圆的标准方程_教案

§4.1.1圆的标准方程

授课人：段含伟 地点：高142班 时间：2012年6月4日第7节

一、教材分析：本节是新课标人教版《数学2》第四章第一节的内容。本章的主要内容是研究圆的标准方程、一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、空间直角坐标系等，而圆的标准方程是本章的核心概念，也是解析几何的基本概念。

本节内容是在初中所学知识的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程,同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此,为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，在许多实际问题中也有着广泛的应用。此外，本节课也很好的体现了数形结合思想。通过本节课的学习，可以很好的培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

二、学情分析：⑴从学生现有的知识看，学生在初中就学习了圆的概念，对圆的性质也有一定的了解又学习了直线与方程，学生已经具备掌握圆的标准方程的基础。

⑵从学生现有的学习能力看，通过前面直线与方程的学习，已经具备一定的理解与推导能力，也积累了一些经验及方法。

三、教学目标

知识与技能目标

（1）理解与掌握圆的标准方程，能求圆的标准方程；

（2）能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；

（3）会判断点与圆的位置关系。

过程与方法目标：从对圆的标准方程的探索过程，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，通过对圆的标准方程的应用，培养学生数形结合解决问题的能力。

情感态度价值观:激发学生的学习兴趣，形成善于发现问题的能力，增加学生学习数学的自信心和积极性。

四、教学重难点：圆的标准方程及应用;

五、教法与学法

教法：为了突出重点，突破难点，切实实现教学目标，充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习的过程，让学生体验数学发现和创造的历程，我运用启发式讲解，互动式讨论，研究式探索以及反馈式评价等教学方法。

学法：学生在教师指导下，通过感悟体验，从情境中提炼问题，自己分析问题，并且结合教师的点播提问，经过研讨论证，形成对圆的标准方程的认识，并且通过延伸习题，发现自身不足。

六、教学过程分析

（一）导入新课 :

【问题1】平面直角坐标系中，两点的距离公式是什么？两点)2,4(),2,1(-M A 的距离是多少？

【问题2】距离)2,1(A 的距离为5的点只有)2,4(-M 吗？还有那些，形成什么样的图形？坐标满足什么样的关系？

（二）逐步探索，发现新知

【探索内容1】：圆的标准方程

设圆的圆心坐标为),(b a A ，半径为r 。求圆上任意一点),(y x M 满足的关系式。

由圆的定义得：那么点M 满足的条件是:r},|MA ||{M P == 由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为：

22()()x a y b r -+-=①上式平方可得222()()x a y b r -+-=②

证明 ②式为圆的方程

1.若点),(y x M 在圆上，由上述讨论可知，点),(y x M 的坐标适合方程 ②

--->几何到代数

2.若点),(y x M 的坐标适合方程 ②，这说明点),(y x M 与圆心),(b a A 的距

离为r ，即点),(y x M 在圆心为A 的圆上。--->代数到几何；我们把方程②称为

圆心为),(b a A ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

结论1：圆的标准方程．．．．．． 222()()x a y b r -+-=，此时圆心为．．．．．．),(b a A ,．半径．．)0(>r r

理解：1.确定圆的方法：确定圆心与半径，可以求出求圆的标准程——>直接法 练习1.教材P120.1题：写出下面圆的标准方程。

（1）圆心在)4,3(-C ，半径是5； (2)圆心在原点，半径是5；

（3）圆心在)0,3(-C ，半径是5； （4）圆心在点)38(-，C ，且过点)1,5(M

2.通过圆的标准方程，可以求出圆心与半径

练习2：已知圆的方程求圆心和半径

（1）圆222r y x =+?圆心坐标 半径 ?圆心为原点

（2）圆?=+-222)(r y a x 圆心坐标 半径 ?圆心在线X 轴上

（3）圆?=-+222)(r b y x 圆心坐标 半径 ?圆心在线Y 轴上

3.判断点与圆的位置关系

【探究内容2】：点与圆的位置关系

例1：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M ---是否在这个圆上。 解：圆的标准方程为：25)3()2(22=++-y x

把)7,5(1-M 代入方程25)3()2(22=++-y x ，发现25)37()25(2

2=+-+-，左边等于右边，所以点)7,5(1-M 适合圆的方程，所以点)7,5(1-M 在这个圆上。

把)1,5(2--M 代入方程25)3()2(22=++-y x ，发现25)31()25(22≠+-+--，左边不等于右边，所以点)1,5(2--M 不适合圆的方程，所以点)1,5(2--M 不在圆上。

思考：)1,5(2--M 不在圆上。那么它在圆内还是圆外呢？

提示：比较)1,5(2--M 到圆心距离d 与半径r 的大小关系。

点与圆的位置关系

点在圆上 点在圆外 点在圆内

图形

几何

r d = r d > r d < 代数 2

2020)()(r b y a x =-+- 2

2020)()(r b y a x >-+- 2

2020)()(r b y a x <-+-

练习3：教材P121，3题：求以)3,6(P ),9,4(P 21为直径的圆的方程，并判断点)3,5(),3,3(),9,6(M Q N 在圆内，圆外，还是圆上？

（三）典型例题：

例2：已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 教师用两种方法板书解题过程（重点讲解解题方法及解方程的步骤） 课堂练习：教材P121，4题：

选讲例3：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 设计意图：比较两种方法求出圆的方程。待定系数法求圆的方程步骤：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=；

（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；

（3）解此方程组，求出a 、b 、r 的值；

（4）将所得的a 、b 、r 的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程. 课后作业：假期安排。