⊥BC ；

（2）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的全面积；

（3）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积；

（4）求AA 1到侧面BB 1C 1C 的距离。

解析：设A 1在平面ABC 上的射影为0。

∵ ∠A 1AB=∠A 1AC ，∴ O 在∠BAC 的平行线AM 上。

∵ △ABC 为正三角形，∴ AM ⊥BC 。

又AM 为A 1A 在平面ABC 上的射影，∴ A 1A ⊥BC

（2）3142374AB A sin AA AB S S 11B B AA C C AA 1111=?

?=∠?== ∵ B 1B ∥A 1A ，∴ B 1B ⊥BC ，即侧面BB 1C 1C 为矩形。

∴ 2874S C C BB 11=?=

又3444

3S S 2ABC C B A 111=?=

=??，∴ S 全=)cm (336282342823142+=?++? （3）∵ cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB ，∴ cos ∠A 1AO=3330cos 60cos OAB cos AB A cos 001==∠∠ ∴ sin ∠A 1AO=36，∴ A 1O=A 1Asin ∠A 1AO=63

7

∴ )cm (228637443O A S V 321ABC =??=?=?

（4）把线A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离转化为点A 或A 1到平面BB 1C 1C 的距离

为了找到A 1在侧面BB 1C 1C 上的射影，首先要找到侧面BB 1C 1C 的垂面

设平面AA 1M 交侧面BB 1C 1C 于MM 1

∵ BC ⊥AM ，BC ⊥A 1A

∴ BC ⊥平面AA 1M 1M

∴ 平面AA 1M 1M ⊥侧面BCC 1B 1

在平行四边形AA 1M 1M 中

过A 1作A 1H ⊥M 1M ，H 为垂足

则A 1H ⊥侧面BB 1C 1C

∴ 线段A 1H 长度就是A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离

∴

)cm (223

632AM A sin M A H M A sin M A H A 11111111=?

=∠=∠= 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。

题型6：线面夹角 例6．（2006浙江理，17）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为

直角梯形，AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝

AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点。

(Ⅰ)求证：PB ⊥DM;

(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。

解析：（I ）因为N 是PB 的中点，PA PB =，所以AN PB ⊥。

因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥，

从而PB ⊥平面ADMN .

因为DM ?平面ADMN ，所以PB DM ⊥.

（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则

//BG CD ，

所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面

ADMN 所成的角相等。

因为PB ⊥平面ADMN ，所以BGN ∠是BG 与平面

ADMN 所成的角。

在Rt BGN ?中，10sin 5

BN BNG BG ∠==。

点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型7：面面距离

例7．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图：

（1）求证：平面A 1BC 1∥平面ACD 1； （2）求(1)中两个平行平面间的距离； （3）求点B 1到平面A 1BC 1的距离。 （1）证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1，

同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1。

（2）解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d

等于D 1到平面A 1BC 1的距离。易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=652

，则

sin A 1BC 1=6561

，则S 111C B A ?=61。

由于111111D C A B BC A D V V --=，则

31S 11BC A ?·d =)21(31111D C AD ?·BB 1，代入求得d =616112，即两平行平面间的距离为61

6112。 （3）解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由（2）

知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于

61

6112。 点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。

题型8：面面角

例8．（2006四川理，19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中

点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，

1,2AD AA a AB a ===。

（Ⅰ）求证：//MN 面11ADD A ；

（Ⅱ）求二面角P AE D --的大小。

（Ⅲ）求三棱锥P DEN -的体积。D 1C 1B 1A 1D B

解析：（Ⅰ）证明：取CD 的中点K ，连结,MK NK

∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点，

∵1//,//MK AD NK DD ，∴//MK 面11ADD A ，//NK 面11

ADD A

∴面//MNK 面11ADD A ∴//MN 面11ADD A

（Ⅱ）设F 为AD 的中点

∵P 为11A D 的中点 ∴1//PF D D ∴PF ⊥面ABCD

作FH AE ⊥，交AE 于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE PH ⊥。

从而PHF ∠为二面角P AE D --的平面角。

在Rt AEF ?

中，,2,2a AF EF a AE ===

，从而2a a AF EF FH AE ??== 在Rt PFH ?

中，1tan DD PF PFH FH FH ∠===，故二面角P AE D --的正切值为2

17。

（Ⅲ）121111244NEP ECD P S S BC CD a ?==?=?=矩形， 作1DQ CD ⊥，交1CD 于Q ，由11A D ⊥面11CDD C 得11AC DQ ⊥，

∴DQ ⊥面11BCD A ，

∴在1Rt CDD ?

中，11CD DD DQ CD ?===， ∴13P DEN D ENP NEP V V S DQ --?==

?2=316a =。 点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平

面的位置关系的论证。

五．思维总结

空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．

1．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π)，直线与平面所成的角θ∈0,2π??????

，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π)。

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．

（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。

（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。

（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S ′，这两个平面的夹角为θ，则S ′=Scos θ。

如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法：

(1) 根据定义；

(2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝(图

1)；

(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－(图

2)；

(4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－(图3)；

(5) 的面积为

离的位置.

②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.

③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：

根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。

作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos θ＝S

S ”求二面角否则要适当扣分。

④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.

⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离

求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：

（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。

（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利

用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。

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